Niezgodziński M. - Wzory wykresy i tablice wytrzymałościowe

Spis treści Od Autorów........................................................................................................9 Część pierwsza OBLICZE...

68 downloads 716 Views 45MB Size

Spis

treści

Od Autorów .. ....... ................ ...... ...... ...... ... .. ... .. ............... ..... .. ...... .. ....... .......... .... 9 Część

pierwsza OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE W PRZYPADKU OBCIĄŻEŃ STALYCH ... ....... ..... ..... ........... .„.„.„ ... .... .. ... ....... .... . „„.„ .. „„„ .....

• .••••••• • •••••••

11

L Tok przeprowadzania oblicz.eń wytrzymałościowych

„ .....

11





•• • •

„ . . .... „ . . . . . „ .. ...•.

1. 1. Kryteria wytrz)małościowe w obliczeniach elementów maszyn i konstrukcji ................... 11 1.2. Obliczenia wytrzymałościowe na naprężenla dopusz,czalne „ .. „ . . „ .... ....... „ .... „„ „ .„„.„„„ 12 1.2.1. Definicja naprężeń nominalnych„ ..... „ .... „ .. „ .............. „.„„.„„„ „.„ „ ....... „ .. „ . . ... „ .... 12 1.2 .2. Naprężenia dopuszczalne „ „ ....... „ „ . „ „ .. „ „ . . „ ................... „ .. „ ...... „ „ .... „ ...... „ . „ .. „ ... 13 I .2 .3. Przybliżony sposób wyznacmnia wymaganego współczynnika bezpieczeństwa ......... 16 1.3. Obliczenia wytrzymałościowe na dopuszczalne odkształcenia (przemieszczenia) .. „ •. • „ .. .. 17 1.4. Obliczenia wytrzymałościowe na stateczność .. „ „ „ ..... „ „ ............ „. „ .... „. „ .. „ .... „ ....... „ .... 20 1. 5. Obliczenia wytrzymałościowe na pełzanie ...................................................................... 20 1. 6. Obliczenia metodą nośności granicznej .... „ ... ..... „ ... „. „ „ ....... „ ... „ ....... . „ . „ .„. „ „ ..... .„ „ „ „ 20 1.7. Obliczenia wytrzymałościowe metodą stanów granicznych .......... „ .. „. „ . „ . „ . . . „ . . . 22 „

.•. „



..



2. Zestawienie podstawowych wrorów wytrzymałościowych ... .. ... ... .. ......... .. ... .. 23 2. 1. Rozcif18anic i ściskanie „„„„„ ... „„ .. „„„.„„„ .... „„ ... „.„ .... „ ... „.„„„ „„.„„„.„ ... „ „ ...... „ .... 23 2.2. Ścinanie „ „. „.„ „„ .„ .„. „ „„ ...... „. „ .... „„.„ „.„ .„.„„„ ..... „ ..... . ... .... „.„„„„„.„ .. „ ..... „ ... „ .... 25 2.2.1. Ścinanie czyste „ ..... „ .. „ .. „„„ ..... „.„ .. „ .... „. „ .„ ....... „ ...... „ ... „„ .. „.„ „ „ .... „ ....... „ .. „ ... 25 2.2 .2 . ścinanie technologiczne ........... „„.„ .. „ .. „ .. „ .... „ .............. „.„ .. „ .... „„ .. „ .... „ . ... „ ....... 26 2.3. Skręcanie prętów okrągłych„ ...... „ . „„.„„„.„„ ......... „ . ..... „ „ ... „.„ .... „.„ ..„.„„„ .......... „ . .. 28 2.3.1. Skręca.nie prętów o pr7..ekroju kołowym .. „„ ........... „ .. „ .„ „ ........ „ .„ ... „ „.„„ ...... „ „. 28 2.3.2. Obliczanie sprężyn śrubowych . „ . „ .... „ .. „ ..... .. „ ... „ ......... „ .... „ „ ....... „„„.„ .... „ ....... 29 . . „ . • „ „ .. „ . • .. „ .„ ............. „„ .„ „.„ .. „.„ .. „ ........ „. 30 2.4. Zgin11Itie„ .. „ .... „ ... „ .. „„„ .. . „. .. 2 .4 .1. Zginanie płaskie ..... ...................... .......................... ............... ... ............................ ... 30 2.4.2. Zginanie ukośne„. „ .„„„ . „„ .... „„.„„„„„.„„ .. ... „ .. „ .„ „.„.„„ „ .. .. „ ... „ .„ .. „ ....... „. „ 31 2.5. Obliczenia na docisk powierzchniowy„ .„ „ „„.„. „.„ .. „.„ „ .„ .. „. „ „ „ .„„. „„ ........ „„ .. „ 31 2. 5.1. Docisk powierzchniowy liczony nJł rzut powierzchni styku ........... ....................... ..... 31 „ ............. „. 32 2.5.2. NapręUnia dociskowe według wzoró w Hertza„ „ ... „ „ „„.„„„„ „„„ 2.6 . Naprężenia zredukowane według aktualnych hipotez wytizymałościowych„ „ .„ .. . . 36 2 .6.1. Obliczanie naprężeń Ziedukowanych dla materWów sprężysto-kruchych .„ 36 2.6.2. Obliczanie naprężeń Ziedukowanych w przypadku materiałów sprężysto-plastycznych . „ . „ ..... „ . „ „ „ . „ . ......... „ ... „ . . ... . .. „ . „ . . ..... . . „ . . ... .... ....•• • . „ .. . „ ... . . .. . „„. „ .... 37 „

. „















•• „

. „



.

Spis

3.

treści

Stateczność prętów ściskanych

lub zginanych oraz sprężyn śrubowych

40

3.1. Wyboczenie pryzmatycznych prętów ścislumych .. „ .„ .............. _ .. „„.„„ . . -·· ······ .... „ „ 40 3.1.1. Zestawienie wzorów teoretycznych. ______ ·-···--·· ···· ·· -·- ··-····-· ...„„„ .„ „.„ ....... „ „ .... „„ .4 0 3. 1.2. Praktyczne metody obliczania prętów ściskanych .. . .................. „„ „ ........ „„„ „„ „„ 4 3 3.2. Wyboczenie prętów dwugałęziowych i wielogałęziowych o przekroju stałym .... „. „ „ . ..... 45 3.3. Wyboczenie prętów o przekroj u zmiennym ..... .... .„.„ ........ ..„.-. „ ................. ....... „ ... „„ „ . 48 .... „„ ....... . ..... .. „ .. „„ ..... . ..... „ .. „ „ „„ ... 52 3.4. Wyboczenie sprężyn śrubowych. ...... . 3.5. Zwichrzenie belek „ ...... ....... . „„ ...... „ ........ ........ „ .. „ .......... „ ..... „„„ .. „ .. . „ .. „ ... ... „ .... ..... „ 53

4 . Skręcanie prętów o niekołowych kształtach przekroju poprzecznego ..„ „„„ .... 56 4. 1. Skręcanie swobodne i nieswobodne prętów .... „ .. ...... ....... „ ....... „ . .. „„ ... ......... . „ ....... „ ..... 56 4.2. Skrę<:anie swobodne prętów cienkościenn~ch o przekroju zamkniętym............ „ . „ ........•. 57 4.3. Skręcanie prętów o przekroju prostokątnym.. .. „ .. . „ .. •.•. . ..•••• „ ..•.... . . • • •• •. . . ........•• „ ... . .. „ .... . 58 4.4. Zestawienie wrorów dotyczących swobodnego skręcania prętów o przekroju zamkniętym „ ..... „ ........ „ „ .„ .. „„ ......... „ .......„ ... „ „„ ...... „„„ ... „ ... „ „ .. „ ... .... „ „ .. „ .. „ .„ ............. 58 4 .5. Skręcanie swobodne prętów o przekrojach otwartych .„ .. „ ....... . ... „.„„„ ... „„ .... „ „ .„„ .. „. 63 4.6. Uproszczony sposób oblicz.ania profili walcowanych na czyste! skręcanie .„ .. ... .. . ... .. .... 65

5. Obliczanie belek zginanych .... .. „

.. „ ........ ...... ..... „ . ...... ...... .... .. . . . . .. .. ... . „ .. • .. „ ..

69

5.1. Podstawowe wzory dotyczące belek zginanych .............. ... „ .„ . ....... „„ ......... „ . ..... „ „ . . ....... 69 5.2. Przykłady rozwiązania belek metodą superpozycji .. „„„ .... „ „ .. „ . . „ . . .. „ . .. „ .... „ . . „ .„ .... „„„ 97

6. Obliczanie raITl„ „. „. „ . „

„. „ .. . . . .

„. „ .. ..„ ........ ...„. „

małej krzywiźnie względnej

...

„ „ ...... „ „

...





. . ..

„ .. . „

..„

„. 99

7.

Pręty

zakrzywione o

8.

Pręty

zakrzywione o dużej krzywiźnie względnej „ ... „ „ ..„ „ „ .. „ .„ . .„„ „ .... „ 125

„ ...... ........ „ ..... . ... . ... „ .. . ... .

111



9. BellU na sprężystym podłożu . . .... .„ ....... „„ .... ...... „

.. „ . .

„„ .„„„„„„„ .. „„ .. „ 128

10. Pręty smukłe obciążone siłami poprzecmymj i osiowymi

134

10. I. Pręty smukłe ściskane i zginane „ . „ ... .. „ .... . . . .. „ •• . . . • „ ... . ..... .. ............... .. .. . „ . . . .. ....... 134 10.2 . Pręty smukłe zginane i rozci ągane ......... .......„ .. „ ..... ...... . . . ....... ... .. „ „ . „ .„. „ . „ ... . 138 „

11. Obliczanie płyt

•• • .

142

11.1. Cienkie płyty kołowosymetryczne...... „ . .. . „ . „ .... „ .. „ . „ ... . .. . . „ „ „ .. „ „ ... . .. . ... „ „ .. . ... „ 142 11.1.1 . Podstawy teoretyczne i wzory ogólne.. „ ........ „ . .. . .. . „ .... ...... . ....• . .. .. .... „ .„„ ......... 142 H. l.2. Przykłady obliczania płyt kołowosymetrycznych „ .„ .. „ „ ... .. . „ . . .. „ .• ...... „ „ . „ „ .. . .. 152 11 .2. Zginanie cienkich płyt prostokątnych . .. „ „ „ . . „ . . ... . .. . ... . ... „ ..„ ... „ „ . . ... .. ... . . „ „ . . „ „ . ... 153 11.2.1. Oznaczenia i wzory ogólne „ ... ..... „ ....... . •• . . . „.„ ...... „„ .......... „ .. „ .... „„„ .......... 153

11.2.2. Walcowe zginanie płyt .... „ „ ••. „ . . „ .. „ ....... „ ... . . „ „ . . ... • „ . ...... . „„ ... ..... ...... „ .•• . „ 1SS 11.2.3. Przykłady zginania cienkich płyt prostokĄtnych ...„ ... . „ . „ .•. „ . . „ . ...... ... .... „ ..... •. J57 11.3 . Zginanie płyt grubych „

....... ... „

11 4. Stateczność płyt cienkich ..„

6

.. „

..... . „ .......... „ . .....

163

... .. . ... „ .. .. .... „ . ........... „ . „ . „ „ . „ . „ ............. . „ . . . . „ „ .„. . ..

164

. . ...

„ .„ ....... . „ ....... „ ... „„ .... .. „„„ ... „

treści

Spis

12. Obliczanie rur i zbiorników ........................ .. „

...................... . ..... . . .. . .... . ....

168

12 .1. Obliczanie rur cienkościennych lub powłok walcowych ....................... „ „ .. „. „ „ .. 12. L 1. Osiowosymetrycme zginanie rur cienkościennych ............ .................. „ . „. „ .. . „. 12.1 .2. Naprężenia w rurach cienkościennych lub powłok.ach walcowych poddanych działaniu ciśnienia wewnętrznego lub zewnętrznego. . . ............................. . „ „ ... „ „ .... 12. l .3. Wyboczenie rur lub powłok walcoW)ch poddanych równomiernemu ściskaniu osiowemu ............. „ . ........... . „ . „ .. „ „ ... 12.2. Obliczanie naczyń i powłok cienkościennych.. ... ..... ............ „ . .... „ .„ ......... 12.3. Obliczanie rur i naczyń grubościennych ........ „ ... . . . . . . . „ ... „ .... „ .. „



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . .

......... . .. .. . . .... „





...... • .... . . •



•••

... „ „ . . . •

. . . . . . •• . • . • .

168 168

170 177

178 186

13. Obliczanie zbiorników ciśnieniowych i połączeń śrubowo-kołnierzowych według

metod wzorowanych na przepisach Urzędu Dozoru Technicznego. 189

13. l . Obliczanie zbiorników ciśnieniowych„ .. ... „ ... „ .. „ „ .. „ ... „ „ „ .. „ ..... „ „ .. ... „. „ .......... „.. „ „ „ . . „ „ • . „ .. „ „ ... „ „ ...... „ „ ..••....• „ ... 13 .1. 1. Obliczanie elementów walcowych .. ....... 13.l .2. Obliczanie den zbiorników ciśnieniowych „ . „ ... „ .. „„ ............ „.„ .... „ ............. ... . 13.2. Obliczanie połączeń śrubowo-kołnierzowych.„„„„ ... „.„ ..... „ .. „ .. . • . . „„ .. „„ .. „ .. ... „

. .• .

14. Oblicz.anie połączeń spawanych ..... „ „ .. „ „ ... „

•.•• „

..... „ ....... „ ........ „ „ .. „ ... „

189

189



190 193

..

198

15. Własności wytrzymałościowe metali w temperaturach obniżonych ........... .. 206 16. Własności wytrzymałościowe metali w temperaturach podwyższonych ...... 209 16.1 . Zmiany własności wytnymałościowych metali w temperaturach podwyższonych „. „ 209 16.2. Pełzanie materiałów i relaksacja naprężeń„ „ ... „.„„.„„ .... „ ................ „ . .. „ • . . . „ .. .. „. 212 C~ść druga OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE W PRZYPADKU OBCIĄŻEŃ ZMĘCZENIOWYCH ... .... ...... .......... .. ..... .... ..... . ... ........ ... ...... ..... .. ................. 215

17. Tok przeprowadzania obliczeń zmęczeniowych„ .. .... .... ... ... .. „ .... „ .... „ ........ 215 _17. l . Wpływ spięttzenia naprężeń, stanu powierzchni i wielkości przedmiotu na wytrz)Inałośt zmęczeni ową ..... „ ...... „ . . „ „ „ „. „ „. „ „ „ . „ . „ „ .. „ ... „ „ .............„ .... „ „ „ „ . „ .... „ 215 17. J. l . Wprowadzenie„.„.„.„ .... „ .„.„„„„„. „ .. „ .„ „„.„„„ .... „ . . „ .. „ ...... ........... „ .. „„„.„ 215 17. 1.2. Współczynniki kształtu f4 .......... „ ........ „ .. ... „ .•.. „ . „ „. „„„. „ „ . „. 21 S 17. 1.3. Współczynnik działania karbu /A. „ . „ „ . . . „ . „ . „ .. „ ...... „ 216 17.1.4. Współczynnik stanu powierzchni p, „ .. „ „ .„ „„ . „ ••. „ .. „ .. „ ... . . . „ „ . „ .. . „ . • . . . . .. 217 17. U. Zmęczeniowy współczynnik spiętnenia naprę.żeń p „ „ „ .. „ .. „ ......... ...... . „ .... 217 17.1.6. Współczynnik wielkości przedmiotu y„„.„ .. „„ .„ ....... „ ....... „ ..„„„„„„„„„ .. „ „ . . 218 17. 2. Obliczenia zmęczeniowe w przypadku symetrycmych cykli obciążeń .. ............... „ . . „ 218 17.3. Obliczenia zmęczeniowe w przypadku niesymetrycznych cykli obciążeń. „ . .•..... . •. . .. 219 17.3. 1 Wprowadzenie„.„„.„ .„ .. „ „. „ ... „„ .. „ .. „ .. „„„.„ „.„ „.„ .... „ .......... „ „„„„.„ 219 17. l 2. Budowa uproszczonego wykresu Smitha„ „ „ „ •. . „ .. „ . „ „ . „ . „. „ .. „ . „ . . „ ........ . .. . ... „ 219 17.3.3. Pneprowad7.anie obliczeń zmęczeniowych za pomocą wykresu Smitha ............. 221 17 .3.4. Analitycme obliczanie współczynnika bezpieczeństwa przy stałym stosunku amplitud do naprężeń








.



• „

. ••

.



• •

..........

••• •

„.





. .. . ... •

... . ...•

7

Spis

treści

17.3.5. Analityczne obliczanie współczynnika bezpieczeństwa pny stałych a,,. = const.„ .......„ ... .... „ ........ „ ......... „ ...... „ .... .. „ .„ ... . „ ..„ „ ..„ .. 222 17.4. Oblic.renia zmęczeniowe w złożonym stanie naprężeń .„ ... „ ... „ .... „„.„ ...... „ . „ „ „ ... „ 228 17.4. l . Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęczeniowego rozciągania i zginania ....... „ „ „ ..... „ „ „ ................ „„„ .. „ •. „ „„. „„. „ „ .. „ .„ ..... „„ ..... „„„ ... „ .. „ ..„.„ .„ .. 228 17.4.2. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęaeniowego działania naprężeń normalnych i naprężen stycznych ... „.„„ ........ „ .. „. „ .. „.„„„„„ „.„ ... . „ .. „ .. „ „ .„„„ .. 230 17.5. Wyuzymalość zmęczeniowa żeliw, staliw i metali nieżelaznych „ .... „ .........„.„„ .. „„ 232 17.5.1. WytrzyJnalość żeliw ....„„ ....... „ .. „ .„ .„ .. „ ... „„„ .„ ............. „„ ... „„ ..... „ ........... „ .. 232 17.5.2 . Obliczanie wytrzymałościowe staliw ... „ . .. „ .................. ............... ....... .. „. „ „ .. „ . 235 17.5.3. Wytrzymałość stop6w lekkich .. „„ „ . ..... „ .. „„„„ .... .. „„ .. „ „ „ .... ....„ ..... „„„ ... „ . 235 17.6. Obliczenia zmęczeniowe elementów dźwignic .„ ... „.„. „ „ ..... „„ „ ... . „ ... ..„ .„„ .... „ ...... 237 naprężeniach średnich

18. Wykresy stosowane w obliczeniach zmęczerńowych„ „ 18.1.

Współczynniki wielkości

l 8.2.

Współczynniki

.... „ ...... „

.. •



„ .. „ ... . . .

238

przedmiotu y..„ .. „ „ .... „ .... ..... „„ ......... ... ... . ................... 238 stanu powierzchni p9 , wrazliwości Tf oraz promienie minimabie p.. . 24 l I 8.3. Współczynniki kształtu a. dla prętów okrągłych (wałów) pełnych .... „ . .. .. . . ... . „ .. .. ... . 244 18.4. Współczynniki kształtu at- dla wałów wydrążonych .......... „„ ...... „ ... ... „ „ ...... ........... 252 18.5. Współczynniki kształtu a.t dla płasko'Mlików ............ „. „ ...„„ ....... ...... ...... ... ... ....... 255 18.6. W spółc.zynniki kształtu a..- dla gwintów i sprężyn .... „. „ ... „ ......... „ . „ „ ... „ . .. „. „ „. „ .... 263

Część trzecia

TABLICE STOSOWANE DO OBUCZEŃ WYTRZYMAŁOŚCIOWYCH ... 265 19. Tablice własności fizycznych i

Literatura .„ ......... „ Skorowidz „ „ „ .. „

.. .



. • • • ••

„ ..



•• •• „

wytrzymałościowych materiałów .„„ ... „„ .. „265

. • • „

• • . . „



. .• •••

„ „ .. . .. .. • .... ..... . . . ... . ..•..... „ „ „

„„ ........ „„ .. „

. .. .. . . . „ .. • .

„ . „ ........ „ ...... „ ... . „.





..

„ ..... ... ... 296

„ „.

„ ...... . 298

Od Autorów Książka

ma charakter

podręcznego

vademecum

zaWierającego

omówienie podstawowych, klasycznych metod stosowanych w obliczeniach wytrzymałościowych elementów maszyn i konstrukcji. Zakres metod oraz podanych wrorów i przykładów dostosowano do potrzeb związanych ze wstępnym projektowaniem konstrukcji w ramach prac przejściowych i dyplomowych, ""'Ykonywanych na studiach d.zieMych i zaocznych politechnicznych wydziałów mechanicznych (i pokrewnych), jak również w biurach projektowych.

W>niki obliczeń projektów wstępnych mogą stanowić podstawę do przeprowadzania obliczeń sprawdzających, z zastosowaniem odpowiooM nich norm branżowych i państwowych (PN), mogą też być wykorzystane jako dane wejściowe do aktualnie dostępnych programów komputerowych.

Łódź,

maj 1996 r.

Część

pierwsza

Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciążeń stałych 1. Tok przeprowadzania obliczeń wytrzymałościowych

1.1.

Kryteńa wytrzymałościowe

w obliczeniach elementów

maszyn i konstrukcji Zasadniczym celem przeprowadzania obliczeń wytrzymałościowych jest zapewnienie bezpiecznej i niezawodnej pracy maszyn i urz.ądzeń w czasie ich eksploatacji. W każdym przypadku w obliczeniach powinno się uwzglcrdniać wszystkie kryteria dotyczące bezpiecmej pracy maszyn. Na ogół jedno z tych kryteriów, limitujące najmniejszą dopuszczalną wartość obciążeń, decyduje o wytrzymałości danego elementu maszyny lub konstrukcji. Z tych względów obliczenia wytrzymałościowe każdego elementu powmny obejmować następujące punkty: l) obliczenia na naprężenia dopuszczalne, 2) obliczenia na odkształcenia (przemieszczenia) dopuszczalne, 3) obliczenia na stateczność, 4) obliczenia na pełzanie, 5) obliczenia zmęczeniowe. Wymienione wyżej kryteria wytrzymałościowe muszą być za każdym razem spełnione jednocześnie. Jeżeli w konkretnych przypadkach poprzestaje się na zastosowaniu tylko jednego z wymienionych wyżej kryteriów, oznacza to, że pozostałe kryteria są z całą pewnością spełnione, za co przeprowadzający obliczenia bierze pełną odpowiedzialność. Podstawowe zasady obliczeń według kolejnych kryteriów zostaną omówione w następnych punktach. W przypadku pr?.eprowadzania oblicz.eń metodą_ nośności granicznej (por. p. 1.6) należy również pamiętać o spełnieniu kryteriów 2+5 podanego wyżej zestawienia. W wydawanych ostatnio i stopniowo wprowadzanych w życie normach dąży się do ujednolicenia systemu obliczeń wytrzymałościowych, wprowadzając tzw. metody stanów granicznych, stanowiące połączenie omówionych wyżej kryteriów wytrzymałościowych. Metody te omówiono w p. 1.7.

11

I. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku obciążeń stałych

1.2. Obliczenia wytrzymałościowe na dopuszczalne 1.2.1. Definicja

naprężeń

naprężenia

nominalnych

Przeprowadzanie obliczeń na naprężenia dopuszczalne ma na celu ustalenie, czy w żadnym punkcie obliczanego elementu naprężenia nominalne a„ me prze· kroczą naprężeń przyjętych za dopuszczalne i oznaczanych literą k (1.1)

Pod nazwą naprężenia nominalne a„ należy rozumieć naprężenia maksymalne obliczone za pomocą odpowiednich wzorów wytrZ)'TIUlłościowych lub wyznaczone doświadczalnie (np. w W}1liku badań tensometrycznych) dla obciążeń nominalnych, jednak bez uwzględnienia spiętrzenia naprężen. Tak więc dla płaskow­ nika o szerokości h i grubości b, z otworem o średnicy d w środku, naprężenie nominalne w przypadku rozciągania siłą P (rys. 1.1 a) wynosi

p q



p

=-= - -

F

b(h-d)

(a)

a)·-'\r-l- I I I I

111

'oc:

_j B

I I I ---h---

g,,;00sc

Ti;-"v--

Rys. l.l chociaż

wiadomo, że rozkład napn;żen rzeczywiście występujących w płaskowni­

ku nie jest równomierny i w przekroju AB przedstawia się w sposób podany przykładowo na rys. 1.1 a; gdy szerokość h płaskownika jest dostatecznie duża, naprę­ żenie w punkcie A jest trzykrotnie większe od naprężenia O'n (por. rys. 18.38), jednak nadal naprężeniem nominalnym jest waność O'n otrzymana ze wzoru (a).

12

1. Tok przeprowadzania obliczeń wytrzymałościowych Jeż.cli ten sam płaskownik. jest ~y momentem Mg (rys. 1.lb), naprężeniem nominalnym u„ jest naprężenie maksymalne otrzymane ze wzoru na zginanie

a =Mg= M 8 ·6h



w b(h 3 -d 3 )

(b)

Rozkład naprężeń określonych powyższym

wzorem w przekroju poprzecznym podano lutią kreskowaną na rys. l.lb. Pomimo tego, że w miejscu B naprężenie rzeczywiste może być nawet większe od obliczonego an, naprężeniem nominalnym będzie jednak maksymalne naprężenie otrzymane ze wzorów wytrzymałościowych, a więc w danym przypadku określone wzorem (b).

AB

płaskownika

1.2.2.

Naprężenia

dopuszczalne

od rodzaju obciążeń naprężenia dopuszczalne k przybierają i stosuje się dla nich różne oznaczenia, tak więc dla rozciągania oznaczenie k,, dla zginania - kg, dla ścinania - k1, dla skręcania - ks, na docisk powierzchniowy - k". Dla materiałów plastycznych (dla obciążeń stałych) przyjmuje się kg= k, oraz k, = k, = 0,6k, (por. p. 2 6). Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie dla materiałów mających wyraźną W

zależności

różne wartości

lub umowną granicę plastyczności wyznacza się re wzoru kr

= Q,

( 1.2)

X,...

a dla pozostałych materiałów - ze wzoru kr

=_!i_

( 1.3)

x,...

gdzie: k, - napręż.enie dopusz.czalne na rozc1ągarue, Qr - graruca plastycmości o> (wyraźna lub umowna Qw), R, - wytrzymałość na rozciąganie, x..., - wymagany współczynnik bezpiecz.eństwa w odniesieniu do granicy plastycmości, x,... - wymagany współczynnik bezpieczeństwa w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie. Ustalenie właściwej wartości współczynnika bezpieczeństwa Xw, a tym samym naprężeń dopuszcz.alnych, jest jednym z trudniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Najogólniej rzecz biorąc, przy ustaleniu waności współ­ czynnika bezpieczeństwa trzeba uwzględnić następujące czynniki: r•J Według obowiązujących norm granicę plastyczności (wyraźną lub umowną) oznacza się wytrzymałość na rozciąganie - R,,.. Aby uprościć i ujednolicić system obliczeń zmęczeniowych, w pracy z.achowano ró\\'ltolegle oznaczenia: Q, oraz R, dla rozciągania, Q, oraz R, dla zginwtia, a następnie ścinania, skręcania, ściskania itp. symbolem R,, natomiast

13

1. Obliczenia

Tablica

wytrzymałościowe w

1.1.Wartości

Nazwa

przypadku obciąten

stałych

liczbowe cz111tkowych współczynników bezpieczeństwa Wartości

.lastosowan.ie

l,l

przeprowadzone badania wytrzymalościowe danego materiału i zastosowanie ścisłej metody obliczeń

współczynnika

Xi

pewności założeń

1,hl ,4

znany gatunek materiału oraz zwykłe metody obliczeń

l,5+2.0

obciążenie

!,O+l,l X2 ważności

przedmiotu

jcdnorodno.śi;i

IIllltcriału

gdy miszcz:enie danej

części:

spowoduje zatrzymanie maszyny

l,l+l,2

spowoduje uszkodzenie maszyny

1,3+1.S

może

l,0+1,05

XJ

udarne

spowod.owa( wypadek

ścisła kontrola jednorodności po obróbce plastycznej (metod.am.i rentgenograficznymi, ultradźwiękowymi itp.)

1,l

materiały

l,2

odlewy ciśnieniowe,

1,3

odlewy kokilowe, starannie wykonane połączenia spawane (spawane automatycznie lub wykonane przez spawaczy I kategorii z kontrolą rentgenowską)

1,471,7

kute, walcowane, ciągnione odśrodkowe

odlewy piaskowe, części hartowane, połączenia spawane o prawidłowym wyglądzie zewnętrznym

I ,O+ 1,05

ścisła

kontrola wymiarów każdego przedmiotu

1,05+ I, l

nonnalna kont.rola met~

W)'l)'Wkową

po obróbce

skrawaniem

X4

zachowania wymiarów

l,l+l,15

l ,2

pręty, profile walcowane, blachy, elementy tłoczone

dokładne

odlewy,

konstrukcje spawane, odlewy, odkuwki

W)magany współczynnik bezpieczeństwa x„

= x1X2XJX4.

Uwag a: dla staliwa, stopów lekkich i metali koloro'A')'Ch wymagany współczynnik bezpieczeństwa x"' obliczony z tabl. 1. 1 należy powiększyć o 40%, dla żeliwa zaś o I 00%.

14

1. Tak przeprowadzania obliczeń

wytrzymało.ściowych

Przykłady 2.83tosowania

badanie specjalnych nadlewów, naddatków łub odcinków danego materiału l ,2 - bardzo prosty ukJad obciążeń 1,4 - gatunek materiału określony porównawczo (np. przez badanie twardości) lub skomplikowany układ obciążeń I ,5 - uderzenie łagodne z resoro""1Dllem 1,6 - obciążenie przykładane
I ,1 -

łatwa,

tania naprawa

1,3 - poważne uszkodzenie wielu części 1,4 - z.niszczenie un.ądzenia 1,5 - wypadek (z.agrożenie dla ludzi)

I ,O - elementy o małej

grubości

1,4 - małe OOlewy, połącreńia spawane elementów ze ~1.ali o sprawdzonej spawalności (np. St3S) 1,7 - duże oolewy, połączenia spawane elementów niestalowych 1,0 - gdy geometria przedmiotu jest prosta 1,1 - skomplikowane kształty 1,1 - pręty ciąsruone, krótkie profile, odlewy kokilowe bez rdzeni l,15 - utrudniony pomiar (np. blachy w środku arkusza), duże profile walcowane

15

!. Obliczenia

wyrrzymałościowe

w przypadku obcią:t.eń srałych

l)jednorodność materiału (wpływ wywierają wtrącenia

niemetaliczne, pory

w odlewach), 2) naprężenia wstępne (przy ostyganiu odlewów, skurczowe, hartowrucze), 3) obciążenia przewidziane i przypadkowe (dodatkowe napręż.eni a od drgań własnych, różnice między zało.ionymi a rzeczywistymi warunkami działania obciążeń: np. nieidealnie osiowe działanie sił rozciągających, powodujące dodatkowo powstanie zginania), 4) niedoskonałość metod obliczeniowvch, 5) skutki, jakie mogą wyniknąć z uszkodzenia danej części (jeżeli uszkodzenie części spowoduje tylko krótkotrwałe zatrzymanie maszyny i część tę da się łatwo wymienić, można dopuścić mały współczynnik x, gdy natomiast uszkodzenie części może spowodować miszczenie maszyny lub wypadek zagrażający np. życiu znajdujących się w pobliżu osób - należy przyjąć macznie większy współczynnik bezpieczeństwa x), 6) czas eksploatacji maszyny lub urządzenia i zwią2.atle z tym uszkodzenia spowodowane korozją, ścieraniem się - niezależnie od zjawisk zmęczeniowych (por. rozdz. 17),

7) kontrolę dokładnoJci wymiarów (łatwo ustalić średnicę walka toczonego na tokarce, a znacznie trudniej rzeczywistą grubość dużego arkusza blachy w środku jego powierzchni lub den zbiorników w miejscach wyobleń itp.), 8) udarne działanie sil (obciążenia przykładane nagle oraz wszelkiego rodzaju uderzenia powodują powstanie większych naprężeń niż przy powolnym, tj. statycznym obciążeniu), 9) spiętrzenie naprężeń wymagające stosowania specjalnych metod obliczeniowych w przypadku obciążeń zmiennych (por. rozdz. 17), w przypadku zaś materiałów kruchych - zwiększenie współczynnika bezpieczeństwa nawet dla obciążeń stałych.

W przypadku konstrukcji, co do których nagromadzono wiele doświadczeń, jak mosty, kotły parowe, zbiorniki ciśnieniowe, wiązary dachowe, dźwignice itp. istnieją przepisy (normy) państwowe nakazujące przY,jmowanie odpowiednich wartości wymaganych współczynników bezpieczeństwa x,.,.

1.2.3. Pnybliżony sposób wyzna~zania wymaganego współczynnika bezpieczeństwa

Jak wspomniano, w wielu dziedzinach przepisy państwowe (nonny, instrukcje odpowiednich urz.ędów, jak np. Ur.z.ędu Dozoru Tecłmicznego) lub nonny branż.owe nakazują

stosowanie ustalonych wartości współczynników bezpieczeństwa lub naprę­ dopuszczalnych. W większ.ości jednak przypadków konstruktor sam musi decydować o wyborz.e wartości współczynnika bezpieczeństwa., opierając się na dOŚ\.\iad­ creniach własnych, na danych zaczerpniętych z literatury, a często na własnej intuicji. żeń

16

I. Tok przeprowadza nia obliczeń wytrzymalo.k iowych

W przypadku gdy brak jest bliższych danych dotyczących właściwej wartości wymaganego współczynnika bezpieczeństwa x,.,, dla uzyskania pierw-szego przybliżenia można posłużyć się tabl. I. I. Znajdujemy w niej współczynnik bezpieczeństwa x.,., określony jako iloczyn czterech współczynników cząstkowych

(1.4) gdzie: x1 - współczyruńk pewności założeń, x 2 - współczynnik ważności przedmiotu, X3 - współczynnik jednorodności materiału, X4 - współczynnik zachowania wymiarów. Wartości współczynników cząstkoW}'ch podane w tabl. 1.1 dotyczą podstawowego materiału konstrukcyjnego, jakim jest stal Dla staliwa, stopów lekkich i metali kolorowych wartość wymaganego współczynnika bezpieczeństwa x,.,, otrzymaną z tabl. 1. J, należy powiększyć o 40%, dla żeliwa zaś o 100%. Zalecenia te są wzorowane m.in. na zasadach stosowanych w Przepisach Dozoru Technicznego [24], dotyczących obliczania kotłów i zbiorników ciśnieniowych, przy czym stosować je można w ograniczonym .zakresie temperatury, a więc np. dla stopów lekkich do 60°C (por. rozdz. 16).

1.3. Obliczenia wytrzymałościowe na dopuszczalne odkształcenia (prtemieszczenia) W wielu przypadkach warunkiem niezawodności działania maszyn i urządzeń jest zachowanie dostatecznej sztywności, a więc niedopuszczenie do nadmiernych odkształceń. W przeważ.ającej większości przypadków warunek sztywności j est automatycznie spełniony, jeżeli naprężenia nominalne nie przekroczą naprężeń dopuszczalnych. Wystarczy wówczas przeprowadzić obliczenia wytrzymałościo~ we na naprężenia dopuszczalne, natomiast przeprowadzanie obliczeń na dopuszczalne odkształcenia nie jest konieczne. lstnieją jednak przypadki, gdy pomimo speŁnienia warunków wynikających z obliczeń na naprężenia dopuszczalne prawidłowa praca maszyn lub urządzeń nic jest możliwa, gdyż o wartości dopuszczalnych obciążeń nie decydują dopuszczalne naprężenia, lecz odkształcenia (przemieszczenia). Typowym przykładem tego rodzaju urządzeń są wały pędniowe, w których kąt skręcenia jednego metra bieżącego wału nie może przekroczyć (l/4) 0 , czyli 9'dop

={I I 4)°/m

(1 .5)

Warunek sztywności wału i warunek wynikający z naprężeń dopuszczalnych będą jednocześnie spełni.one wówczas, gdy średnica d wału, obliczona ~ wzoru na skręcanie

17

I. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku obciąteń stałych

- Ms . 1 - (1 14)o/m - l 1t GJ -4180 o

rad

'Pdop -

m

a więc nd4 32

Jo=--= spełnia

4· 180· M · l

(a)

s

nG

wzór na naprężenia dopuszczalne

-r= Ms= M,·16 =k Wo

1td3

(b)

s

Po wyrugowaniu M. ze wzorów (a) i (b) otrzymuje się 2

4

3

7t Gd 11d k ----=--$

32·4·180

16

stąd

d

:=

8· 180·ks 7tG

Jeżeli przyjmiemy napręzenia dopuszczalne na skręcanie dla wału stalowego 4 ks"" 20 MPa, a moduł sprężystości postaciowej dla stali G = 8,5· l0 MPa, otrzymamy

d

==

8 · l 80 · 20 ""' O 108 m == I 08 mm 4

7t • 8,5 . l 0

'

Oznacza to, że cienkie wały stalowe należy obliczać na dopuszczalny kąt skręcenia i Y.1edy automatycznie naprężenia będą mniejsze od dopuszczalnych k, 20 MPa (::::;200 kG/cm2), natomiast wały o grubości większej niż 108 mm należy obliczać ze wzoru (b), tj. na naprężenia dopuszczalne. Wzory na momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na skręcanie dla wałów pełnych i wydrążonych podano w tabl. 1.2 W zakresie budo'")' suwnic obowiązują przepisy określające m.in. maksymalną strzałkę ugięcia suwnicy, spowodowaną obciążeniem równ~m 110% udźwigu przy najbardziej niekorzystnym rozmieszczeniu wózka (lub wózków, gdy jest ich wil(cej niż jeden) Maksymalna strzałka ugięcia nie może przekroczyć

=

następujących wartości:

1, 1/700 rozpiętości suwnic o napędzie elektrycznym, 1, 11500 rozpiętości suwnic jednodźwigarowych o napędzie elektrycznym, 1, l /400

18

rozpiętości

suwnic o

napędzie ręcmym

1. Tok przeprowadzania obliczeń Tablica 1.2. Momenty bezwladnoicl J i

wskaźniki wytrzymałości W

wytrzymałościowych

niektórych figur

A. Przy zginaniu względem osi zaznaczonej na rysunku

~-

1tR 4 nD 4 J=-=4 64 •

fil),,

- --·-

J =-

~~

i !

:J:

a; ~

1. . .

4

4

4

- ----

D

bh3

J=-

12 '

4

R

bh2 W=6

-·-~·--·

..

h4

w"" J2 h 3

J=-

12'

12

-

1

1ta b

J=--

4 '

2 7ta b W=-4

--



tł 1 i

4

w... 32

_____

~~- ··

1C

(D - d ) =- (R - r ) 4 JtR4-r4 x D 4 -d 4

lC

64

Il···-

nR3 xD3 W= - = 4 32

f

t

b~

ł

~

:J:

-ł,_t~

~a-

BH 3 -bh 3 12 BH 3 -bh 3 W= 6H

Vh ~~ tł

~~

~

,...8.._

~

1=

-

b B

B. Przy skręcaniu

~ fil) ...

tr.R4

tr.D4

Jo=-2- = n ·

1CR3 nD3 Wa=--=--

2

16

..

J = ~ ( R4 -r4) = ~ (D4 -J4 ) o 2 32

Wo=~(~)=~( D4 - d4J 2

R

16

D

19

1. Obficzema

wytrzymałościowe

1.4. Obliczenia

w przypadk'tl

obciąten stałych

wytrzymałościowe

na

stateczność

Jak wiadomo z wytrzymałości materiałów, stan równo\vagi układu może odrównowadze stałej, a w niektórych przypadkach równowadze chwiejnej lub obojętnej, gdy niewielkie dodatkowe siły powstające np. od drgań własnych mogą spowodować skonczone przemieszczenia pewnych pwiktów układu. Mówimy wówczas o utracie stateczności danego elementu lub całej konstrukcji. Gdy utrata stateczności następuje pod wpływem sił ściskających, zjawisko to nazywamy wyboczeniem (por. p . 3.1 ). W przypadku zginania utrata stateczności przejawia się zwichrzeniem belek (por. p. 3.2). Utrata stateczności płyt przejawia się wybrzuszeniami zachodzącymi w pewnych obszarach i oznaczanymi za pomocą warstwic (JX>r. rozdz. 11) W powło­ kach poddanych ściskaniu, zginaniu lub skręcaniu, stanowiących np. powierzchnie zbiorników, rur itp. urządzeń, utrata stateczności przejawia się powstawaniem fal, których liczba zależy od kształtu i od grubości powłoki (por. rozdz. I 2 i l 3). powiadać

1.5. Obliczenia wytrzymałościowe na pełzanie Przy obliczaniu elementów narażonych na działanie wyższych temperatur należy uwzględnić zjawisko pełzania materiałów i związanej z tym relaksacji naprężeń. Pełzaniem

materiału

nazywamy zdolność do powolnego powiększania odkształceń, mimo tego że obciążenie w tym czasie nie ulega zmianie. Z pełzaniem materiału związane jest z;awisko relaksac;i, tj. ZJlUliejszania się naprężeń w miarę upływu czasu przy zachowaniu nie zmienionych odkształceń (por. rozdz. 16). Obliczenia na pełzanie mogą warunkować wytrzymałość danej cz~śc1 lub konstrukcji już w temperaturach normalnych, tj. bliskich 20°C. Dotyczy to elementów wykonanych ze stopów cyny, cynku itp., a przede wszystkim z tworzyw sztucznych. Dla stopów lekkich obliczenia na pełzanie mogą decydować o wartości dopuszczalnych obciążeń już w temperaturze 60°C, dla stali zaś od 200°C.

1.6. Obliczenia

metodą nośności

granicznej

W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych, wykonanych z materiałów granicy plastyczności (np. ze stali niskowęglowych), można uzyskać oszczędności materiałowe przeprowadzając obliczenia wytrzymałościowe metodą nośności grani,·znej. o

wyraźnej

20

I Tok przeprowadzania

obliczeń wytrzymałościowych

Rozpatrzmy na przykład belkę statycznie niewyznaczalną, utwierdzoną podpartą w punkcie B, obciążoną na całej długości obciążeniem ciągłym o natężeniu q (rys. l.2a). Zgodnie z danymi odczytanymi z tabl. 5.4 (poz. 9) wartości reakcji podporowych i momentu utwierdzenia MA podano na rys. l.2b, a wykres momentów gnących- na rys. 1.2c.

w punkcie A i

"~JIIIIIIlI~IIIlIIIlll~ ,., - 1 ,2

.c-3q

g

~l~}lIIll!Il!IIIIl~~~~~Jf

b)

l { ]t!J''~11J]j]jl[ff~11···1H.1 1= ~ 9l2

c)

~~

1111

f

T~,

d)

Mµ~f lIIIJll!III!III!lIIIII~

I R' A

przegub

plastyczny

R' 8

Rys. 1.2 Przeprowadzając

obliczenia metodą naprężeń dopuszczalnych, stwierdzamy, że naprężenia maksymalne (czyli nominalne) powstają w przekroju utwierdzenia 1 wynoszą

M 12 ==-A ==g__
(j

(a)

gdzie W - wskaZnik wytrzymałości przekroju na zginanie. Jeżeli obciążenie q zaczniemy powiększ.ać, to naprężenia w przekroju utwierdzenia w skrajnych włóknach belki przekroczą wartość naprężeń dopuszczalnych kr i osiągną wartość granicy plastyczności Re. Jeżeli nawet naprężenia w całym przekroju utwierdz.enia osiągną wartość R,, to w przekroju tym utworzy się tzw. przegub plastyczny, belka zaś znajdować się będzie nadal w równowadze stałej . Jak wiadomo z wytrzymałości materiałów (por. [18] str. 408), w przypadku belki o przekroju prostokątnym moment plastycmy Mp1 jest o 50% większy od mo21

l. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciążen

stałych

określonego wzorem (a) przy założeniu, że w obu przypadkach maksymalne nie przekroczą granicy plastyczności R~. W budowie maszyn, jak również w oblicz.eniach konstrukcji stalowych dźwignic, zbiorników itp. nie stosuje się w zasadzie metody nośności granicznej. Podobny skutek uzyskuje się stosunkowo prostszą dro~ przyjmując odpowiednie wartości wymaganych współczynników bezpieczeństwa x..,. Znalazło to wyraz również w tabl. 1.1, gdzie wartość cząstkowego współczynnika bezpieczeństwa x2 jest uzależniona od stopnia ważności przedmiotu. Tak więc dla belki statycznie niewyznaczalnej można przyjąć małą wartość współczynnikax2 (np. x 2 = l,0+1,1), gdyż utworzenie się przegubu plastycznego nie spowoduje żadnego zagrożenia w normalnej pracy belki, natomiast w przypadku belki statycznie wyznaczalnej utworzenie się przegubu plastycznego spowodowałoby naruszenie stanu równowagi, prowadz.ące np. do złamania belki, w związku z. czym - zgodnie z danymi zamieszczonymi w tabl. 1.1 - współczynnik cząstkowy x2 należałoby przyjąć w granicachx2 = l,3+1,5.

mentu MA

naprężenia

1.7. Obliczenia wytrzymałościowe metodą stanów granicznych Omówione wyżej metody oblicz.eń wytrZ}Tll3łościowych można określić ja.ko klasyczne, obejmujące wszelkie maszyny i urządzenia, konstrukcje i mechanizmy, pojazdy, silniki itp., wykonane z różnych materiałów, jak stale, staliwa. żeliwa, stopy miedzi, aluminium itp. W dążeniu do maksymalnego wykorzystania materiału i ujednolicenia metod obliczeniowych wydawane ostatnio nonny nakazują przeprowadzenie oblicz.eń wytrzymałościowych konstrukcji stalowych tzw. metodą stanów granicznych [38]. Istotną cechą tej metody jest wprowadzenie tzw. wytrzymałości obliczeniowej fd (zamiast naprężeń dopuszczalnych k), przy czym fd jest z zasady znacznie wyższe od k, w przybliżeniu równe 0,85-:-0,90 granicy plastyczności R,. Pociąga to za sobą znaczne sfonnalizowanie metod obliczeniowych, wprowadzenie kilkunastu współczynników bezpieczeństwa, które każdorazowo należy ustalić dla danego typu rozwiązań konstrukcyjnych itp. Jako zalecenie praktyczne można więc polecić stosowanie klasycznych metod obliczeniowych - podanych m.in. w niniejszej pracy - przy opracowywaniu projektów wstępnych, a następnie sprawdzanie tak obliczonego projektu według metod podanych w aktualnie obowiązujących Polskich Normach, przepisach Urzędu Dozoru Technicznego, nonnach branżowych itp.

2. Zestawienie podstawowych wzorów wytrzymałościowych

2.1. Rozciąganie i

ściskanie

W przypadku rozciągania obliczenia wytrzymałościowe ze żenia dopuszczalne sprowadzają się do warunku

względu

na

naprę­

(2.1) gdzie: P - siła rozciągająca, Fn1 - pole przekroju poprzecznego neno, tj. po odliczeniu otworów na nity, śruby itp., k, - naprężenie dopuszczalne na rozciąganie określone wzorem ( 1.2). Dla wszystkich przypadków rozciągania, jak również dla tych przypadków ściskania, gdy nie zachodzi jeszcze wyboczenie, słuszne są elementarne wzory na wartość odkształceń i naprężeń. Wydłużenie A. pręta pryzmatycznego o długości l i o polu przekroju poprzecznego F, rozciąganego siłą os10wą P (prawo Hooke'a), wynosi

..1 =Pl

(2.2)

EF

gdzie E - moduł sprężystości przy rozciąganiu (moduł Younga; por. tabl. l 9 .1 i 19.2). Wydłużenie względne (jednostkowe) w jednokierunkowym stanie naprężenia wynosi ,t p (7 e=-=-= -

1

EF

(2.3)

E

Wydłużenie względne

w dwukierunlmwym

(płaskim)

stanie naprężenia 23

/. Obliczenia wytrzymało.kiowe w przypadku obciążeń

&.r:

.stałych

= ~(ax - vay)

&y = ~(ay - vcrx)

(2.4)

gdzie v - liczba Poissona (wartości v dla różnych materiałów podano w tabl. 19.1 i 19.2). Wydłużenia względne w trójv.')'llliarowym (przestrzennym) stanie naprężenia (tzw. uogólnione prawo Hooke 'a) i ·r

=

~[ux -v(ay +u:)]

&y= ~[ay-v(uz+ux)] &1

(2.5)

=~[a, - v(ar +ery)]

przy czym osie x, y , z tworzą wzajemnie prostopadły układ współrzędnych, a CTx, ery, a, są naprężeniami głównymi, działającymi wzdłuż tych osi. Wyznaczanie naprężeń głównych i płaszczyzn głównych w płaskim stanie naprężenia przeprowadza się za pomocą następujących wzorów (2.6)

2T

tg2a = - - a„ - O'Y

(2.7)

przy cżyrn O'.x, O'y i !"oznaczają naprężenia na dwóch dowolnych wzajemnie prostoprzekrojach (rys. 2. la). Koło Mohra dla stanu naprężenia podanego na rys. 2 . la przedstawiono na rys. 2. lb. Wydłużenie pręta o długości I spowodowane przyrostem temperatury o M K [przyrost temperatury mierzony w stopniach Kelvina lub Celsjusza, oznaczany dawniej llt°C, zgodnie z układem SI należy oznaczać At K (kelwinów)] wynosi padłych

(2.8) gdzie a - współczynnik rozsrerz:alności liniowej (wartości a dla różnych materiałów podano w tabl. 19.1 i 19.2).

24

2. Zestawienie podstawowych wzorów wytrzymalosciowych

b)

a)

/

I

o

ł

I



(X

/

~ ft/.

i .

·- -- +~2
"

/

L·-· -"v-· -~

Rys. 2.1

Energia sprężysta w

pręcie rozciąganym siłą

P

P 2J EF),,2 V =--=-2EF

(2 .9)

21

Energia sprężysta w kostce sześciennej o boku I cm, poddanej działaniu naprężeń głównych Ur, O"y, <7z ,wynosi

~ =~(a„&_., +uY&Y +u ,t:z)

(2.10)

po podstawieniu zaś wzorów (2.5)

(2. 11)

2.2~ Ścinanie 2.2.l. Ścinanie czyste Ścinanie czyste realizuje się w przypadku płaskiego stanu naprężenia, gdy jedno z naprężeń głównych jest rozciągające, drugie zaś tak.ie samo co do wartości liczbowej, lecz ściskające . W przekrojach nachylonych pod kątem 45° do kierun-

ków naprężeń głównych istnieje wówczas czyste

ścinanie

z rozkładem naprężeń r

podanym na rys. 2 .2. Prawo Hooke'a przy ścinaniu [analogiczne do wzoru (2.3)) ma postać r

r=G

(2. 12)

25

!. ObJiczcnia

Ry~.

i+ytrzymałosciowe

w przypadku obciążeń s1ałych

l.l

r-

gdzie: kąt odkształcenia postaciowego (rys. 2.2), G - moduł sprężystosci postaciowej Kirchhoffa (wartości modułu G dla różnych materiałów podano w tabl. 19.1 i 19.2), r- naprężenie tnące (styczne). Zależność między modutem sprężystości postaciowej G i modułem Younga E jest ujęta wzorem G=

E

(2 .13)

2(1 + v)

Energia sprężysta w kostce sześciennej o boku I cm, poddanej czystemu ścinaniu r, wynosi (według rys. 2 .2)

naprężeniami

2

V. - ry - .!_ 12 - 2G

(2 14)

2.2.2. Ścinanie technologiczne Średnia wartość napręż.eń tnących przy ścinaniu siłą T elementu o polu F przekroju poprzecznego

(2.15) W przypadku gdy znana jest wartość naprężeń dopuszczalnych na ścinanie k,, wyznacz.anych z próby technologicznej na ścinanie, warunek wytrzymałościowy sprowadza się do obliczeń na dopuszczalne naprężenia według wzoru (2.15a)

Ze wzoru (2. l5a) korzysta się w obliczeniach szacwikowych (wstępnych) nitów, sworzni, czopów, wałów itp. Rzeczywisty rozkład naprężeń tnących w elemencie o przekroju poprzecznym w kształcie wąskiego prostokąta, ścinanym siłą poprzeczną T, wyraża się wzorem (por. [18], str. 191)

(2.16)

26

2. Zestawienie podstawowych wzorów wytnymalołciowych

s;- - moment

gdzie:

statyczny względem osi obojętnej tej części przekroju

poprzecznego, która jest z.awarta między współrzędnymi y oraz Ym!UC., odmierzanymi od osi obojęUlej pokrywającej się z osią z; by - szerokość przekroju poprzecznego na poziomie określonym współrzędną y; Jz - moment bezwładności całego przekroju poprzecznego względem osi obojętnej pokrywającej się z osią z

(217) Wzory na momenty bezwładności J dla kilku figur podano w tabl. 1.2. Naprężenia tnące określone wzorem (2 .16) osiągają największą wartość w punktach przekroju położonych na osi obojętnej z. Dla przekroju prostokątnego 1'

max

3T 2F

3

(2.18)

= - = - !'

2

.fr

dla przekroju kołowego r 11 -

Jeżeli

4T

4

3F

3 ''

(2 . 18a)

=-=-t

nie jest znana

przyjąć

wartość

k1 otrzymana z prób technologicznych, to

k, = 0,6k, (por. p . 2.6) i warunek wytrzymałościowy wyrazi

się

można

wzorem

(2 l 9) Energia sprężysta w pręcie o polu przekroju F, ścinanym siłą Tx, wynosi

(220) gdzie

współczynnik

a wyraża się wzorem

f(SY,... J

2

a= -F

J; F

Współczynnik

przekroju

_ Y_

dF

(2.21)

b>'

ten dla przekroju

kołowego

prostokątnego

wynosi a= 1,2, a dla

pełnego

32 . a = 27

27

l. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku

obciążeń stałych

2.3. Skręcanie prętów okrągłych 2.3.1.

Skręcanie prętów

o przekroju

kołowym

Maksymalne naprężenia tnące w pręcie o przekroju kołowym skręcanym momentem M, nie mogą przekraczać naprężeń dopuszczalnych na skręcanie ks

M.
T=

(2.22)

Wo

Wskaźnik wytrzymałości

przekroju na skręcanie W0 jest równy ilorazowi biegunowego momentu bezwładności Jo względem środka przekroju przez odległość najdalszego włókna Prr- od tego środka

m_~ "oPmax

(2.23)

przy czym moment bezwładności bieguno"'Y przekroju wyraża się wzorem

f

(2.24)

Jo= p2dF F

Dla przekroju kołowego (dla pełnego wału okrągłego)

7td4 rcr 4 lo=--=32 2 3

W _ nd _ nr o - 16 - 2

(2.25)

3

(2.26)

Dla przekroju rurowego (wał wydrążony)

_1t(D

4

4

4

Jo -

-d ) _ x(R4-r ) - - --'----.J... 32 2

W -

n(D4 - d4) - 7t(R4 - r4)

0

l6D

-

Naprężenie

-

2R

dopuszczalne na skręcanie dla materiałów plastycznych przyjmuje się

ks= 0,6 k,. Kąt skręcenia pręta o długości


= M) GJo

28

I (2.27)

l. Zestawienie podstawowych wzorów wytrzymałośc10wych

Dla wałów pędniowych kąt skręcenia odcinka wału o długości 1 rn nie może przekraczać

1 7t ( )o/m = 4 180

rad

'Pat>? = 1/4

-

rn

Obliczenia ze względu na dopuszczalny kąt skręcenia sprowadzają się do warunku (2.28)

gdzie moment skręcający M, tości

należy podstawić w niutonometrach, postaciowej G - w megapaskalach (MPa). przy CZ}Ul

moduł sprężys­

MN N lMPa = l - = l - m 2 mm 2 Gdy dana jest moc N przenoszona przez wał skręcany przy liczbie obrotów n obr/min, moment skręcający M, oblicza się ze wz.oru: a) w układzie SI, gdy moc N jest podana w kilowatach (kW)

M„

=9549,3 -N ~ 9550-N n

n

N -m

(2.29)

b) w układzie technicznym (obecnie nielegalnym, lecz dawniej powszechnie stosowanym), gdy moc N jest pcxlana w koniach mechanicznych (1KM=75 kG·m/s ~ 735,499 W)

M„ Energia wzorem

N =71620n

(2 29a)

kG · cm

sprężysta pręta

o

długości

/,

skręcanego

momentem M,,

wyraża się

(2.30)

2.3.2. Obliczanie sprężyn

śrubowych

Dla sprężyn śrubowych (walcowych) wykonanych z drutu okrągłego o śred­ nicy d, ściskanych lub rozciąganych siłą P, warunek wytrzymałościowy wyraża się wzorem (2.31)

29

wytrzymałościowe

!. Obliczenia

w przypadku

wydłużenie zaś sprężyny mającej

obciąteń stałych

n zwojów

3

). = 8PD n

Gd

(2.32)

4

gdzie D - średnica walca zawierającego środki nych drutu tworzącego sprężynę (por. rys. 3.12).

ciężkości

przekrojów poprzecz-

2.4. Zginanie 2.4.1. Zginanie płaskie Zginanie płaskie zachodzi wówczas. gdy para sił o momencie M 8 W)'Wołująca zginanie działa w płaszczyźnie zawierającej oś belki oraz jedną z głównych osi bezwładności przekroju poprzecznego. Druga główna oś bezwładności przekroju pokrywa się wówczas z osią obojętną przy zginaniu. Maksymalne naprężenia normalne powstają we włóknach położonych w największej odległości od osi obojętnej i muszą spehtiać warunek

M W -

a = --g
(2.33)

B

przy czym k6 jest naprężeniem dopuszczalnym na zginanie - dla materiałów plastycznych kg = kr (dla żeliwa - patrz uwagi do tabl 19 11 ); W - wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie, równym ilorazowi momentu bezwładności przekroju J względem osi oboj~ej (wzór (2 . 17)] przez odległość najdalszego włóknaYmax

J

W = -Ym..,.

Wzory na momenty bezwładności przekroju względem osi obojętnej oraz wskaź­ niki wytrzymałości przekroju na zginanie dla niektórych figur podano w tabl. 1.2 Gdy dane są momenty bezwładności przekroju względem osi y i z, tzn. Jy. Jz, oraz moment

odśrodkowy J,,. = JdF · yz • wówczas kąt, j aki tworzą z osiami y i z F

osie główne przekroju, jest określony wzorem

tg2a

=

a momenty

30

2.1 zy Jy - Jz

bezwładności

(2.34) przekroju względem tych osi

głównych

2. Zestawienie podstawowych wzorów wytrzymałościoy,ych

(2.35) Promień

krzywizny belki zginanej momentem Mg wyraża się wzorem

_!_=Mg p EJ Energia

(2.36)

sprężysta

w belce zginanej

2

I

V= JM_.dx 2EJ 0 Jeżeli

(2.37)

moment M" jest stały na całej

długości

I belki, to

M2/ V=-s2EJ

2.4.2. Zginanie

ukośne

występuje wówczas, gdy płaszczyzna działania momentu w płaszczyźnie ·wyznaczonej przez oś zginanego pręta i jedną z głównych osi bezwładllości przekroju poprzecznego. Oś obojętna przy zginaniu ukośnym nie jest prostopadła do płaszczyzny działania momentu gnącego, jak to zachodzi w przypadku zginania płaskiego. Jeżeli płaszczyzna działania momentu gnącego tworzy z jedną z płaszczyzn głównych, np. płaszczyzną xy, gdzie oś x pokrywa się z osią pręta, ostry kąt a, to oś obojętna tworzy z tą płaszczyzną ostry kąt /Jo, określony zależnością (por. [18], str. 161)

Zginanie ukofoe

gnącego

tg/30

nie

leży

= tga

J

j

(2.38) 2

2.5. Obliczenia na docisk powierzchniowy 2.5.1. Docisk powierzchniowy liczony na rzut powierzchni styku W obliczeniach śrub, nitów, sworzni itp. elementów walcowych stosowanych w konstrukcjach połączeń docisk powierzchniowy liczy się na tzw. rzut powierz-

chni półwalcowej styku

31

!. Obliczenia

wytrzymałosciowe w

przypadku obciąteń

stałych

(2 39)

gdzie: d- średnica elementu łączącego (śruby, nitu, sworznia); b - najmniejsza grubość elementu łączonego, działającego na powierzchnię półwalcową dxb siłą P; kd - naprężenie dopuszczahie na docisk powierzchniowy liczony na rzut (wartości kd dla kilku matenałów podano w tabl. 19 .3). W podobny sposób oblicz.a się dociski w czopach wałów obracających się w łożyskach ślizgowych, przy czym dopuszczalny nacisk liczony na rzut jest wówczas wielokrotnie mniejszy od wartości kd podanych w tabl. 19 .3 i przy współpracy np. czopa ze stali St3 ze stopem łożyskowym o osnowie cynowej wynosi 5 MPa. Powierzchnict docisku oblicza się jako iloczyn średnicy czopa d i długości l panewki łożyska ([12], str. 634).

l.5.2.

Naprężenia

dociskowe

według

wzorów Hertza

Rozkład naprężeń występujących w miejscach styku dwóch gładkich, jednorodnych ciał dociskanych do siebie siłą P ustalił H. Hertz na podstawie wzorów wyprowadzonych zgodnie z z.asadami teorii sprężystości (Joum. Math., tom 92, 1881 r.; por. [33], (9], [ 18]). Naprężenia te osiągają największe wartości w środku powierzclmi styku, oznaczane są o:dH i noszą nazwę maksymalnych naprężen dociskowych (stykowych, kontaktowych), które oblicza się według wzorów Hertza. Wartości liczbowe napręż.eń acilf dla kilku przypadków częściej spotykanych w praktyce podano w tabl. 2. l, przy czym literą łf"Oznaczono wyrażenie 1 - ~2 l - v.2 Vf=-- l + -- 2

Ei

Ez

gdzie V1 i Ei oznaczają liczbę Poissona i moduł Younga ciała pierwszego, v 2 1 E2 zaś drugiego z ciał dociskanych, przy czym kolejność ciał jest taka, by r 1 ~ I r 2 I . Wartości liczbowe współczynnika 17 należy wyznaczyć z tabl. 2.2 w zależ­ ności od stosunku bla, przy czym współczynniki bi a oblicza się ze wzorów podanych w kolumnach 4 i 5 tabl. 2.1. W kolumnie 7 tabl. 2.1 podano wzory dla przypadków, gdy liczby Poissona dla obu stykających się ciał wynoszą v = 0,3. moduły Younga z.aś obu ciał są

jednakowe: E1

=E2 =E.

Wartości

naprężen dociskowych o-dit obliczone ze wzorów podanych w tabl. 2.1 nie mogą przekroczyć tz:w. naprężeń dopuszczalnych na docisk według Hertza kdH

(2.40)

32

Tablica 2.1. Maksymalne

naprężenia

dociskowe um

według

wzorów Benza

Wartości współczyn-

Lp.

S1;hematy i wymiary 1;iał dociskanych

2

Maksymakle naprężenia dociskowe O'tlH

ników do obliczania T/ (z tabl. 2.2)

3

a

b

I - v1 1- v 2 rp---· +--2 - Ei E2

4

5

6

Dwie kule o promieniach r1 i ri

0,57S4

dla jednakowych materiałów obu ciał, dla v = 0,3 oraz Ei =Ei= E, tj. 'I'= 1,82/E 7

(~Jp lf" 'i r2

2(r

J

1 1 0,388 PE -+r

r1r1

!'-.> N

(;;

i3' ~

"' ;;;· ;::

2

Kula o promieniu r1 w ku.li o promieniu r;

0,5784 3

( r r1

- 'i

IJI 'ir2

P

1(r2

J

r1 0,388 3 PE --r1r2

'"~ "' !S

~

1 ~

o ~-

:i;

3

Kula o promieniu r 1 w walcu o promieniu



rl

2r2

2r2

0,36517 J ( 2rl -rl 1pr1r 1

r

p

0,2448„

V/ PE

2(

J

2r2 - r1 -rtrl

-

·~

io l:i

"· ~o

~

"-'

-~

g_

Tablica l .1 (cd.) Wartości współczyn­

Lp.

Schematy i wymiary ciał dociskanych

Maksymalne naprężenia dociskowe CTtlH

ników do oblicz.an.is TT (z tabl. 2.2)

I - ~,?

b

a

4

Kula o promieniu r

o.s784J(~o-)P,

na płaszczylnie

5

1- v 2

y= - • +-- z E1 E1

Kula o promieniu ri l I na walcu o promieniu ~ + 2r

2

0,36517

dla jednakowych materiałów

obu ciał, dla v =O,3 oraz E1 = E2 = E, tj. Vf=:. 1,82/E

.

o.388

2

"2

6

Dwa walce o promieniach r 1 i T'z i osiach ró~oległych

0,418

PE I

' 1 +r2 '1'2

Walec o promieniu r

7

(PE

0,564J ;,,

na płaszczyźnie

0.418~/r

p

8

Ih>ta walce o osiach wzajemnie prostopadłych i promieniach ri i ri gdzie

0,244877 PE2

('i'i'i J) +rz

2

.2 2

1

1

'i

'i

r1

r.z>ri

9

Kula o promieniu ri na bieżni łożyska o promieniach 1"l i r~

I

I

'i

2r2 l

I 2 1 I ]' I(„I r21) OJ6517 [-(---+---:-) P 0,244817

- - -- + . :__ - +2

1

'1''1

r1

3

'2

(

)

PE - - - + -;

+-

2r,

IO

Baryłka o promieniach r 1 i

ri'

na bieżni łożyska o promieniach ri i r{

I(I I 2 -;;-+ ~ ~(+i-~ __!_ +~) +_!_+~) r2 rz "2

0,36517 X X J

[_!_( _!_ +~ V 'i "1

_+~)r _!_ "2

p

r2

0,244817 X X J

2

„, +~r, _ _!_r1 +~r '1

PE ( _!_

'2

Uwag a: Wartości v.spółCZ}t\llika 17 należy odczytać z tabl. 2.2 dla odpowiednich Wclrtości a i h obliczon}-ch według wmrów podanych w kolumnach 4 i 5.

1

!. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku

obciążeń stałych

Tablica 2.2. Wartości liczbowe wspókzynników 6 i 7 tabl. 2. l )

bla



0,00

l,000

0,05

0,999

0,10

0,997 0,995 0,991 0,986 0,980 0,972 0,963 0,952 0,939 0,924

0,15

0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,58 0,60 0,62 0,64 Uwaga:

Wartości

bla

0,916 0,908 0,900 0,892

b oraz a

0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,75 0,76 D,77

0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85

należy obliczać według

TJ

do wzorów Hertza (por. kolwnny



bla

11

0,86

0,749

0,873

0,87

0,863 0,852

0,88 0,89 0,90

0,738 0,727 0,715 0,702 0,687 0,67 1

0,883

0,842 0,836 0,830 0,823 0,816 0,808 0,800 0.792 0,784 0,776 0,768 0,759

0,91

0.92 (},93

0,653

0,94

0,633

0,95

0,612

0,96

0,587

0,97 0,98 0,99 0,995 0,997

0,555 0,517 0,467 0,390 0,350

wrorów podanych w kolwnnach 4 i 5 tabl 2.1.

Wartości liczbowe naprężeń dopuszczalnych kdlf oraz f dbH (przy metodzie stanów grarucznych) dla niektórych stali i staliw można odczytać z tabl. 19. 3. Jak wynika z tabl. 19.3, naprężenia kdlf mają wartości dość znacznie przekraczające granicę plastyczności na ściskanie. Wynika to z faktu, że w obsz.arach, gdzie występują największe napręż.enia dociskowe <:TJH, naprężenia główne są zawsze ściskające (trójkierunkowe ściskanie), co zgodnie z hipotez.arni wytrzymałościowymi doty~ czącymi materiałów plastycznych pozwala na dopuszczenie naprężeń ściskających większych od granicy plastyczności (por. [ 18 l, str. 179 i nast .).

2.6. Naprężenia zredukowane według aktualnych hipotez wytreymałościowycb

2.6.1. Obliczanie naprężeń zredukowanych dla

materiałów

sprężysto-kruchych

W przypadku mateńałów sprężysto-kruchych (jak np. żeliwo, nie wykazujące wydłużeń odlewy stopów lekkich, beton itp.) naprężenia zredukowane należy obliczać według hipotezy najwil(kszych wydłużeń (Saint-Venanta). Naprężenie

36

l . Zestawienie p
zredukowane dla trójkierunkowego stanu a;, ~ a; wynosi

naprężeń wyrażonego

przez

naprężenia

głó\\lle o;. ~ ctred

= ux -

v(a y + O'z)

(2.41)

gdzie v - liczba Poissona. W szczególnym przypadku płaskiego stanu napięcia, gdy działają tylko naprężenia nonnalne u i naprężenia tnące r. naprężenie zredukowane według hipotezy najwi~szych wydłużeń wynosi O'red

=J- V CT+ 1+VJui+4-r2 2

(2.42)

2

Warunek wytrzymałościowy wyraża

się zaletnością

(2.43) Dla materiałów o liczbie Poissona v :::: 0,3 wzór (2.42) przybiera postać CT"'d

2

=0,35cr+ 0,6SJa +4r

2

(2.44)

w przypadku zaś czystego płaskiego ścinania CTred

=1,3-r

2.6.2. Obliczanie

(2.45) naprężeń

zredukowanych w przypadku

materiałów

sprężysto-plastycznych

W przypadku materiałów mających wyraźną (Qr) lub umowną (Qoi) granicę najbardziej odpowiadają rzeczywistości obliczenia oparte na hipcrtezie Hubera (energii odkształcenia postaciowego) lub Coulomba (największych naprężeń tnących). W ogólnym przypadku przestrzennego stanu napięcia, gdy dane są naprężenia główne CT.x ~ oy ~ a„ naprężenia zredukowane wyrażają się wzorami: a) według hipotezy Hubera plastyczności

ured ==

~~[{ux -ayf +(cry-az)1 +(0-

1

-a.r)

2

J

(2.46)

b) według hipotezy Coulomba (2.47) Warunek

wytrzymałościowy

wyrazi

się zależnością (2

43)

37

!. Obliczenia

wy1rzymałosciowe

w przypadku oh ciąt.eri s tałych

W przypadku płaskiego stanu napięcia, gdy występują tylko naprężenia normalne O' i naprężenia tnące ?'", naprężenia zredukowane wynoszą : a) według hipotezy Hubera

(2 .48) b) według hipotezy Coulomba

(2 .49) Wzory powyższe znajdują zastosowanie w obliczeniach wałów okrągłych poddanych :r,ginaniu momentem gnącym Mg oraz skręcaniu momentem skręcającym M.•. Naprężenia zredukowane wyrażą się wówczas wzorami: a) według hipotezy Hubera

O'rod

b)

2 2 V/M g + 075M ' I = W

według

(Tred

=

(2.50)

hipotezy Coulomba

/M2+M2 V g s W

(2.51)

gdzie W jest wskaźnikiem wytrzymałości wału okrągłego na zginanie nd3 xr 3 W= -=32 4 Ponieważ różnice wynikające re stosowania hipotezy Hubera lub Coulomba są niewielkie, przyjęta jest dowolność w stosowaniu jednej z tych hipotez. W przypadku czystego ścinania naprężenia zredukowane wynoszą: a) według hipotezy Coulomba «7red

b)

= 2T

według

O'r•d

(2 .52) hipotezy Hubera

= J3r = 1,73T

(2.53)

Warunek wytrzymałościowy w przypadku czystego ścinania można również wyrazić przez naprężenia dopuszczalne na ścina.nic kr. Tak na przykład zgodnie z hipotezą Hubera ze wzorów (2.53) i (2.43) wynika związek

stąd

38

2. Zestawienie podstawowych wzorów wytrzymałościowych

k 1,73

r s _„_ = 0,578k,

= k,

zatem naprężenie dopuszcz.alne na ścinanie wynosi k,

=0,578k, ~ 0,6k,

(2.54)

Podobnie, wedh.tg hipotezy największych wydłużeń, dla materiałów sprężysto­ kruchych otrzymuje się [wzór (2.45)] k,

=~=o 77k 13 ' '

(2.55)

'

Można również obliczać naprężenia

z hipotezy

er

red

zredukowane według wzoru wynikającego

wytężeniowej Burzyńskiego

~[(I+ ::} ~[(a~ - ay)2 +(u, - a, ) +(u, - crS] +(1 + ~) ( crA + CTy +u,)] (2.56) 2

=

przy czym

powyższą

sprężysto-plastycznych,

z.aleiność

można

stosować

jak i sprężysto-kruchych.

zarówno dla

materiałów

3.

Stateczność prętów ściskanych

zginanych oraz sprężyn 3.1. Wyboczenie pryzmatycznych

lub

śrubowych prętów ściskanych

3.1.1. Zestawienie wzorów teoretycznych W przypadku prętów ściskanych może nastąpić utrata stateczności pręta przy znacznie mniejszych od granicy sprężystości. Krytyczną wartość siły ściskającej Pkr, przy której pręt przegubowy o długości l (rys. 3.1) ulega wyboczeniu, określa wzór (por. (18], str. 243) p

naprężeniach
R _

1t

kr -

2E.Jmm 12

~

(3.1)

18 I

w

naprężenie

I I

krytyczne - wzór

P._,

Cikr

I I

n E

=7= 7

. I I I ' I !I

I.

2

(3.2)

i'

gdzie: Jrnin - minimalny moment bezwładności przekroju wzglę­ dem osi obojętnej przy zginaniu, l.., - długość wyboczeniowa pręta (por. tabl. 3.1), s - smukłość pręta, wyrażona wzorem

;A

Rys. J.l

(3.3) w którym

;min jest

· fimin F

I . =

mm

--

minimalnym promieniem bezwładności przekroju

(3.4)

Przy innych sposobach zamocowania końców pręta ściskanego długość wyboIw pręta, występującą we wzorach (3.1) i (3.3), można wyznaczyć

czeniową

z

z.aletności

40

3. Stateczność pręttM ści~nych lub zginanych oraz sprętyn śrubo\+yCh

(3.5)

!.., = 71/ gdzie: / -

długość

rzeczywista obliczanego

pręta,

11- współczyrmik wybocze-

niowy długości pręta. Wartości liczbowe współczynników 1/ dla częściej spotykanych warunków brzegowych prętów podano w tabl. 3 .1. Wzory (3 .1) oraz (3 .2) są słuszne wówczas, gdy naprężenia krytyczne są nmiejsz.e od granicy proporcjonalności. Wzory te można więc stosować wówczas, gdy smukłość pręta jest większ.a od smukłości granicznej sgr. obliczonej ze wzoru

ssr

=1t8;

(3 6)

R

H

gdzie RH - granica proporcjonalności, tj. stosowalności prawa Hooke'a. Dla stali konstrukcyjnej St3, mającej Rn= 200 MPa i moduł Younga E = 2, l · l 0 5 MPa, smukłość graniczna według wzoru (3 .6) wynosi sw = 1OO (por.[18], str. 244) Dla smukłości większych od sgi: należy więc stosować wzory (3.1) i (3.2), dla smukłości z.aś mniejszych - wzór Tetmajera akr

= R~ - R~ ~RH ~ ~

(3 7)

s

Tablica 3.1. Wartości liczbowe współaynnika wyboczeniowego długości pręta (do wzoru (3.5)] Lp.

Schemat obciążenia

Warunki brzegowe



Lp.

Schemat obciąt.enia

Warunki



bn:egowe p

~

2

3 Oba końce utwierdzone

Przeguby ne obu końcach

Jeden koniec utwierdzony, drugi swobodny

Jeden koni~ utwierdzony, drugi przegubowy

4

2

ri

0,5

0,7

J 41

I. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku obciążeń stałych

Tablica 3.1 (cd.) Lp.

Wanmki brzegowe

Schemat obciążenia

T/

5

Lp.

Schemat

obciążenia

Warunki brzegowe

1]

8 Dolny koniec utwierdzony,

Jeden koniec utwierdzony, drugi może

obciążenie

q

0,782

z:nuenne

sic; ptZCSUWaĆ

bez: obrotu

l- x

q=qo-,-

Dolny koniec

6

obciążenie

Dolny koniec

9

utwierdzony,

utwierdzony,

1,12

dwie siły

ciągłe ąo

l,545

ściskające :

jednakowe na

każda

całej długości

równa

I

-P

pręta

2

"" 7

10

Dolny koniec utwierdzony,

Dolny koniec l,3SS

obciążenie ą

utwierdzony, dwie siły jak

zmienne

na rysw1lru

1,708

X ą=%7

Dla stali St3, dla której zgodnie z tabl 19.3 granica plastyczności R. =240 MPa, wzór Tetmajera przybiera postać Ukr=

(3.7a)

240 - 0,395s

Obliczenia

vvytrZ)'lllałościowe uwzględniające stateczność

ściskanych sprowadzają się

(wyboczenie) prętów

zatem do wzoru (3 .8)

gdzie x -

współczynnik bezpieczeństwa

funkcją smukłości

42

s

pręta.

na wyboczenie,

~dący

zazwyczaj

pewną

3. Stateczność prętów ściskanych lub zginanych oraz sprężyn śrubowych

3.1.2. Praktyczne metody obliczania prętów ściskanych Obliczenia prętów ściskanych przeprowadzane z.a pomocą wzorów (3.1), (3.2) lub (3. 7) są niedogodne, gdyż inaczej oblicza się pręty krótkie, tj. mające małą smukłość, a inaczej pręty długie, przy czym współczynnik bezpieczeństwa x we wzorze (3.8) wymaga dodatkowego ustalenia. Z tych względów obliczenia na wyboczenie przeprowadza się przy zastosowaniu wzorów podanych w odpowiednich normach [38j. Wzory te - w obecnej postaci - uwzględniają między innymi różnorodne sposoby współpracy elementów ściskanych z całością konstrukcji i dlatego są mało przejrzyste. Tablica J.2. Wartoici W5pólczyoników wyboczeniowych p dla 5tali i

Dla stalt o granicy plastyczności R, MPa

l„ s=-. I,,;,,

o IO

20 30 40 50

55 60 65 70 75

80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 ISO 155

~t11liwa

300 s; R, ::; 380

R, < 260

26() ::; R, < 300

I 0,980 0,950 0,920 0,890 0,850 0,825 0.800 0,770 0,740 0,710 0,680 0,650 0,620 0,585 0,550 0,515 0,480 0.450 0,420 0,395 0,370 0 ,345 0 ,320 0,300 0,280 0 ,265

I 0,980 0,950 0,920 0,885 0,840

0,980 0,950 0,920 0,880 0,830

0,813 0 ,785 0,750 0,720 0,683 0,645 0,608 0,570 0,533 0,495 0,460 0,425 0,395 0,365 0 ,340 0,315 0,295 0,275 0.258 0,240 0,237

0,800 0,770 0,730 0,700 0,655 0.6 10 0.565 0,520 0,480 0,440 0,405 0,370 0,340 0,310 0,285 0,260 0,245 0 ,230 0.215 0,200 0,190

I

43

I. Obliczenia

wytrzymalo.ściowe w

przypadku

obciąteń stałych

Tabllca l .2 (cd.) Dla stali o granicy plastyczności R. MPa

I„

:r=.-

'mn

R. < 260

260 ~ R. < 300

300 s R, s 380

0,250

0,215 0,190 0,170 0,153 0,135 0,120 0,110 0,103 0,095 0,085

0,180 0,160 0,140 0,125 0,110 0,100 0,090 0,085 0,080 0,070

160 170

0,220 0,200 0,180 0,160 0,140 0,130 0,120 0 ,110 0,100

180 190 200 210

220 230 240 250

Tablica 3.3. Wartości 'IHpółczynników wyboczeniowycb pdla 1topów aluminium, żeliwa i drewna

/,., s=. Jmn

o

PA6

PA4

PA2

durat0 >

anticorodal1n

hydronalium
1

I

I

1 0,9 1

20

0,97

0,98

I

30

0 ,85

0,9 1

0 ,98

0 ,81

40

0,72

0 ,80

0,69

50 60

0,60

0,70

0 .94 0,87

0,50

0 ,60

0,79

0,44

0,57

drewno

l 0,99 0,93 0,87 0,80 0 ,71

70

0,40

0,51

0,72

0,34

80

0 ,30

0,42

0,66

0 ,26

0,60 0 ,48

90

0,23

0 ,33

0,60

0,20

0,38

0 ,1 6

0 ,31

100

0 ,19

0,27

0,54

110

0 ,16

0 ,22

0,48

120

0,13

0,18

0,41

0,22

130

O, 11

0,16

0,35

0,18

140

0,10

0,14

0,30

0,16

0 ,25

160

0,07

O, 11

0,23

0,12

180

0,06

0,08

0,18

0, 10

200

o.os

0,07

O.IS

0,08

250

O,Q3

0,04

0,09

(Il Dawna nazwa handlowa stopu

44

żeliwo

3. Stateczność prętów ściskanych lub zginanych oraz spręzyn śrobowych

W obliczeniach wstępnych można korzystać z prostego wzoru

p <1= - -
PF;,, -

(3.9)

c

gdzie: F'r>r - pole przekroju poprzecznego pręta brutto (tj. bez odliczania otworów na nity, śruby itp.), f3 - współczynnik wyboczeniowy, którego wartości należy odczytać z tabl. 3.2 dla stali i staliwa, z tabl. 3.3 zaś dla żeliwa, stopów aluminium i drewna.

3.2. Wyboczenie prętów o przekroju stałym

dwugałęziowych

i wielogałęziowych

Dla prętów o przekroju stałym, złożonych z dwu lub kil.ku prętów połączonych ze sobą przewiązkami (rys. 3.2) lub kratą (rys. 3.3), obliczenia na wyboczenie należy przeprowadzać zgodnie z nomtą [38]. Zasadmczym elementem obliczeń jest analiza tego, by nie nastąpiło wyboczenie pręta (słupa) o przekroju złożonym, traktowanego jako całość, jak również wyboczenie każdej gałęzi pręta na odcinkach między przewiązkami lub węzłami kraty. Smukłość każdej gałęzi pręta należy obliczać jako iloraz długości gałęzi na odcinku między przewiązkami lub węzłami kraty przez promień bezwładności I przekroju wzgl~cm osi, oznaczony na rys. 3.2 i 3.3 cyframi 1-1. Smukłość całego pręta naJeży obliczać ze wzoru (3.10)

gdzie sy - smukłość całego pręta względem osi y-y według rys. 3 .2 i 3. 3

i s y =L iy

ly- długość wyboczeniowa w kierunku prostopadłym do osi y-y według rys. 3.2 i 3.3, iy-promień bezwładności całego prz.ekroju (tj. wszystkich gałęzi) względem osiy-y. a)

b)

Rys. J.2

45

l. Obliczenia

wytrzymałościowe

w

pr~ypadhu obciąuń stałych

a) d)

Rys. 3.3 współczynnik

a) dla gałęzi

r

wynosi:

łączonych przewiązkami

(3.11)

b) dla gałęzi

r=

I+

łączonych kratą

2 L' /2 7t rbr l 2 2

(3.12)

mF.l e s>' k 1

gdzie: s1 = li/i1 - smukłość odcinka gałęzi względem osi 1-1 według rys. 3.2 i 3.3, Fm - pole przekroju wszystkich gałęzi brutto, długość teoretyczna krzyżulca między przecięciami się jego osi z osiami gałęzi słupa, m - liczba płaszczyzn wiązań słupa przeciętych osią y-y, Fic - pole przekroju pojedynczego krzyżulca brutto, e - odstęp między osiami gałęzi słupa Szerokość b przewiązek przyspawanych (rys. 3.2) nie powinna być mniejsza niż 1OO nun. Przewiązki należy liczyć na siłę poprzeczną określoną wzorem

'* -

T=0,012p

p

(3.13)

gdzie: P - siła osiowa ściskająca słup, /3 - współczynnik wyboczeniowy wyznaczony z tabl. 3.2, odpowiadający całemu prętowi o przekroju złożonym.

46

3. Statecmosć prętów tci~kanych lub zginanych oraz sprętyn tnJbawych

Dla słupa ukształtowanego jak na rys. 3.4 krytyczną wartość siły ściskającej P można obliczyć ze wzoru

(3.L4)

gdzie: F1 - powierzchnia przekroju poprzecmego dwóch krzyżulców znajdujących się po obu stronach słupa, F 2 - powierzchnia przekroju poprzecmego dwóch przewiązek znajdujących się po obu stronach słupa,


P. 1cr

ze wzoru

= 1r.2 Ef 12

l 7t2J

(3 .15)

I

l + - -- -- --..,,.-12 F; sin
Il 1---b-l

Rys. 3.5

Rys. 3.6

47

I. Obliczenia

wytrzymało.śc1owe w

przypadku obciążeń

stałych

Oznaczenia we wzorze (3.15) są takie same jak we wzorze (3.14). Dla pręta złożonego z dwóch ceowników połączonych przewiązkami (rys. 3.6) można stosować wzór

p -

„~

1t2 El -~

I'

-------,.-------------

(3 16)

l+•;;r(i2°~~+2;~,+b;~G)

gdzie: J1 - moment bezwładności przewiązki, J1 - moment bezwładności jednej gałęzi słupa, F 1 - pole przekroju poprzecznego dwóch przewiązek, n - współ­ czynnik (dla przewiązek o przekroju prostokątnym n= 1,2), J - moment bezwładności (minimalny) przekroju (tj. obu ceowników).

3.3. Wyboczenie prętów o przekroju zmiennym Dla prętów o przekroju poprzecznym zmiennym skokowo, przedstawionych na rys. 3. 7, krytyczną wartość siły ściskającej można wyznaczyć ze wzoru Ef2

P. =n - kr Jz

(3. I 7)

gdzie n wyznacza się z tabl. 3 .4. Tablica 3.4.

Wartości współczynnika

~

n we wrorze (3.17)

0,2

0,4

0,6

0,8

0,01

0,15

0.27

0,60

2,26

0,1

1,47

2,40

4,50

8,59

0,2

2 ,80

4,22

6,69

9,33

0,4

5,09

5,68

8,51

9,67

0,6

6,98

tU9

9,24

9,78

0,8

8,55

9,18

9,63

9,84

I

I

Krytyczną wartość siły ściskającej pręt w wymaczyć również

R kr

48

sposób podany na rys. 3 .1 można

ze wzoru przybliżonego

= rr.2Ef2 - - - -- - - - - - - -

J2

T+ I ~ ~ J~ -i ~~ -1 sin T (

)

l3 .18)

3. Stateczność prętów ściskanych lub zginanych oraz sprężyn śrubowych

W przypadku prętów czterogałęzio'\1\ych (rys. 3.8), w których moment bezwładności

przekroju Jx określony współrzędną x spehlia warunek

gdzie J 1 jest momentem

bezwładności

przekroju poprzecznego w

głowicy słupa,

siłę krytycmą ściskającą słup określa zależność

P.k = n Ef2 r

(3 .19)

/2

w której: Jz - moment bezwładności przekroju poprzecznego na dolnym końcu słupa, n - współczynnik, którego wartość w zależności od stosunku J2IJ1 należy odczytać

z tabI. 3 .5.

1_ ·.7.

i

1

I I J2 I

I I

i __, I I I

,f ' ---,, I I

I I

I

I

i!k,.___ _~: Rys. 3.7

Ry~.

J .8

49

l. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obci~en stałych Tablica 3.~.

Wartości współczynników n

we wzorze (3.19) oraz n 1 we wzon:e (J.20)

JzJJ1

o

0,1

0,2

0,3

n

0.250

1,350

1,593

1,763

1,904 2.023 2.128 2,223

ni

-

1,202

1,505

1,710

1,870

Dla prętów w kształcie czną określa wzór

0,5

0,4

2,002

pełnego stożka

0,6

2,116

0,7

2,217

0,8

0,9

!,O

2,31 1 2,392

7t2/4

2,308

7t2/4

2,391

przedstawionego na rys. 3.9

siłę

kryty-

(3.20)

w którym wartość współczynnika n 1 należy odczytać z tabl. 3.5. Dla prętów mających część cylindryczną oraz części stożkowe (rys. 3.10), dla których momenty bezwładności Jx przekroju określonego współrzędną x mierzoną od teoretycmego wierzchołka stożka "')'rażone są wzorem

J/1 !r1"1I I

fi

1111 .I

I'l•I

_,

111 ·11 1.1

il I ·1 IJ I

p

Rys. 3.9

50

Ryl. 3.10

3.

Statecmość prętów ściYkanych

lub zginanych oraz spręzyn

śrubowych

(3 .21) krytyczną wartość siły ściskającej określa

pkr

= n2

wzór

e;i

(3.22)

gdzie wartosć współczynnika n2 należy odczytać z tabl. 3.6 dla odpowiedniego wykładnika potęgi m we wzorze (3 .21) i stosunku momentów bezwładnosci przekroju cylindrycznego J2 do przekrojów końcowych J1. Tablica J.6.

Wartości

wspólczynnika n 2 we wzorze (J.22)

m

Ji!Ji

O,\

0,2

0,4

0,6

(3.21)

o

0,2

0,4

0,6

0,8

I

2 3 4

6,48 5,40 5,01 4,81

7,58 6,67 6,32 6,11

8,63 8,08 7,84 7,68

9,46 9,25 9,14 9,08

9,82 9,79 9,77 9,77

I 2 3 4

7,01 6,37 6,14 6,02

7,99 7,49 7,31 7,20

8,91 8,61 8,49 8,42

9,63 9,44 9,39 9,38

9,&2 9,81 9,81 9,80

I 2 3 4

7,87 7,61 7,52 7,48

8,59 8,42 8,38 8,38

9,19 9,15 9,12 9,10

9,70 9,63 9,62 9,62

I 2

8,61 8,51 8,50 8,47

9,12 9,C4 9,C2 9,CI

9,55 9,48 9,46 9,45

9,76 9,74 9,74 9,74

I

9).7

2

9,24 9,23 9,23

9,54 9,50

9,69

3 4 0,8

3 4 1,0

bil

wykładnik we \W:Or.le

lt2

9,~0

9,49 Jt''

1C1

9,83 9,82 9,81 9,81 1t2

1

lt2

1t1

9,84

1(2

9,85

11:2

9,86

11:2

lt2

rr1

51

I. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku obciąźeń

stałych

3.4. Wyboczenie sprężyn śrubowych stateczności

(wyboczenie) sprężyny śrubowej ""ykonanej z drutu o średnicy di z materiału o liczbie Poissona v =0,3 nie jest możliwa, jeżeli stosunek wysokości swobodnej Ho do średnicy podziałowej zwojów D spełnia warunek Utrata

Ho < 2,62 D Dla

sprężyn

o większej długości ~'Yobodnej , tj. gdy Ho > 2,62 D, utrata zachodzi przy ugięciu ;t > 0,813 H 0 , gdy końcowe zwoje sprężyny są podparte przegubowo ([22], t. 2, str. 71 ). W przypadku sprężyn ścis-

statccmości

ściskanej

~

Et1~1 ~

~ Rys. J.11

kanych w sposób podany na rys. 3.11, dla stosunku modułu Younga Edo modułu sprężystości postaciowej G wynoszącego EIG = 2,6 Gak dla stali sprężynowych), krytyczną wartość siły ściskającej określa wzór P.

1cr

=6,5GJ Io [1D3 ~

n

D)2]

1- 6 865 ( , Io

(3.23)

gdzie: G - moduł sprężystości postaciowej, .I - moment bezwładności przekroju poprzecznego drutu okrągłego względem średnicy: J = Ttd4 /64, /0 - długość początkowa sprężyny, D - średnica linii śrubowej sprężyny, n - liczba zwojów.

52

3. Statecznośc prę_t&w ści.ska11ych luh zginanych oraz sprętyn śrubowych

3.S. Zwichrzenie belek W przypadku zginania belek oprócz sprawdzenia warunków wytrzymałościowych ujętych wzorami na naprężenia normalne [wzór (2.33)] oraz na naprężenia styczne [wzór (2.16)] dla zginania z udziałem sił poprzecznych należy również rozpatrzyć ewentualność utraty stateczności polegającą na zwichrzeniu betki. W przypadku belki wspornikowej o przekroju w kształcie wąskiego prostokąta, obciąż.onej na końcu siłą P, zwichrzenie przedstawione na rys. 3.12 nastąpi wówcz.as, gdy siła P osiągnie ·wartość krytyczną ujętą wz.orem ([35],

str.257)

pkr

= 4,~213 JBC

(3 .24)

We wzorze tym B jest sztywnością na zginanie w kierunku poprzecznym hb3 B =-E

(3.25)

12

C-

sztywnością na skręcanie

swobodne.

11 1 1 Rys. J.12

Dla belki o przekroju obliczyć

prostokątnym sztywność na skręcanie swobodne można

ze wzoru 3

C= hb (1 - 063o!)G 3 ' h

(3 .26)

Wzory na siłę krytyczną dla innych przypadków podparcia i obciążenia belek o przekroju w kształcie wąskiego prostokąta podano w tabl. 3 .7 ([13], (23]). 7,agadnicnie stateczności płyt, tarcz, powłok, rur, zbiorników itp. omówiono w odpowiednich rozdziałach dotyczących obliczeń wytrzymałościowych tych

elementów. 53

!. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku Siła

Tablica 3. 7.

krytyczna

powodująca

obciążeń .stałych

zwichncoie zginanych belek o „rzekroju w

prostok11t11 hb 1 Oznaczenia: B = - E [wzór (3 .25)]; sztywność skręcania C 12

kształcie

wą1kiego

Obciążenie

Lp.

t-J-~

2

11 2

3

4

ł~=-

•I• 1, 2

.~

"'

P. = 4,013

Belka utwierdzona na końcach

P1cr = 26,6

siłąP, przyłożoną

w

~

odległości

a nad

/2

JBc

b

końcach,

przy

czym przekroje końcowe nie mają swobody obrotu względem osi belki

P

przyłożona w

odległości

a Md

osią belki

Podparcie jak w poz. 4, belka zginana rnomentem M

6

7

Belka zginana momentem M , końce belki utwierdzone

~-

Pu =

, , 4.J2013 JBC(1-~m I

Belka podparta na

Jak wyżej, lecz siła

5

54

la

osią belki

='-~' i r/j E5

,2 JBC

Bel.ka wspornikowa (rys. 3.12)

Bel.ka wspomikowa obciążona

I

~~~''I ~

krytyczne

·

--- ----:~o~

.0

wzoru (3.26) Obciążenie

i wanmki podparcia belki

J-+-_'. __l

1

według

pr.resuwnie

P. = 16,93 ,JBC kr 2 1

C

3.

Stateczność p~tów ściskanych

lub zginanych oraz sp~.tyn śrubo»ych

Tablic:a 3.7 (cd.) Obciążenie

Lp. 8

9

i warunki podparcia belki

~nnn~nn~ ~---l 1

fł,

I

- rn1nnnnnnrn1 ~~

~~

Obciążenie krytyczne

Belka wspomikowa, obciążenie ciągłe q przyłożone w osi belki

(ql)tr = 12,85

Belka podparta jak w poz. 4, obciążenie ciągłe q przyłożone w osi belki

(qł)kr = - -2

,l

./BC

JBC

28,3 BC I

4.

Skręcanie prętów

o niekołowych przekroju poprzecznego

4.1.

Skręcanie

kształtach

swobodne i nieswobodne prętów

skręcania prętów o przekroju kołowym lub pierscieniowym omówionych w p. 2.3, przekroje poprzeczne skręcanych prętów pozostawały płaskie i nie zmieniały przy tym swego kształtu. W przypadku skrę· cania prętów o przekroju ruekołowym, przekroje poprzeczne nie pozostają płaskie, lecz ulegają spaczeniu (deplanacji). Jeżeli przy skręcaniu prętów o przekroju niekołowym paczenie się przekrojów poprzecznych nie jest niczym krępowane, mówimy o skręcaniu swobodnym takich prętów. Jeżeli natomiast swobodna deplanacja przekrojów poprzecznych jest w jakikolwiek sposób ograniczona, obok skręcania powstaje zginanie niektórych fragmentów pręta, a oprócz naprężeń stycznych pojawiają się naprężenia normalne, co w sumie Z\viększa sztywność pręta, a skręcanie takie nazywamy skręcaniem nieswobodnym. Przykład swobodnego skręcania dwuteownika podano na rys. 4.1. W przypadku gdy na swobodne końce dwuteownika działają pary sił o momencie M., przekroje poprzeczne nie pozostają w swej płaszczyźnie, lecz ulegają deplanacji, osie podłużne półek obracają się względem osi dwuteownika, lecz tworzące półek pozostają nadal liniami prostymi. Dokładniejsze obserwacje wskazują, że odległości między dworna dowoln)'tlli punktami - znajdującymi się na jednej tworzącej - po przyłożeniu momentu M 6 nie ulegają zmianie, co świadczy między innymi o tym, że w pręcie nie występują naprężenia normalne. Jeżeli na swobodne przekroje końcowe tego samego dwuteownika będą działać momenty skręcające o wartości -} Ms, równowazące działanie momentu Ms przyło-

W przypadku

(wały wydrążone).

żonego w przekroju środkowym pręta, to półki dwuteownika ulegną zgięciu w sposób przedstawiony na rys. 4.2a. Wygięcie półek świadczy o występowaniu naprężeń normalnych; oprócz skręcania pewne elementy dwuteownika (np. półki) ulegają zginaniu, niektóre przekroje nie mogą się swobodnie deplanować (np. przekrój poprzeczny położony w połowie długości dwuteownika), mamy więc przypadek skręcania nieswobodnego.

56

4.

Skręcanie prętów

o niekoławych kształtach przekrofu poprzecznego

Ry1. 4.1

a)

I

J 11'.

Ry1. 4.2

To samo obserwujemy w przypadku dwuteoYmika utwierdzonego w jednym skręcanego momentem Ms (rys. 4.2b): w przekroju utwierdzenia nie zachodzi swobodna deplanacja, półki dwuteownika ulegają zgięciu, jest to więc również przypadek skręcania nieswobodnego.

końcu,

4.2.

Skręcanie

swobodne prętów o przekroju zamkniętym

cienkościennych

W przypadku prętów cienkościennych o przekroju zamkniętym (rys. 4.3), momentem Ms, maksymalne napręż.enia tnące t'mox powstają w miejscach, gdzie grubość b ścianki jest najmniejsz.a, i określone są wzorem Bredta (por. (18), str. 119) skręcanych

(4.1)

gdzie: bmin - najmniejsza grubość

ścianki pręta, F;, - pole powierzcłmi przekroju poprzecznego pręta ograniczone linią średnią konturu (rys. 4.3).

linia

śtWnia konturu.

Ry1. 4.3

57

I. Obliczenia

wytrzymalo.ściowe w

przypadku

Kąt skręcenia pręta cienkościennego

M)


ohciąteń

.Jtalych

o przekroju zamkniętym wynosi

Jds

(4.2)

= 4GF:2 b "

s

Całka w powyższym wz.orze musi być obliczona po zamkniętej linii średniej konturu (por.[18], str. 120).

4.3.

Skręcanie prętów

o przekroju prostokątnym

W przypadku prętów o przekroju prostokątnym, poddanych swobodnemu skręcaniu momentem Ms, największe naprężenia tnące powstają przy powierzchni żewnętrznej pręta są

w środku dłuższych boków przekroju poprzecznego i określone

wzorem l' m~

M s_ < k = __ '71ab 2 - •

(4.3)

Kąt skręcenia pręta o długości

I wynosi

Mi

(4.4)

tp=---=---

112ab3G

Oznaczenia w powyższych wzorach: a - dłuższy bok prostokąta, b - krótszy bok prostokąta, T/t oraz T/2. - współczynniki, których wartości należy odczytać z tabl. 4.1. Tablica 4.1. Wańoid w1pólczynolków '1l i 112 do obhaania p~ów 1kręcanycb o pnekroju pro1to~tnym wg wzorów (4.J) oraz (4.4) alb

1

1, 5

1,75

2

2,5

3

4

5

6

8

JO

oo

'11

0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,299 0,307 0,313 0,333

'72.

0,141 0,1 96 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281

4.4. Zestawienie wzorów dotyczących swobodnego skręcania prętów o przekroju zamkniętym Dla większej przejrzystości omówione poprzednio wzory ogólne oraz przykła­ dy ich zastosowania do niektórych przypadków szczególnych podano w tabl. 4.2.

58

4. Skręcanie prętów o niekołowych lc.Jztaltach przekroju poprzecznego

Tablic• 4.2. bstawienie wzorów do obliczania naprężeń maksymalnych i ątów skręcenia p~tów o pnekroju zamkniętym, poddanych skręcaniu (swobodnemu) momentem M.

Lp. 1

Przekrój

pręta

Wmry na swobodne skręcanie

Pręt okrągły

l"Illl><

I 2

=M,=M, · 16,,,M,·2 5. k ::::0 6 k Wo Jt.d3 7t.r3 , , r

'

_ M, I _ M, l · 32 _ MJ 2 l. Ortd 4 - Grtr 4 ~'Pd"" '


0

.

dla wałów pędniowych 'Pdop

Wał v1vdrąJony

M,

~

rmax

~~

= Wo =

M,I

,~,

11trad =(l I 4 )°/rn = -4180 m

M,·l6D M, ·2R 4 - d4) = 4 - r 4) '

it(D

it(R

M,1· 2

M,1 ·32

tp = GJa =

G1t(D d = a1t(R 4 -

4)

4 - r 4)

+ d·2r---

-D• 2R-

M,

3

r"""=7· '11 . -~

rp- G111R• '



pny czym współczynniki rr1. Th podano w poniższej tabelce:

r!R

linia. lr«Jnla ktittul'll

0,05

O, l

0,2

0,6

0,4

0,8

1,0

I,S

„,

1,57 0,89 0,&2 0,81 0,76 0,66 0,52 0,38 0,14

T/1

1,57 l,56 l,50 1,46 1,22 0,92 0,63 0.38 0,07

4

~

o

r

,.,,.,.

=

M

' 2brrU.f<śr '

_ M,I 'I'- 4GF.2

jr

Jd; I

Jds. b' I

F 0r - pole ograniczone linią średnią konturu, - całka obliczona dla z.amkniętego obwodu linii średrueJ

konturu

59

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciąteri

.!tałych

Tablica 4.2 (cd.) Lp.

Przekrój

pręta

Wzocy na swobodne skręcanie

Rura cienko5

ścienna o stałej grubości i dowol-

M

r:

,,..,.

nym ks'ltak ic

€'!

=....:.:..::..J_

2bF„ .

_ M,ls .
s-

długość zamkniętej

linii średniej konturu

linia 'rtdnia. kontur1.1

6

M

r=--'21tab0'

Przekrój eliptyczny o stałej grubości ścianki

przy czym długość Linii średniej konturu s = 1t(a + b) łub + b ), gdzie współczynnik a wynosi:

dokładniej: s ~ a1t(a

0,0

(a - b )/(a + b)

a

O.I

0,2

0.3

0,4

0.6

0,5

,.. =

M

(

•)

28 a - 81 T1 =

(

(w środku dłuższych boków),

(b - 6)

M,)

(w

26'1 a - 81 (b - 5)

~rodlrn krótszych boków),

M,1(a61 +M-a2 rp

Przekrój prostokątn)' a ~

h

(a - 6

2Gt5c51

M r!t'&>. = - ' (w 2 111ab

r

1

-on

(b - 8)2

środku dłulszych

wartości współczynnilców

60

0,8

0 .9

1,0000 1,0025 1,0100 J.0226 1,0404 1,0635 1,0922 1.1269 1,1679 1,2162

7

8

0,7

boków),

111 i 772 podano w tabl. 4.1

4.

Skręcanie prJ
o

riielwłowych k.ształtach przekro1u

poprzecmego

T1blic1 4.2 (cd.) Lp.

9

Przekrój

pręta

Trapez (lub trójkąt)

Wzory na swobodne skręcanie

Ze środka ciężkości C poprowadzić prostopadłe do boków, punkty i D' "')'Zil.llczają prostokąt o bo.kach a i h. Naprężenia r i kąt skr~enia qJ wyznacz.a się według WLorów dla prostokąta

przeci~ia D

równohoczn v

(poprzednia pozycja). I



D

Odległość

I

e

środka ciężkości

-ca

e=

a,

10

Przekrój w kształcie trójkl\ta równobocznego

Przekrój w kształcie sześciokąta

foremnego

fE 12

PrLekr6j w kształcie ośmiokąta foremnego

~

b a 1 +2a2 3 a 1 +a2

20M •max ~-3 -' (w środku boków), a

~ Ił

trapezu wynosi

M,l-80

G./3a 4

'fJ =

r

"""'

"'

M

,

0.186a 3

'

_ M,I rp - 0,114a 4 G

r

"'"" _

"'

M , 0,185a 3

'

M,l

rp - 0,108a 4 G

61

I. Obliczenia

wytrzymała.friowe

w przypadku abciąteń stałych

T•blica 4.2 (cd.)

Lp.

13

Przekrój

pręta

Wzory na swobodne

Przekrój kołowy

z odciętym fragmentem

gdy

3

d (2,6h -

d)

16Msl rp = Gd 3 (2,61i -

d)

'

0.5<~<1

Fragment przekroju kołowego

r

/ł'",

f

~

-t--

"""'

=

22,9M,

(w pWlkcie A),

d3e:r8l

A . -t-<: "l:I

2.<* <8 15

8M,(0,3h + 0,7d)

f'mox =

en 14

skręcanie

M,l

(/J =

G

Przekrój eliptyczny

rrr&X =

335

·O,Ol85d~( 2:J.

lM~

nab

(w pWlktachA),

A

~ 16

"'=

r

1

Gna 3bi

Pnekrój kwadratowy

WJ 62

1

l6Mr(a +b }I

"""'

rp =

=

M, 0,208a

3

M,I 4 0,1406u G



4.

4.5.

Skręcanie

Skręcanie prętów

swobodne

o niekołowych ksztaltach przekroju poprzecmego

prętów

o przekrojach otwartych

swobodnego prętów o przekrojach otwartych jednostjest taki sam, jak jednostkowe kąty skręcenia poszczególnych części przekroju. Jeżeli przekrój poprzeczny pręta składa się z kilku prostokątów, największe naprężenia tnące pozostaną w prostokącie o najwięk­ W przypadku

kowy

skręcania

kąt skręcenia całego pręta

szej grubości . W celu uproszczenia

ograniczymy rozważania do przekrojów złożo­ nych z wąskich prostokątów. Z tablicy 4 . 1 widać, że dla wąskich prostokątów 171 = 11z = 1/3 i wzór ( 4. 7) na maksymalne naprężenia tnące w pręcie o kształcie wąskiego prostokąta wyrazi się w postaci

...• = IMs -ab 3

2

obliczeń

< - kI

(4.5)

kąt skręcenia z.aś

rp=

Ms/ l 3 G·-ah 3

(4.6)

Przez analogię do wzoru (2.27) na kąt skręcenia wału pchlego mianownik we wzorze (4.6) zwany jest sztywnością na skręcanie C, równą iloczynowi modułu sprężystości postaciowej G i sztywności geometrycznej przekroju na skręcanie J,

C = G.!s

(4.7)

t

gdzie dla wąskiego prostokąta .Is = ab

3

Wzory (4.5) i (4.6) przybierają więc

M_.b r= - J- ,

.

postać

Ms/


s

s

W przypadku pręta o przekroju

złozonym z wąskich prostokątów sztywność geometryczna na skręcanie J, przekroju jest swną sztywności na skręcanie prosto· kątów składowych

(4 8) Największe naprężenia tnące w prostokąta

o

stanowiących

największej

takim pręcie powstaną w środku dłuższych boków btnJIX spośród wszystkich prostokątów

grubości

przekrój poprzeczny pręta 63

/. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku

obcu~ten stałych

(4.9)

Kąt skręcenia pręta

M,1


-

GJS , \;

t ~

:~;

i

s! =- - M-"---

(4 .10)

G . _l_" a b 3 3L...

I

I

Pnyklad 4.1. Obliczyć dopuszczalną wartość momentu skręcającego M, dla pręta o przekroju ceowym, podanego na rys. 4.4, jeżeli naprężenie dopuszczał· ne na skręcanie wynosi ks= 50 MPa. Ro z w i ą z a n ie. Pnekrój poprzecmy pręta składa się z trzech prostokątów, zatem sztywność geometryczna prz.ekroju na skręcanie według wzoru (4.8) wynosi J,

I!

wynosi

=iL:a;b; =~(l20·8 +100·9 +60·10 ) = 3

3

3

3

64 no mm

4

Największa grubość wynosi bm.,,,= 10 mm. Ze wzoru (4.9) otrzymujemy

l:·~:~u

Ponieważ

odczytujemy b- = 10 mm. 1 MPa= 2 ~ = I MN/m = I więc ks== 50 MPa== 50 N/mm . f! Po podstawieniu danych liczbowych do otrzymanego poprzednio wzoru ·. otrzymujemy moment skręcający, jakim można obciążyć obHczany pręt 2

4.4

N/mm2,

::~

2

~

M s

8

Rys. 4.4

64

so(N/ mm )·64 780 (mm

lO(mm)

4 )

= 323 900 N· mm = 323

'

9 N ·m

4. Skrę<:anie prętów o niekołowych kształtach przekroiu p oprzecznego

4.6. Uproszczony sposób obliczania profili walcowanych na czyste skręcanie Omówione

wyżej

przypadkj

skręcanja

swobodnego

prętów

o przekroju nieko-

łowym dały się łatwo ująć za pomocą stosunkowo prostych wzorów. Najczęściej się jednak przypadki skręcania nieswobodnego, a dla takich przypadków obliczenie naprężeń i odkształceń jest dość skomplikowane, zależne przy tym nic tylko od kształtu i wymiarów prz.ekroju, lecz również od sposobu podparcia i przyłożenia momentu M 3 . Szczegółowe omówienie wzorów i metod obliczeń można znaleźć w literaturze [9, 13,28]. Jako wniosek praktyczny można przyjąć zasadę, ż.e zawsze, w każdym przypadku skręcania, maksymalne naprężenie mące jest w rzeczywistym pręcie mniejsze od obliczonego ze wzoru (4.9), a w przypadkach szcz.ególnych (np. przy skręcaniu kątowników) rÓ'wne rzeczywistemu. Aby ułatwić obliczenia i uzyskać orientacyjne dane dotyczące wartości naprcżeń, można przyjąć uproszczenie polegające na tym, że dla profili walcowanych o przekrojach otwartych złożonych z wąskich prostokątów, poddanych czystemu skręcaniu momentem M „ naprężenia maksymalne można obliczyć posługuj ąc się wzorem (4.9). We wzorze tym wprowadz.a się ustalony doświadczalnie współ­ czynnik przez który należy pomnożyć wskażnik przekroju na skręcanie

spotyka

„,

r

max

= Mb „J max



(4.11)

$

Js jest określona wzorem (4.8), przekrojów podano w tabl. 4 .3 (wg [13), str. 309). Dla profili walcowanych wymiar b„wc wzorze (4.8) przyjmuje się

przy czym

sztywność geomet ryczna na skręcanie

wartości zaś współczynnika

równy średniej Tablica 4.J.

17 dla

różnych

grubości każdej półki .

Wartości współczynnika 11

we wzorze (4.11) Wartości

Lp.

Oznaczenie

Kształt przekroju

współczynnika 1]

1

2

3

b

Kątownik

1,00

LI

Ceownik

1,12

+

Przekrój knyiowy

1,17

65

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

ohciąteń .stałych

Tabliai 4.3 (cd.) Wartości

Lp.

Kształt przekroju

Oznaczenie

współczynnika

T/

4

Dwuteownik (walcowany)

5

Dwuteownik spawany z przeponami usztywniającymi

Teownik spawany z przeponami

6

usztywniającymi



7



~.· pl

Nitowany dwuteownik z pasami

1,20

1,50

1,40

0 ,5

podłużnymi

I

I

_dHh_ *

t

'

8

~F'

Nitowany dwuteownik bez pasów

0,25

podłużnych

I

i I

,--:!·~ L Naprężenia

wzorem (4.11) występują w środku da się podzielić przekrój Wzór ten nie uwzględnia spiętrzema naprężeń, jakie powstaje

maksymalne r

określone

dłuższych boków najgrubszego z prostokątów, na jak.ie

poprzecmy

pręta.

w na.roi.ach wklęsłych przekroju poprzecznego. Zaokrąglenia wklęsłych naroży

przekrojów poprzecznych wpływają korzystnie na zwiększenie sztywności prętów i zmniejszenie naprężeń maksymalnych r . Wpływ ten ujmują wzory (4.12) oraz (4. 13) dla kątowników, teowników i dwuteowników poddanych swobodnemu skręcaniu (rys. 4.5)

66

4.

Skręcanie prętów o niekołowych k.tztałtach przekroju

b)

a)

poprzecznego

c)

d

Rys. 4.5

rmax

M

=-$ µ

(4. 12)

J~

(4.13) przy czym

J,

= 2J1+J2+2k1D4

(4.14)

We wz.orz.e tym (oznaczenia według rys. 4.5)

J,

~ab'[~-0,21~(1- 1 ~,)]

WartośćJ2

dla kątowników i teowników (rys. 4.5a i b) oblicza się ze wzoru

J 2 = cd

3

[_!_0,105 d (1- ~)] 3 c 192c

dla dwuteowników zaś (rys. 4.Sc) 1 3 J 1 =-cd 3

We wzorze (4.14) wymiar D dotyczy maksymalnej średnicy w przekrój poprzeczny pręta, współczynnik k 1 zaś wynosi: - dla kątowników (rys. 4.5a)

kl =

koła

wpisanego

!(

0,07 + 0,076;) •

gdyb~d

67

I. Obliczenia

wytrzymalo.łclowe

w przypadku

obcią.teń sta~}!ch

- dla teowników i dwuteowników (rys 4 .5b i c)

k1 =

~ ( 0,15 + 0.lOi)

gdzie h oznacza grubość ścianki cieńszej, h 1 zaś ścianki grubszej spośród ścianek b oraz d . Współczynnikµ we wzorze (4.12) oblicza się ze wzoru µ =

0 7616 · D, {1+ [o,ll8łn (1 -

rr.D2)· I+ ( - 4F

!!...)0,238_Q_]} 2r 2r

gdzie F - pole przekroju poprzecznego pręta.

Ry,, ·ł.6

W przypadku swobodnego skręcania pręta w kształcie rury o grubości h, rmaJ< oraz kąt skrę­ cenia


_ Ms(6x r + 1,8h) T max -

( 21t

rh) z

,

(/)=

M)·3 G · 2rr. rh 3

(415)

5. Obliczanie belek zginanych 5.1. Podstawowe wzory dotyczące belek zginanych Z warunków równowagi odcinka belki o długości dx (rys. 5.1; por.[18]. str. 145) wynika, że pochodna momentu gnącego jest równa sile tnącej

T = dM.., .., dx obciążenie ciągłe

(5. l)

q..,

z.aś

jest równe pochodnej siły tnącej (wziętej

zi;,

znakiem

minus)

di:

(5.2)

q =-X

dr

Znaki w powyższych wzorach wynikają z przyjętego na rys. 5.1 założenia, że dodatni moment gnący wygina rozpatrywany odcinek belki o długości dx wypukłością do dołu (rys. 5.2a), a dodatnia siła tnąca usiłuje obrócić ten odcinek belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (rys. 5 2b)

Rys. S.1

Rys. 5.2

. Promień krzywizny belki zginanej momentem Mx wyraża się wzorem (2.36)

Z porównania tego wzoru ze znanym z geometrii analitycznej określającym promień krzywizny linii

wyrażeniem

69

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciążeń stałych

l

p

=-.======

otrzymujemy przybliżone równanie różniczkowe linii ugięcia belki zginanej (5 .3)

Róvmanie to otrzymano przy założeniu, że kwadraty tangensów kątów nachylenia stycznych do linii

ugięcia

(:;r są małe

w

poró~naniu z jednością. Występujący

we wzorze (5 .3) moment bezwładności przekroju J: zdefiniowany wzorem (2.17): J, •

J

2

y dF

należy obliczać wzgl~em osi z, prostopadlej do płaszczyzny xy

F

i według oznaczeń podanych na rys. 5.1 - pokrywającej się z osią obojętną. Ponieważ moment bezwładności przekroju przy zginaniu płaskim oblicza się zawsze względem osi obojętnej, przechodz.ącej przez środek ciężkości przekroju, przy danych oznaczeniach pokrywającej się z osią z, przeto dla uproszczenia w dalszych wzorach opuszczono indeks z i moment bezwładności przekroju wzglę­ dem osi obojętnej przy zginaniu oznaczono J. Równanie linii ugięcia belki znajdujemy przez dwukrotne całkowanie równania (5 .3)

J

EJ dy= M„dx+C=EJ(J dx EJy =

f[J Mxdx]dx+ Cx +D

Stałe całkowania

gdyż: &=dy dx

(5.4)

(5.5)

C i D wyznacza się z warunków brzegowych Wartości liczbowe maksymalnych momentów gnących Mmax. reakcji podporowych, strzałek ugięcia f oraz kątów ugięcia (}dla różnych przypadków podpar· cia i obciążenia belek statycznie wyznaczalnych podano w tabl. 5.1-5.3, a dla belek statycznie niewyznaczalnych - w tabl. 5.4 oraz 5.5. W przypadku innych sposobów podparcia lub obciążenia belek niż podane w tablicach rozwiązania można uzyskać za pomocą metody superpozycji. co omówiono na kilku przykładach.

70

5. Obliczanie belek zginanych Tablica 5.1. Wzory i wykresy dotycz11ce zginllni11 belek wspornikowych Oznaczenia: f - strzałka ugięcia, 0 - kąt nachylenia stycznej do linii ugięcia belki, E - moduł Younga, J - moment bezwładności względem osi oboj ętnej przy zginaniu, prostopadłej do płaszczyzny ryswiku, T - siła tnąca (poptLeCzna). Mg - moment gnący

Lp.

Sposób obciążenia . Wykresy sił tnących i momentów gnących

A

~

........

Rc= P, Mc =Pa,

P Ł: a~c;· ,., -

----



0

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątów obrotu i strzałek ugięcia

c

o

"c

Pa

[ - - - ...

2

BA = Og = 2F,J ,

I

--1,.,..,...,....1 I IC"T'T"T"'ll §l""T"T""' 11Ml}p !

Pa3

~}Pa

f s= -3EJ Rc =qa, Me = ąa(1-i),

2

~ ,___ rrlliff[i}ą

.._.,.A___ __

8

__

,__.

,,

R '

qo(i - ~)

Mmax =

M

=

k

(t3 - a1 - (t - a)

= __ q_

24EJ

r = ....!!!!__(4J 3 12EJ

~

- -

Rc= ąa .

ffiló~,., R c

M

c

~}łqa2

] = ;;;

(t - a),

"'""

-

9/ 2 a + 6/a 2

Me =

-

a3)

I i 2qa ,

=_!_qa1 2

'

qa1

----L---

(j) ----...:-i ~rrrT"T"T"T'"T""T"r>}qa

3

[314 - (1 - a )\31 +a)] ,

JB

~----

3

3

6~ l(/-a) -J ] ,

IJA =

JA

"-"'

dlax =f,

c

89

3

=i ,

Mm.,,. = Pa dla x

BA "' 88 = - - , 6EJ

3

1

fn.x

qa ( l -4 a) = 24EI qa ( 41 - a ) . =J..c = 6EJ qa4

fa = BEJ

71

I. Obliczenia Tablica~. l

Lp.

4

wytrzymało.5cio we

w przypadku

obciążeń

stal)1ch

(cd.)

Sposób obciążenia. Wykn.:sy s ił tnących i momentów gnących

L

@= a=,JLHe

11

A

~~

,,,.... - -

c---

-

Reakcje , maksymalny moment gnący , s1..czcgólne wartości kątów obrotu i stn.ałek ugi~cia

Re = O, .Me = M, !vfmax = lvf,

Ile

l -- --

(}A"' (}B

Ma

=~ EJ

(f) -~-'-r~~ o ~~~

® -1~1111~1ę1IM"'TI'TI'Ol}H l

Ma

- a)' !.max =fA =-(11 2}<;.J I R8 = 2.ql,

5

M

"""

r JB

Ma 1 "'

210

l i M 8 = 6ql ,

= ~ ql 1 6


6 I , Mnw< =-q/ • dla .r = /, 3

®~illllJ}tq/

ą/3

() = A 8EJ'

~robola ~Hqlz

r;r1ł'

7

I ' Mmax = -ql· 6

2

©

~l l lfl l llll}~q!

®~}iqlt 72

o - ...!...!... q/3 A -

192 Ef •

f mu. = f A

=

dlax = I,

o - ..!.Q. ą/3

13 ąl 4 240 EJ

E -

192 EJ ,

5 q/4

>

fa

=192 EJ

5. Obliczanie belek zginanych Tablica 5.1 (cd.) Lp.

Sposób obciążenia. Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, maksymalny moment gnący, szc1.cgólnc wartości kątów obrotu i strzałek ugiccia 1 5 ,, Rc=4ql, Mc = 24q ,

8

5 Mn.,., = - q/1 dla x =I. 24 (J -

-22_ q/J

fis

"'2. q/3

96EJ'

A-l92EJ'

121 ql4 fmu =/A= 1920 EJ'

I ąl" fs = 48 K/

9

M

I

m...

=-qa

2

6

l

10

I

Re. =-qa qa 2 , 2 , M '·r =3

©-~~~}~

I

qa'

f,_ = JA= l20 EJ (15/ - 4a) .

~} ~a2

11 ąa 4 fB = 120 EJ

73

!. Obliczenia

wytrzymało.fciowe

w przypadku

obciążeń stałych

Tablica 5.2. Wykresy i wzory dotycz11cc zginania belek spoczywających na dwóch podporach Oznaczenia jak w tabl. 5.1 Lp.

Sposób obciążenia. Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, Mrn.,., szczególne wartości kątów obrotu i strzałek ugięcia

I A1rnax = -Pl 4

I dla x = -1, 2

p/2 eA = -(JB =

RA =Pi'.. R" =Pl-a I ' " I '

2

MJTll):

= P~ I 2

Pa(1 -a 6/EJ

2

dla x = I-a,

e - Pa(l-aX21-a)

)

'

6/EJ

B 1

_ Pa (1-a)

©Ull ll©llll ll !likw

I -a

} PT

. 1·1 a s -/, I to Je2e 2

(Il - a')Y2

= Pa(r2-a1) ~I- al= Pa

J

lrl8X

11

9J3EJ

JIE.I

3

3I ( {2 1)

dla x::

-(J

I RA=Rll= - ql,

2

I

1

Mrrax = -q/ 8

dla

I

x =-I, 2

q/3 9A = -~ = - 24EJ,

5 q/ 4 f,max -- 384 EJ

74

'

2

J!EJ

fe -

3

p/3 = 48E/

Imax =fe

- 16E/ ,

dla

I x= - l 2

5. Obliczanie belek zginanych Tablica 5.l (cd.)

Lp.

Sposób obciążenia . Wykresy sil tnących i momentów gnących

Reakcje, ivlmu, szczególne war1ości kątów obrotu i strzałek. ugięcia

R = ąa(21-a)

4

]

łjc l----1~~

2/

A 2

=ąa (2t - at

M

2/ ,

B

x = a(21-a)_

dla

8/l

ITTIX

L

(I - A -

= qa 2

R ,

2/

qa 2(11- a}2 24/Ef '

ąa ( 212 2

2 a ) - --'------'-

(}

24/Ef

B -

Be= -~(41 2 -

12/a + 7a 2 ),

24/EJ )

fe= ....!!!!.._(412 - ?la+

24/EJ

1a2)

lvf

5

-l,

R,1 =-RB=

MlfliU

=

M

() = _ Ml

01111 1 1111 1§1111111111}~ H{~ ~

1 dla x=-zl

f, max

O = Ml

JEJ>

A

x =O,

dla

6 EJ'

B

M/ 2

J= 16EJ;

=~ "'0,0642 M/

dla

9,fiEJ

X

2

El

3-J3

d - - "' 0,4226/ 3

M

6

RA= Ry = jeże l i

a<

I

I - ,,

1 -- ;

(2/ 2 -6/a+'.\a 2 ).

-.-

()/E,J

08 = -

.

M„,"' = M

2 I. M

{)A=

"T"•

(,~j (12 ·

Jaz).

M11 (z I - 3111 + 211 z)

/ ,. = - : -

31E.J

75

l. Obliczenia

wyrrzymałośc1owe

w przypadku

obciąteń stałych

Tablica 5.2 (cd.) Lp.

Sposób obciążenia Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, Mmax, szczególne wartości kątów obrotu i strzałek ugięcia

7

1 6

I

RA= -ql, RB= -ql. 3

Mrrla]( -- q/2r:; -- 0,0<-Aql z dla 9" 3 7 q/3

oA = -

dla x = .!.1 2

360 EJ •

{7;

eB = 45

=-- q/4 "'O 768 EJ '

EJ,

00650~ EJ,

q/4

I..,,.,. ""0•00652F,J dla

I

8

(} Ą

-~ ql~

2880 EJ,

-

{}, - - - ' - ą/J c - 720 EJ '

1 RA = - ql 24 ,

9

= J./6 + 2

M max

dla

A

o _.J.2_~ B -

)440 EJ,

l ą/4 fe = 240 El

5 RB =-ql

24

'

p.:._ ""0,0267 ąl' EJ

.~ =~(1+~)""0,7051; 1

5760 EJ ,

e. - __7_ q/3 e -

I

dla x = J6 "'0,41/,

144J6 F,J

o =-~ąt

76

12

= ,/6 ""0,045q/ 1 9

0,51/

RB= -q/,

6

q/ 2

X"'

I

RA= -ql,

MITUlX

= 0,577/

"3 I q/3

5

f

I

X :

5760 EJ '

o =2ąP B

5760 Ef '

3 q/4 fe = 1280 Ef

5. Obliczanie belek zgmanych Tablica 5.l (cd.) Lp.

Sposób obciążenia. Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, Mmox, szczególne wartości kątów obrotu i straiłek ugi ęc i a

IO

RA

li

= p !!...I, RB =P -l+a I • dla

M,.,.,, =Pa

B =_!_Pia A 6EJ '

Py{ll l llJfill 111 (f)

~}p

Oe "'

fe

@""'~~~ ~~~1

f ItB1< =

(J B

x = i,

= _ _!_ Pia 3RJ

) -6I Pa EJ (2!+3a, I Pai EJ

(l+a~

=3

Pl' a 9

I

./3EJ

dla

X

=

.fi

qa 2 qa , R8 =-(21 +a). 2/ 2/

RA =-

12

q

c .f]'

R,o1

2

MrTVAX = qa 2

dla

12 EJ '

l qal Oe= -

6

= l,

() _ _ _!_ q/a 1 B 6 EJ ,

() _ _!_ qk/ A -

x

EJ

(l+a),

3

fe""

1 qa

EJ (41+3a), 24

77

1. Obliczenia wytrzymalo.Sciowe w przypadku

obciążeń stałych

Tablica S.2 (cd.) Lp.

Sposób obciążenia Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, Mm.,., szczególne warto~i i strzałek ugięcia ,\,{

13

RA = Rs= - J ,

O = _ _!_ Ml A 6 EJ '

kątów

M max =M ,

I Ml

()

a =JEJ'

IM

©

l!l l !!W!lllll}~

~ -dlJff[fl[f}p[l[[[11} H

14

Il = 3 Rf (t + 3a), l Ma

6

fe=

El (21+3a).

Ml 2

f rrłJJ< = - 9 .fiEJ

RA =

L

dla

X=

J3

~' , R8 = ~7 (2a + 3/), 2

M !TWX

= qa 3

dla

x = I,

(} = qla~ 0 = _ qla A 18EJ' B 9EJ ' 2

qa2

Oe = - ?2El (81+9a), 3

=~(40/ + 33a)

fe

15

RA

3&JEJ

qa

2

qa

"'6/' RJJ =6/(a+31), qa1

M ,,_ = - 6 (J

=

q/n 2

(},B = - qfa 2

36EJ'

A

dla x=l.

I8EJ

qa'

Oe = - ?2Ef (41 +3a). 3

fe

78

=..!E_(s! +Ja) 90EJ

'

obrotu

5. Obliczanie belek zginanych Tablica 5.2 (t:d.)

Lp.

Sposób obciążenia. Wykresy sił tnących 1 momentów gnl\Cych

Reakcje, Mm..., szczególne wartości kątów obrotu

i

strzałek ugięcia

16

17

18 Mia

fc=Bca =6EI

19

p

A,

p 8

_:;ł

C

l

~-D

~a•

Cf) [fil]} p

R8 =Re= P,

Mrtt.x = Pa,

BA= -BD= Pa(! +a),

2E/

Pia

Pa 2 (31 +la).

Oa = -8c = lEf. JA= ID -

l lEJ

'

6)~111lflll1 [J!Y ł 79

[, Obliczenia -nytrzymałościowe w przypadku obciążeń stałych

Tablica 5.2 (cd.) Lp.

Sposób obciążenia. Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, Mmax, szczególne wartości kątów ohrotu

i

strzałek ugięcia

20

-Pl+2a R A-R - BI ,

p

Mrrw-. =Pa dla

x=

oraz x =I+ a,

Q

Pa1

fe= -fv =~(I +2a), 6EJ dla

l

x=a+ - 1 2

Pia 12EJ

lJo"'-- , / 0 =0

21

q(2

= m""

M

- I - 4a

8

1)

tli

a :S - ,

4

r;::

2

1

!!!!,__ 2

®~&~1;~

dla dla

a

z ~, 4

o)

8 = -() = -ql- (I 2 - 6a· B A 24EJ ,

I

Oa =-Oe= _q_(tJ - 6Ja 2 +4a 1). 24EJ

!

J)

f e = f o = - qa- (l 3 - 6/a 2 - 3a , 24EJ

dla

80

I x=a+-1 2

2

fJ

"O

ql-( 51 2-24a 2) =0 r0 = , Jl

384EJ

5. Obliczanie belek zginanych

Tablica 5.3. Wykresy i wzory dol)'cz11ce zginania belek o

sztywności

zmiennej skok.owo

Oznaczenia jak w tabl . 5.1

Lp.

Schemat belki

2

Wartości kątów

obrotu i

ugięć

J s p/3 1~ = 48 EJ 2

2

p

3

q

Oc"" __s_ ql3 384 El2

(1-J2J

Jl '

81

!. Obliczenia

wytrzymało.foiowe w

przypadku obciąt.eń stałych

Tablica 5.4. Wzory i wykresy dotyczące zginania jednoprz~słowych belek statycznie niewyznaczalnych

Oznaczenia jak w tabl. 5. 1 Lp. Schemat

obciążenia.

Wykresy sił tnących

i momentów gnących

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątów obrotu i ugi~ć 5

Il

3

R~. =-16 P• "uC = -16 P • Mc =-Pl 16 , =2.Pt dla x =l,

M trax

16

3

f,"'°" -- O•0093 P/ EJ

dla

I

O447/

X=JS"''

2

Me=~~ (a 2 - 3al + 21 2) ,

11 1

®11 1 1 1 M 1 1 11 in~ }.,

Men.,. = 0,193?/ dla Pa

.

11' i 11$1i i 1!IH f P

0ll!ijl!.

82

p

(

a1

{łA = - 4Ef I - /) '

f rrwx = / 8

3

2

a = 0,423/,

p /3

= 0,0098-

FJ

dla a = 0,586/

5. Obliczanie belek zginanych

Tablica 5.4 (cd.) Lp. Schemat obciążenia . Wykresy sił

tnących

i momentów gnących 4

f

A

I

8

M,

M

©lllll+lllll}f

l l l~ll l lllr

max

M,t•i:

~~~

l

RA=

M

~

l

P{l - a) I

~

3

Pa 1

(2a+/), Re= - -3 (3/ - 2a), i

a {l -a}2 I

2

'

.

a2 (1-a)

Me =P

(MA )nwc = 0 ,148P/

I

2

,

I

dla

a=-/" 3 ,

dla

x=--

11

I

,

2

'Zlij[]}~

~~"·

3

2

f rrw:

=3__!_ a (! -a) 2 3 EJ (31-2a)

R _ł_M A- 2 f '

R -~M 8 -

2 I '

/2

3l-2a

1 Ms= -2 M ,

Mmex = M d!ax =O,

01111111 lil~l Ili IIli ll}tf! H{m~

p/2 o.max = - -64EJ

O,

2

JCł.C IQ ~ -

& 6

I X=[}, - /;/, 2

Pi3 f rrt1X = f B '-' 192 EJ

®rrmJ1f~11 11§ 1111 1l}l?c ~{~

8

dla X'-' 0,25/,

MA =P

~

I = - Pl dla

()A = eB =Oe =

~~' ~lP~ _B}fPl 5

I

RA= Re =1P, MA= Me = P1.

cE'

!:_ł_r:_-1_'1

/j,

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątów obrotu i ugięć

Ml

61A "" -

Mi2

4f!..i" Imax = 27EJ

dla

X

1

=- f 3

~J}tM

83

/. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadk u

obciąte1i stałych

Tablica S.4 (cd.)

Lp. Schemat obciążenia . Wykresy sił tnących i momentów gnących

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątow obrotu i ugięć

7 A

-aB"';k B N

~ ~~

~

}I

R_.

c~ He Ref~,

) 7 .

BA

~~a1~~~ ~ }"'c

~t·0HI ~

($)

9

~--

EJ

RA

84

/

6Ma ( = Re =T I-

) a,

1

1)

( Me= -Ma 2- 21 - 3a). I

y

I ( RA.x J - 3MAx , ) = 6 J:.:J

dla

05.x5a

3 5 I q 12 , RA= S ą/, Rs = S ql, M 8 =8

I

Mnv.x =- ql 8

~ {~

i

dla

X=

f,

ą/3

J '
BA = - 48EJ ,

'

~A.[[]~h~•'' - }iql2

~ -3

41

M ( I - 4/a + 3a , MA = /1

~~ 11111 ~I Ili~~~ ©

J]

Ma[ /-a+ -/2 - a- 2 (a11

„~~ ~ }"'c

=~(a - i4-~~) EJ 4J'

/ 8 = -

01111 111 111+11 111 111 11}RA 111{~

'

1

®11 1 !11 1 1 1 1~1 1 11 1 !11 1 1}~

8

2

I ( 1- 3 a Mc=2_M

l

~

= ~ = ~2 MI (1 -~) 1

!. rrB.'(

4

=

~ "'o,0054 ą/ 185EJ EJ

dla .t = 0,4211

5. Obliczanie belek zginanych

Tablica S.4 (cd.) Lp. Schemat obciążenia. Wykresy sil i momentów gnących

tnących

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątów obrotu i ugięć

IO

3

+c} !.max = !f_(t 8F,J

}~

li

M"""'

=!J!}_

x= O oraz

dla

12

4

ql f,max= 384E.I

dla

X

X=

I,

=! I 2

12

M

= max


dla x = I,

o =- -1~. 120 Ef, A

J.

.,,.,.

=

2

J5 ~ „o' 00238~ El

1875 EJ

dla

X =

J5

- f "" 0,447/ 5

85

1. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadkiA

obciąteń stałych

Tablica 5.4 (cd.) Lp.

Schemat obciążenia. Wykresy sił tJ1ącyó i momentów gnących

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątów obrotu i ugięć

13

M8 =

W1~ 0 :~}7ąl 20

l 2 ql ; 20

MmIIJI.

I q/4 764 EJ

!.max --

=

l 2 ql 20

dla

dla

X=

x =i;

0,525/

I

I I

4f1111f5Illi

14

Podpora przegubowa obniżona ot mm

:r

t

~,M,

3E.I

3EJ

RA=13=Ra , Ma=7, M

3EJ

"""'

=-

/2

dla

x = I;

równanie linii ugięcia: y =-

®llll llllll
1 (2/3 - 3/ 2 X + X J) , 2i3

/mox = l mm dla x :

O,

3

OA = 21, OB =0

Lewa podpora obniżona o 1 mm

12EJ 6EJ RA =-,)-=RB, MA =MB =

T,

15 M

"""'

= -6EJ

t2

dla

x = O oraz dla

równanie lin ii ugięcia: x2

y = p(31-2x)- l;

/max = I mm dla X = O, {)A

86

= {)B = Q

x

= I;

5. Obltczanie belek zginanych

Tablica 5.4 (cd.)

Lp. Schemat obciążenia. Wykresy sił tnących i momentów gnących 16

Obrót utwierdzonego końca belki o kąt I rad

Reakcje, maksymalny moment gnący, szczególne wartości kątów obrotu i ugięć 3FJ RA =y=RB,

M

3Ef

=

x

I

O;

=

ugięcia·

_ 2_ 2/2

(x

2-

/mu= 0,193/

0 lllll lllllBlllllll ll}~

_ 3Ef

.A--,-,

= - - dla

ITll>l

równanie linii y

M

(}A =

3lx



+ 21 2 \

dla X= 0,422/, l

- 1, (}B = 2

~{~ ©

17

Obrót lewego utwierdzonego końca belki o kąt I rad

6EJ

R.;1 =-1-=RB , I

M M A = 4FJ I . B M

"""'

równanie linii

4 "" E.1 I

=-,-, 2EJ

dla x = 0-,

ugięcia:

y=-:Z (x - 1)

2 ;

4

l

frrru =-I dla x=-1, 27 3 (JA::

-1 ,

(}B

=Q

87

I. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku obciążeń stal}•ch

Tablica 5.4 (cd.) Lp. Schema t obciążenia . Wykresy sił i momentów gnących

18

tnących

Nierównomierny przyrost temperatury górnych i dolnych włókien belki; górne włókna o temperatur.Le LV'C wyższe1 niż dolne; prostoliniowy rozkład temperatury na gruboi;ci belki a - współczynnik rozszerzalności liniowej. h - grubość belki

Reakcje, maksymalny moment gnący. szczególne wartości kątów obrotu i ug11,;ć

= 3aóJEJ

R

M

=

2h/

A :: 8

R R•

3at:i.tEJ 2h

równanie linii ugięcia:

v :: aótx (x - /)2·

.

4hl

,

kuywizna:

6

A

\__t l--~~

/,max =O' 065 atillz h

dla

x

=

_!_ / 3

vl I[] J J Ilf 111 1111 111} RA JJ

~~..............,}Ms

@ ...............

Założenia jak w

poz. 18; oba utwierdzone

19

końce

RA = R B = (J,

,

„ 1A

_ ,, -


_ a t:i.11..:.1

B - -h~

reakcja poziom11:

H = aMEF, F - pole przekroju poprt ecmego belki.

(!)

T=O

©[I liIl Il lIE!Ili!I![!}~ 88

M

= max

y =O

atitEJ )dla h

całej długości

be lk i

5. Obliczanie belek zginanych Tablica 5.5. Wzory i niewyznaczalnych

wykre1y dotycz11ce zginania wieloprzęsłowych

belek !tatycznie

Oz.naczeniajak w tabl. 5.1 Lp

Schemat obciążenia

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strzałka ugięcia

Re= - 0,094P,

RA= 0,406P, RB= 0,688P,

3

MA= Me~. O,

M 8 =--Pl ""-0,094PI, 32

13 l Mmu. =-Pl"" 0,203PI dla .x = -/, 64 2

PP

I dla .x =-2 I

f,mox =O,O15-EJ

2

RA= 0,3125P = lfc , RB= 1,375?,

p

p

M 8 =-0,1875PI,

MA~

Me

~o,

P/3 M,_=0,156PI, fmu.=0,00915 EJ

3

RA

=

0,833P, Rn =

Re= -0,167P, p

~ P "" l,333P. 3

MA

ce

M e - O,

p

1 MB= --Pl"" -0,167 Pl, 6

Mmu. = 0,278?/ w le\\Yffi przęśle, p/3

Jmu = 0,025 EJ

4

2

RA=~=3P,

p

p

p

8 R8 =3P, MA=Mc=O,

p

l M 8 =--P/,,.-0,333PI, 3

Mmax = 0 ,333Pl nad pcxl.porą B, Pil f,IIllX =00147, EJ

89

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciązeń Jtalych T11blica 5.5 (cd.) Lp.

5

Schemat

obciążenia

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strzałka ugięcia Il

43

RA= 28 p ""0,393P, RB= 56 p

9

Re= -

56

P „-0,l61P,

„ 0,767 P ,

MA= o,

3 MB= - 28 Pl"" -0,107 Pl,

M

c

=

2..pf"" -0 0535?/ 56 ' '

11 Mu,.,.=-Pl„0,196Pl

56

6

dla

1 .r=-1

2

3 R. = -56 -P "" - 00535P > > A

25 Ra= 56 p „o,447 P ,

MA= O. M 8

17

Re= 28 p „ 0,607P, 3

= -

56

Pl"" -0,0535Pl,

M c = _..2._p/"" -O,161P/, 56

M,._ = ..2._pf ... o,161P/

56

7

w punkcie C

19 17 RA = - P„0,339P, RB = - P .,, 1,214P , 56 14 2S Re ;:: 56 p 0,447 p , MA = O,



M8

9

- -

56

Pl"' -0,161PI,

3 M e " ' -28 - Pl"" ...O ,l07P/, 19 Mrru.=-PJ..,Q,169PI d la

112

8 c

Rc=-P MA=-Pc, 41 I

M 8 =4Pc, Mc = O, Mmax = Pe w pwtkcie A

90

1 .r=-/

2

5. Obliczanie belek zginanych T1bliu S.5 (td.}

Lp.

Schemat obciążenia

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i stnałka ugięcia

9

RA=

P(1 +2.~) 7 i '

Ra= -~~p 7 l

3c

Rc=77P. MA=-Pc, M8

'

2

=7Pc.

I 7

Me= --Pe, Mmox

= Pe w punkcie A

IO

RA=P(1+%-7)=Rc,

R9=-3fP,

1

MA"' -Pe, M 11 =2Pc. Me= -Re,

Mmu = Pe w punktach A i C li 7 RA = -q/ 16 =O,437'n/ ""f, 5

Rs "'-qi = 0,625qf, 8 ]

o = --qJ 16 =00625q/ • ,

''C

M

B

M

I '.l :i = --ql =O 0625q/

16

49

"'""

'

=-ą/ 512

2

,

"'O 096ql 2 '

MA =Me =0,

dla

7 x = -/ 16

12 R„

3

=-qf =0.315ql =Re, 8

s

R8 = 4ql = l,2Sq/, MA = Me =O. ql'.l

2

M 8 = - - = -0,125q/ ,

8 1 l 2 Mrrax = gq( = 0,125ql

nad podporą B,

qt• I rro. = o,oos2 El

91

I. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciąteń s tałych

Tablica 5.5 (cd.)

Lp.

Schemat obciążenia

13 ,q

e,11.~

,J

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strzałka ugięcia 19 3 3 RA = ?ql, RB = -qf, Re = - 28q/, 28 ql1 ql' - , Mc=25, MA =0, M B - -14

M rru. = -

9

q/2 .., 0,092ąl2

98

14

ql 13 R =- A 28' Rn= 28 ql,

p

~l

·f!!,1'

q(2

3

q/1 :::io,101qP

28

15

r:1igll~'

RA =-ql,

28

M

= - q/2 :::: O 1 07ą/2 28 ,

16

g

ti1:11:1

RA =

ąc(I +if),

Re =81·

I

Mrw<. = 2qc

RA=

2

2 '

nad

podporą

16/

RB=

:1(512 - 6c2),

Re =-'L(2 c2 -12) 16/ ' qcl MA- -- 2 '

H

qc2 M =B 8 ' A

L (111 + 10c2 +16/c),

M e = 0,

Ma = lq6 (2c2

92

podporą

R - _ ł_ qci B 4 I .

M - - qc_ A -

qll Mc -- 14 ' -

nad

2

qc2

17

~f'.i,J

28

3

'"""

w punkcie C

7

3 2 M 8 = - - ql 28 ,

MA = 0,

3 2 = - -28 ql .

8 13 R 8 = - ql, Rc = -ql,

li

"

4

Re: =-ql. 7

MA =0, M B -- - -28, M c Miru = -

3 7

x =-1

dla

- 12)

5. Obliczanie belek zginanych Tablica 5.5 (cd.)

Lp.

Schemat ohciązenia

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strtałka ugięcia

18 RA=

1 RB =.!L(s1 -3c 1 ) 4/ '

+i i+ni ł!L!l A~ t. 8~ ~ C7, ~ i+C•i+- { - - . . -

:,(312 +5c 2 +8/c),

MA =-

l-

qc

Jl

• 'C

2

2 ,

MB =

1 =.!!....(31 +c 2 ) 8/ '

A1c =0,

f (cz -12)

19

M

qcl

- M c-- -14'

qc2

=

fOOJ(

l

podporą A

nad

20 RA

= _!!_(61 2 +9c 2 + 14/c), 14/

2

R8 = _1_(19f 281

-

24c 2 )

,

3q BI (2c 2- i 2), 2

Re = 2

M, A

1 Mn = .!L("c 14 -

= _f_ 2 >

Me= ;

12)

>

2 1 8(1 - 2c )

21 RA=

2~(111

2

2

+18c +28/c),

R

=

3_!!_ (412 -

Jl " C

=

_!!__(13/2 +&cl) 281 '

7 J

B

MA= -

q;l'

3c 1 )

Ms= 2q8

'

(4cl -312).

M = -.!L.(12 +c 2 ) c 14

93

/. Obliczenia wytrzymało.friowe w przypadku obcląteń Jlalych

Tablln S.S (cd.) Lp.

Schemat obciążenia

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strlHłh ugięcia

22

4

15

10

20

RA= - P = 0,4P, RB= D

' "C

Rv =

3 = -20 -p

P = 0,725P,

=-o,1SP ,

I P=0,025P, MA= Mv =0, 40 l M 8 = -10 -Pl= - 01PI ' • Me =

1

40

Pl= 0,025P/,

M ,,_ =O~ "'Pl dla

=]_I 2 '

.t

pf

/max:::: 0,0146 Ef 23

l

dla

z- 2/

R.., =Rv =-0,075P, fu =Re= 0,575P, MA -=MD= O, MB =Me = -0,075Pt, 3 Mn.x-= 0,115Pl dla ;r = - I, 2 P/3 /mM = 0,0115 EJ pod siłą P

24

RA = Rv = 0.425P, Rs =Re =0,575P,

. p

'

~ 8~ C~

_Jt·fL-t~f

M. = Mv = O. MB-= Me= - 0,075Pt, D

M~

t

= O;l.l25PI dla

p/3

/...,,, •0,0162 EJ

25

~

;r =

I

21,

pod siłą P

= 0,325P, Ra= l ,30P,

Re= 0,425P.

Rv • - 0,0SP, MA =Mo= O, Ms= - 0,175P/, Me=

- O.OSP/

Mmax = 0.175P/ nad podporąB

94

5. Obliczanie belek zginanych

Tabllca !'!.!'!(cd.)

Lp.

Schemat obciążenia

26

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strzałka ugięcia R.A=RD=0,35P, Rs=Rc= l,15P,

p

p

p

MA =MD= O, MB =Me= -0, l SP/, I MnlllX = O,l75PI dla x =

2''

3

P/ 1 dla x=-1 /,mox =00115' Ef 2 '

f

P/3

1 «=2/)

=0,0021EI

27 p

c

R0 =-0067-P , I , ,\!f11 =

-Pe, MB = 0,2667Pc,

M e '"' -0,0667Pc, Mo = O

28

R11 =Fv = Rs M11

= .IW.v

c

=ą_. = -1,20/P,

= - Pe, Ms = Me= 0,20Pc,

29 RA

Rs

P(1+1,20f),

=-13 ql ""0,433ql, 30

= 0,65qf,

Re= -0, lql,

Rv = 0 ,0167q/, M11 = Mv =O,

Mmax = 0,0667q/2 nad podporąB, ,~

f iru.

= 0 ,0088 ~

dla przęsła AB

95

/ . ObJicze11ia wytrzymałościowe w przypadku obcią:teń .~tał:ych

Tablica 5.5 (cd.)

Lp.

Schemat obciązenia

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i straiłka ug1ęc1a

30 /{.i =

Uo = -0,0Sql. Rn = Uc = 0, 55ąl,

MA = Mv =O, lvlo =Me = -0,05qt2, MrtW<

= 0,075ql 1 dla x

3

=

21, 3

q/4

f rrv;x = 0,0068 EJ

dla x =

2l

31 I~= 0 ,383ą/, Ro= l ,20ą/,

Re = 0,450ql, Rv = -0,033ą/,

MA= Mo= O, 1'.40 = --0,1167ąf2, Me= -0,0333ą/2 , Mmox = 0, 1167ą/2 nad podporąB 32

RA = Ro= 0,45ql, Ro= Re = 0,55ql, MA = Mv =O, Ms =Me = -0,05ql',

Mf'MX = 0, 1013ąf2 w przęśle AB, q/A / 0 ,.,..

= 0 ,0091 EJ dla przęsła AB

33

RA= Ro = 0.40ql, Ro= Re = l ,IOq/, MA = Mo = O, Mo= Me= -0, IOą/2,

Mmax = O,lOq/2 nad podporąB i C, IA

Imax =0,0068 ~ f

96

dla

przęsła AB, q/4

) =o,ooos-

c x~ 2n

EJ

5. Obliczanie belek zgmcmych Tablica S.S (cd.)

Reakcje podporowe, momenty podporowe, maksymalny moment gnący i strzałka ugięcia

Schemat obciążenia

Lp.

34 Belka wielopodporowa: każde

R4 = o.341 SP, RB = 1,2009P,

przęsło obciążone pośrodku siłą P; długości wszystkich przęseł równe l

Re"" 0,9464P, RN"' P,

MA =O, MB

=-0, l 585Pl,

Me= -O,l 161PJ, M„ = -0,1:25Pl, l

MJTBX = 0,1708P/ dla x =-I, 2

w n-tym pnęśle Mmax. = O, l 25P/ 35 Belirn wielopodporowa: długośł każdego pnęsła jednakowa, o

RA= 0,3943ą/, RB= 1,134q/,

obciążenie ciągłe

ró""118 /,

intensyvmości

Re= 0,964ql, RN= ql,

q

MA= O, Ms= -0,1057qf•

fi

.'vie= - 0,0774q/2, MN= 0,0833q/2,

~ ;;,:;

_JIIIl__

l

Mm""== 0,l051qJ2 nad podporą B,

c~~

B„

w n-tym prt.ęśleMmox = 0,0833ą/2

l

5.2. Przykłady

rozwiązania

belek metodą superpozycji

Przykład 5.1. Obliczyć strzałkę ugięcia w punkcie A belki przedstawionej na

rys. 5.3.

Ro z w i ą z a n ie Układ powyższy jest prostych, podanych na rys. 5.4, więc

.fA =!At +/42 gdzie .!Ai oznacza

/A2 zaś -

superpozycją

dwóch

układów

ugięcie

ugięcie punktu

punktu A układu przedstawionego na rys. 5 4a, A układu 5.4b.

Z tablicy 5.1 (poz. l) dla P = P 1 i I= a= 2e odczytujemy

fA1

= Pi(2e)2 (3·2e-2e)= 8Pie1 6EJ

3EJ 97

1. Obliczenia

wylrzymało~clowe

w przypadku obciążeń slałych

Z tablicy 5. l (poz. I) dla P = P2, 1= 2e oraz a = e wynika, że

P.ie2 (3·2e-e)=~ P2e3 f A2 = 6EJ 6 6EJ Całkowita strzałka ugięcia

i:::! ·•·

't

punktu A ma

3 8P.e 5P2e 3 1 JA =/Al+ fA2 = -- + --=(l6Pi . 3E.J 6El

wartość

e3 6EJ

+5P2)- -

b)~R -

a)

t

P,

B

A

2e

Rys.

~.J

...: l+-e

e

Rys. 5.4

Przykład

Obliczyć kąt

=(}A l

+ (}A2

Przykład

obrotu

końca A

belki podanej na rys. 5.5. Rozwiązanie. Traktując belkę jako superpozycję belek rozpatrywanych w tabl. 5 .1 (poz. 1 i poz. 3), przy czym a = I, mamy

OA

5.2.

PP

13

12

2EJ

6EJ

6EJ

=- - + !J__ =(3P + ql)--

S.3. Obliczyć ugięcie fo w środku długości dla belki podanej na

rys. 5.6a. Rozwiązanie.

Belkę

traktujemy jako

superpozycję układu

podanego

tabl. 5.2 poz. 5 (rys. 5.6b) oraz identycznego układu obróconego (rys. 5 .6c), utem Mlz MJ2 Ml2 M/2 M/z f i = 16EJ' fi = 16EJ' fo = .f. +fi = 16EJ + 16EJ = 8EJ w

Rys. 5.5

98

Rys. 5.6

6. Obliczanie ram W odróżnieniu od kratownic, ramami nazywamy ta.kie konstrukcje prętowe, w których przenoszenie obciążeń jest uwarunkowane sztywnością węzłów. W obliczeniach przyjmuje się założenie, że kąt obrotu końców wszystkich prętów zbiegających się w dan}lll węile jest jednakowy. Wzory obliczeniowe dla niektórych przypadków ram statycznie wyznacza]~ nych podano w tabl. 6.1, a dla ram statycznie niewyznaczalnych - w tabl. 6.2. W tablicach tych przyjęto, że moment gnący w dowolnym przekroju ramy jest dodatni wówczas, gdy powoduje ściskanie zewnętrznych włókien pręta. Ramy 9tatycznie wyznaczalne Oznaczenia: EJ - sztywność zginania prętów ramy, /, - składowa pozioma przemieszczenia, fy- składowa pionowa przemieszczenia, O- kąt obrotu węzła, M - moment gnący Tablica 6.1.

Lp.

Schemat ramy l

2

Wykres momentów gnących

Wzory obliczeniowe

p l

2

H„=0, Pl

.....................................__.4

VA~ VB =

I

2P·

Phl1 fer = &EJ, B

2

p .........1-D-----..iC........

MmOJ< =

..!. Pl 4

h

HA= P, VA= VB = P-, I Ph

8

w punkcie C

2

fBx =-(3/+2h), 6EJ Ph1 fe„ =O. fe„ = EJ (l +h), 3

Mrrr.x = Ph w punkcie D

99

1. Oblicz:e11ia wytrzymałościowe w przypadkw obciążeń stałych Tablica 6.1 (cd.) Lp.

Wykres momentów gnących

Schemat ramy

3

Wzory obliczeniowe HA = P, VA = VB =O, P/2

fax= 3F!..I (3/+2h).

Mmax =Ph

- -- { -

4

c

D

"'{i

.c

8

~

s

nh

Mo . HA = O, VA = VB = -/-

fBx =

Mr:Jił

2 EJ •

Mm"" =Mo w punkcie C

\'li

..1 . 2

c

1._ 2



Af

HA = O, VA= J'n = - I 0 ,

Ha f3

Mmax

B

Ml -~c- 12EJ '

I

= -

2

... M 0 w punkcie C

"-

~

~

6

Jf.~

' 1 =0, VA= i!J= 2q/.

912

r

8

qlil)

fsi =

-c:

·- ·-·---·-

B ~

~

100

24

EJ,

q/2 Mm„= dla !i

X

1 =- I 2

6. Obliczanie ram T1bllca 6.1 (cd.) Wykres momentów gnących

Schemat ramy

Lp.

c

7

Wzory obliczeniowe

qh2 H11.= qh, VA= Vs = - . 21

qh3

fsx = - - (6/ + 5h), 24EJ

8

-·- · -

~

'1

I 2 . Mmu = -qh w p\lllkc1e D

2

D

8

qh2

H11. = qh, VA = Vs =

2/.

q qh3

f s„ ł~

y,

= 24EJ (18/+llh).

Mm&JI. = qh2 w punkc ie D

~

HA = O, VA = P. MA = Pl, Plh 2 fex = F../ • 2

9 8

r

p/2

-<::

fey =-(1 +3h), 2EJ Pl Oe = EJ (1+2h) .

I "- ~

2

~ 4- l

IO

Mrnox = Pl p c~

H11. =P, V11. = O, M11. = Ph, Ph3 f e„ = 3 Rl •

pfi2t

l e„ =

2

EJ •

Mmax = Ph w punkcie A

11

H.11. =O, V11. = O,MA =Mo,

Mrfi2 EJ • 2 01 ( Mf e„ = 1+ 2h) , fcx =

2E.l

Be = Mo (1+h), Mmax =Mo EJ

101

/. Oblicrenio

wytrzymafośc1owe w przypadku obciążeń

.Jta/ych

Tablica 6.1 (cd.)

Lp.

Schemat ramy

Wykres momentów gnących

Wzory obliczeniowe HA = O, VA = ql.

12

2 MA= I_q{ 2 ,

qh1l l

fex =

4

EJ ,

ql3

f e,= SEJ (1 + 4h), I 2 Mmax = - ql 2

HA =P, VA = 0,MA =Mo,

13

Ph3

J Dx = JEJ (31+21t), Phi

ID, =iEJ (t+lr). Mmu. =Ph

HA =

14

c

B

o, VA = P, MA = Pl, Phi

fDx = 2EJ (l +h),

p/2

!1>, = A

2FJ

O

(I +3h),

"°'?.;·-;.,·-·-·-·

---~.

~

p

"A

IS

HA = P, V..c = O, M..-1 = Ph,

p 8

c

Ph3

Plh

2

f Dx = 6EJ • f Dy = 2EJ , Ph3 Plh 1 f cx = JE/ , fe, = E.I , 2 ~



102

Mmax = Ph w punkcie A

6. Obliczanie ram T1błica 6.1

Lp.

(cd.)

Wykres momentów gnących

Schemat ramy

16

Wzory obliczeniowe

c

8

ID;= ~ (I +li), (1+2h) I Dy =Mol 2Ef , (JD =

Mo (i+ 2h), Mm"' =Mo Ef

HA =0, VA =qi,

17

MA= _!_q/ 2 2 ' ql 2h

Io.= 12EJ (2t+3h), fvy

q/2

=SE/ (1+4h), I

Mmax = "2ql

18

p

p

I-

19

Q Mo

t

---6'

2

zbliżenie końców pręta

[email protected]~ u!)__ ;Ł .e..

I -

"'o

Pa 1 I = J&J (2a + 31), MffillX=Pa

zbliżenie końców pręta

I= ·~ (a+l), A1max =Mo

zbliżenie końców pręta

20

qa2

f = 4 EJ (a +21), 1 2 MffW(. = -qa 2

103

I. Obliczenia "-Ylrzymalościowe w przypadku obciązeń stałych

Tablica 6.2. Ramy

~tatycznie

niewyznaczalne

Oznaczenia: J, - moment bezwładności na zginanie pionm.vych bezwładności na zginanie poziomych prętów ramy, p = Ji/J1, e = Ir/I Lp.

Wykres momentów gnących

Schemat ramy

a

prętów

ramy, J1 - moment

Wzory obliczeniowe

P

c 3Pa /-a Mc = lvfo = - - - - 2{ 2pe + 3'

V,

MK = Pa (i - a) 2 pe + 3 2/ pe+ 3

2

l Mc=MD= -Ph

2

104

6. Obliczanie ram

Tablica 6.2 (cd.) Lp.

Schemat ramy

Wykres momentów gnących

Wzory obliczeniowe

3

H„ =_!_[h +a - (h - a) x 2h

ap(lh-a) ] h(2hp + 3/) '

X

P(h-a) HB=

2h

X

Me

l ]

X

ap(2h - a) ] + h(2hp+3/) '

I

=-P(h-a) x 2

x

[i

+ --"ap,_,._(2_h_- a_,,_)] h(2hp +31) ,

1

M0 =2_P(h-a) x ap(2ń - a)

]

x [ I - h (2hp + Jf) '

M _ P(h - a) [h _ K 2h +a

-(li-a) ap(2h-a}_] h(2hp + 31)

4 ql

HA= lis = 4e (2pe +3) '

Me= Mv = 4(2pe + 3)'

105

wytrzymałościowe w

I. Obliczenia

przypadku

obciąte1i stałych

Tablica 6.l (cd.) Lp.

Schemat ramy

Wykres momentów gnących

Wwry obliczeniowe

qh2

5

VA=- V1=

c

HA = qh

8

U '

!!ee + 3o • 2pe +3

Hs=- qh Spe+ 6 , 8 2pe+3 qh 2 5pe+6 Me= - -. 8 2pe + 3 MD "' 3qh2 pe+2 8 2pe + 3

6

c

Pa(l 2 - 0 1 ) M e= 2!2(pe + 1) ' Mo=

7 l

f [Me - P(/ - a)]

VA = ql 4 pe + 5, 8 pe+ 1

Vs

=

ql 4 pe+ 3, 8 pe+)

qll HA=Hs = 8h (pe+I)'

106

6. Obliaame ram

Tablica 6.2 (cd.)

Lp.

Schemot ramy

Wykres momentów gnących

Wzory obliczeniowe

8

X ()-~~ 3~::J. 3Pa (1 -a 1

HA =HB=

J;i2 3pe + 4 ,

Pa 12 - a 2 M , -2 - - - n / Jpe+4'

2Pa 12 -a2 11 3pe+4'

Me=----Pa(l-a) x I

Mn"""

X

2a J+a ) ( l-7 3pe+4

VA"" VB =

9

_ 3Pa(h - a)1 _P_ hl1 3pe+4' H = Pa A h X

tl

c

[i+

h- a x

h1

3ape + 2(h +a) 3pe+4

_ 3(h-a)2

-

_P_] 3pe + 4 ·

hl

Hs""P-HA MA= Pa(h1-a) x h

3ape+2(h+a) X

Me=

'

3pe+4

3Pa(h - a) hl

1

p

--3pe +4'

Mv =HA(h -a)-MA

107

wytrzymałości owe w

1. Obliczenia

przypadku

obc iążeń stałych

Tablica 6.2 ((:d.) Lp .

Schemat ramy

Wzory obliczeniowe

Wykres momentów gnących

v - ~lpe+l IO

2 q 3pe+4'

A -

VB = ql 3pe + 5 , 2 3pe +4 3qll

HA= Ho = 4h(3pe +4)' ąP

MA= 4 (3pe+4)' q/2 Me - 2(3pe+4)

qh pe2 VA =Vo= - -- , 4 3pe +4

11

HA = qh 3pe + 5 , 2 3pe +4 3 pe + l Hn = - q h - -, 3pe +4

2

qh 2 pe+2 MA. = 3pe+4 '

4

qh2 pe M e= - - - 4 3pe +4 VA =

12

P(l~a) x

pe[/

21 2

2

+(I - a) ] +2/(1 +a)

X

,

pe +l Vs =P- VA, 3Pa2 I - a

c

HA=HB= 2hll pe+ ]'

Pa 2 I - a 2/2 pe + I'

M A= -

W _ Pa(l - a) łl -

)

X

212

)(

pe (2 1- a) + 2(1 - a) ' p e+ l

M;1 = Pa2 ~ 12

pe+ I '

Mv = VB(/-a) -Ma

108

6. Obliczanie ram

Tablica 6.2 (cd.) Lp.

Wykres momentów gnących

Schemat ramy

Wzory obliczeniowe

VA= ql 3pe-+4.

13

pe+ I

8

}~

Vs = ql 5pe + 4. 8 pe + l

q/1

HA =HB =

Sh(pe + l)' q/1

-<::

MA-

- 24(pe+ 1)'

q/ 1 Jpe + 2 A-IB= - - - , 24 pe+I

~

MA

Me=

ąP l2(pe+I)

1

14 I

p

2

o

VA= VB = -P 2 .

l

2 /(

3PI

HA =Hs = Sil (pe+2)'

c

Pl

MA=Ms= 8

-- ~

._,_. ~

1:1

~

Ms

15

(

8 pe +2 )'

Pi Me = Mv = 4 (pe + 2 )' .M,,.

=

Pl pe+ I 4 pe+2

VA= Vi1 =

D

q/1 HA=Hs"" 4h(pe+2)'

c

ąi2

~=Ms:

12(pe +2)'

"""

ą/2

8

\A

I

1_q/,

I.fi

'-.,-J

._.,....

Mit

MB

Mc =Mn= - - 6(pe+2)' 1

Mx = q/ 3p e+2 24 pe +2

109

I. Obliczenia wytrzymałościowe

w

przypadku ohciąteń stałych

Tablica 6.2 (cd.) Lp. 16

Schemat ramy

Wykres momentów gnących

Wzory obliczeniowe pe2

vA= V»=

ąh-~ .

6pe+I

H _ qh [ 8 pe + l 7 _ A - 4 2(pe + 2) _ 4pe+3] 6pe+1 ' Hs= qh [4pe+3 _ 4 6pe +I

- 2(p:+2)

l

2

MA = qh [4pe + I+ 4 6pe + 1 pe+3 ]

+ 6(pe +2) MB



·

2

qh [4pe+ I _ 4 6pe + I

pe+3 ] - 6(pe+2) · 1 M c =qh -pe [ -2- + 4 6pe +I

+

6(p:+2)J

6 -M :qh2 -pe [ - D

4

6pe +I

- 6(p:+2)]

7. Pręty zakrzywione o małej

krzywiźnie

względnej W rozdziale tym podano wzory obliczeniowe dla prętów z.a.krzywionych o małej krzywiźnie względnej, tj. takich, w których stosunek wysokości h przekroju poprzecmego do promienia r krzywizny pręta jest mniejszy niż 1/5 lub 1/10 w .zależności od błędu, jaki dopuszcz.arny w obliczeniach (hlr '5, l/5 lub h/r -5. l/lO; w .zależności od kształtu przekroju poprzecmego błąd ten osiąga wartość 5 lub 2%). Promień krzywizny r dotyczy linii utworzonej przez środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręt.a w stanic nieodkształconym.

Wzory obliczeniowe dla

różnych

przypadków

prętów

zakrzywionych podano

wtabl. 7.1·7.4. Tablica 7.l. Pręty zakrzywione 1t1tycznle wyznaczalne, .zginane w pla.uczyinie rysunku

Rys. 7.1 Oznaczenia według rys .7. 1: N - siła normalna; T - siła tnąca; M1 - moment gnący w przekroju, określonym kątem tp. Pozostałe oz:naczenja: h orazfy - skłlldowe pozioma i pionowa przemieszlcąt obrotu przekroju poprzecznego korka pręUt; czenia (strzałki ugięcia) końca pręta; EJ - sztywność zginania

e-

111

I. Obliczenia

wytrzymało.Jciowe

w przypadku obciążeń stałych

Tablica 7.1 (cd.)

Lp.

Schemat pręta

Wzory obliczeniowe

N = - Psin41, T = -Pcos
r Jx

=

3

Pr H.J

(1 -cosa) 2

f =Pr~ (~ _ sin2a)

1

'YEJ2 F'r2

0 = - (1 - cosa) Ef

2

Ałmox

= Pr

W

pWlkcie B

B

3

N - Pcosip, T = -Psin
(ia -2sina + _!_sin2a) I " =Pr El 2 4 • Pr 3 2 FJ

f =-(1-cosa) 2 "

'

Pr 2 () = - {a -sina) Ef

'

4

M...,. = 2Pr w miejscu utwierdzenia

112

4



7.

Pręty

zakrzywione o malej krzywiiflie

względnej

Tablica 7. 1 (cd.) Lp.

Schemat pręta

Wzory obliczeniowe

5

N= -Pcos(a -
ą;),

/\18 = -Pr [oos ( a -
6\ .

I I) -PrRJ lrcosa - -34 cos2a - -asin2a -- , 2 2 3

f = %

3

Pr- ( a f =y

2EJ

1 3 . ), + -acoHa --sm2a

2

Pr

4

2

.

O= - - (sma - a cosa) EJ

6

N = P sin (a -
a .

( 1 3 . .., 2 . ) f • = -p,,.3 a --cos2a+-sm-a- smcr , RJ 2 4

\

3

3

fy

1.

I)

Pr- ( cosa - -cos2a - -a sm2a - =EJ 4 2 4 '

. +cosa - 1) 0= -Pr2 - (a sma EJ

7

N=O. T=O, M,= -M,

~M

~

""-J

2

f. = Mr EJ

~H

{~~ ,

.

)

a - sina ,

Mri

Mr

EJ

EJ

f = - ( I - cosa), 9= >'

8

(

a

Mr1 ( . l) fx = EJ a sma +cosa - ,

f >' :

Mr2 . -acosa ) , B = i\,fr a EJ (sma EJ

113

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

obciąteń stałych

Tablica 7.1 (cd.) Lp.

Schemat pręta

Wzory obliczeniowe N= qr(cos
9

2

lvl1 = qr (cosrp- l ),

10

(} =

~ ( %- 1),

Mm.,,. = qr2 w miejscu utwierdzenia

11

Mmax = 2qr 2 w miejscu utwierdzenia

12

Na całej

długości działają

pręt siły

stycme o

na

N = trsinrp, T = tr(l - cosą),

natężeniu

M 8 = -tr 2 (


tNhmn

~ (a" sin a) fx= EJ 2-asina+-2,

4

4

2

tr ( sma+-sm2a--a-acosa, • l . 1 ) I y=-2EJ 4 2

114

7.

Pręty

zakrzywione o malej krzywtźnte

względne;

Tablica 7.l (cd.)

Schemat pręta

Lp.

Na całej

13

Wrory obliczeniowe

długości w płasz-

czyźnie pręta działają pary sił

o momencie m, pr.cypadającym na I nun długości pręta: m N·mm/nun

N = O, T = O, M„ = mr
!K = ~ (1-cosa - a sina),

n;, )

/„ =

(sina - a cosa),

2

9=~a 2 2EJ N =-Pcos
14

I

M 1 : -Pr(l - COS'fJ), 2 B

e"2

p

2

.

N= -Psin,

c

15

l

Mmox = - Pr w punkcie C, 2

M11 = -Prsinrp, Mmox =Pr w punkcie C, 3

M

16

3

=-z PrEl "'1,57 PrEJ 7t

/ 8

M

VA "° Vs = - , N = --cosip, 2r .2r

Mmu=M wpunkcieA, f B = Mri EJ

17

VA = VB = A

~ , Mmax = ~M

w punkcie C

8

115

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

obc1ąteń stałych

Tablica 7.1 (cd) Lp. 18

Schemat

pręta

Wzory obliczeniowe

A~B

Tablica 7.2.

Pręty

VA = VB = O, HA =HB = O, N= O, T=O , Mll=-M,

f _ 2Mr

obchtżone

zakrzywione statycznie wyznaczalne,

B-

2

El

prostopadle do

płaszczyzny

rysunku

Rys. 7.2 Oznaczenia: N - siła normalna; T - siła tnąca; M, - moment skręcający względem osi normalnej do przekroju poprzecznego pręta, Mg - moment gnący w płaszczyinie prostopadłej do rys. 7.2, zawien1.Jącej normalną do pr.lek:roju poprzecznego pręta; EJ1 - sztywność zginania w płaszczyźnie

prostopadłej

do rysunku; GJ, -

sztywność skr~ania swobodnego (por.

przemieszczenie przekroju końcowego w kierunku osi z , obrotu przekroju końcowego względem osi x,y Lp

Schemat

pręta

Siła P prostopadła

Wz.ory obłiczeruowe do

M, = Prsin<{J, M, =Pr( I - cosq.i),

płaszczy-my rysunku

Pr

fz

=-

3

-

EJ,

8. %

(

l + 3k k- l . . ) - -a+--sm2a-2ksma 2 4 '

P? ( k+ k- I . . ). „ __ -la + --sm2a - k srna EJ, 2 4 , 2

~

116

prostopadłej

rozdz. 4 ); k = E..11 ; f, GJ, do rysunku; e,., e,, - kąty

(k -1.

)

Pr --sm 2a + k - kcosa EJ, 2

= --

7.

Pręty

zakrzywione o małej krzywitnie

względnej

Tablica 7.2 (cd.) Schemat pręta

Lp.

2

Siła P prostopadła płaszczyzny

3

Wzory obliczeniowe

do rvsunku p

Siła P prostopadła do płaszczyzny rysunku

Pr 3 /, = -][(3k + 1), 2EJ, 2

~

9.

"

4

y

MomentM płaszczyźnie

w

Pr2

2E.l1

1t

(k +I) = MsinqJ,

/,=Mr' (k - I sin 2a + k -kcosa), EJ, 2 Mr k-1 . ()x = EJ - -sm2 a, 2 I

O, =O,

Mr (k+l k-1 ) ~=Eli -2-a--4-sin2a

'-...j

5

= -

Ma =M cosip, M,

xz

~ "'".,_(!

2

2Pr o.„ =2k -Pr =-Eli GJ. '

MomentM w plaszczyźnie xz

Cf

f

;

= Mr (3k 2E.Ji

y

1) O >

=

X

Mr (k 2EJi

1)

,

7tMr oy =-(k+l) 4Eli

'

6

MomcntM w płaszczy7nie yz

8. = -1t -Mr ( k+I ) x

2EJi

(}. =0

>Y

117

/. Obliczenia wytrzymaloJciowe w przypadku

obciąteń

3talych

Tablica 7.2 (cd.)

Lp.

Schemat pręta

Wrory oblicn:niowe

7

MomentM w płaszczyźnie yz

M, = M sintp, M, = -M COStp, 2

f'

Mr=EJ,

("+I . k -1. 2 aJ --a - k sma+--sm 2 4

>

Mr("+ l + --sui2a k-1 . J' - -a 2 4

9. = I

EJ]

Mrk-1. 9. = - - - s i n2 a y

8

2

MomentM w płaszczyfuic yz

J; I

9

E.11

2

=Mr Eli

(k+lx-k) 4 '

MomcntM w płaszczyźnie xz

1O

Obciążenie ciągłe q N/mm

M, "' qr 2 (1 - cosip),

prostopadłe do płaszczyzny

rysunku

M,

=qr 2 ( rp -

sinip),

3

qr [ k-1 . ] o„ =El, (k+t)(l -cosa)--4-(1-cos2a) - kasma, 3

. By= qr EJ, [(k+l) ( sma-

118

a) +k - -sm2a-kacosa 4

2

1 .

]

7. Pręty zakrzywione o malej krzywiźnie względnej

TabUca 7.2 (cd.) Schemat pręta

Lp. li

Obciążenie ciĄgłe q

Wmry obliczeniowe

do płaszczyzny rysunku

CI

Obciążenie ciągłe q

~

(X

Tabłłca

7.3.

(

E.11

,

3

( X)

qr

qr ( + l) 8.r= - (k+l) 1- - ... Q.215--k EJ1 4 2ID1 qrł

qr4

Eli

Eli

/„ =-(x 2k+4)~-(9,87k+4), qr3 O. =-(k-1)1t "'157-(k- I) qrl

"

2El1



2El1

'

2qr3

9, = EJ (k+l) I

statycznie niewyzn11aałne

Omac:zenia: N - siła normalna, T - siła tnąca, M, - moment ~y w prZclcroju kątem
)

qrJ

.

Pręty zaknywioae

4

„_ qr 0,326k + l

qr3

t

,

+I

- t)] == -(3-2142k) „ =-[3-k(11 2E.11 2EJ, . '

N/mm do płaszczyzny rysunku

prostopadłe

4

f„ = qr- [ k --1 F-11 2 9.

.

12

rl

Nlnun

prostopadłe

Schemat pr~ta

określonym

Wzory obl1czeniowe 1 VA = V.11=-P, 2

p

P 4cosa-3cos2a-2sin2a-l s=---------2 2a(2 +cos2a)- 3:sin2a

HA= H

N= _ .!_ Psin(a - f') - HA cos(a -
T = ..!_Poos(a - tp)-HAsiit ( a- 'J'), 2

1

M, = 2Pr (sin(a - tp)- sintp) -

-HA r (cos(a - tp) - cosa] 2

VA= V8 =0,

HA- H g

-

-

-

H-

-

4M sina -a cosa r 2a(2+cos2a)-3sina '

-

Mraa = M - Hr(l - cosa) 119

I. Obliczenia wytrzymało.foiowe w przypadku Tabłlca

obciąteń 3tałych

7.3 (cd.)

Lp.

Schemat pręta

3

Równomierne nagrzanie o MK

Wzory obliczeniowe

HA = Ha=H=

4a!:i.tEJ r2

(a - współCZ)lUlik rozszerzalności liniowej).

c

VA = VB = O, N= - H sin
T = -Hcostp, Ma = - Hrsin
Mma• =

r

4

VA

. w punkcie C

4 M 11 r

4 M N= - - - 9in1p, T = 1t

r

M(~-1) ~o,2732M,

M,1. =

A

M

=-Vi1=--~1,273- ,



Ma=

4 M

---cosąi, 1t r

-M(~sin1p-1) ,

Mnu. =M w punkcie B

5

Pionowe

obciążenie ciągłe q

N/mm JIA

=Vs :

qr, H,1. = Hs

=0,5516qr,

Ntc = 0,0470ąr

2

6 1

VA= Va - -P, H.c =Hs - 0,4551P, 2

M.c =Ms = 0,1065Pr, Mc=0,1514Pr 7

1

VA = Va= 0,3197P, HA = Ha = 2P,

MA =Ms= 0,1802Pr=Mmax, Me= O

120

7.

Pręty

zakrzywione o malej krrywiinie

względnej

Tablica 7.3 (cd.) Wwry obliczeniowe

Schemat pręta

Lp.

Obciążenie ciągłe

8

q N/mm

prostopadle do płaszczyzny rysllllku moment gnący w płaszczyźnie yz: MA =MB = qr 2;

moment gnący w Me"" qr 2

9

Siła P prostopadła

płaszczyźnie xz:

(4 ; - 1)""0,2732qr

2

do płaszczyzny

1

rysunku

M,A = -M,JJ""

ż Pr,

M,c = O;

moment gnący w płaszczyż:nie yz:

moment gnący w płaszczyźnie :a: z

y

Pr M e= - - ... -0,3183Pr 'lt

Tablica 7.4.

Pierścienie

koliste zginane w swej

płaszczyźnie

Rys. 7.3 nornudna, T - siła tnąca, M, - moment gnący w przekroju oznaczenia: /.. - wydłu1enie średnicy poziomej pierścienia kolistego, f, - wydłużenie średnicy pionowej pierścienia kolistego

Omaczc:nia

według

rys. 7.3: N -

siła

określonym kątem
121

I. Obliczenia wytnymalo.łc1owe w przypadlw obcią.teń

3tałych

Tablica 7.4 (cd.) Lp.

Schemat pierścienia

Wzory obliczeniowe N=

2'l p.sm~.

M 6 =Pr

T=

2'1 Poos1p,

(isin'1-.;),

Mrmx = _!_p„ łOI 0,3183Pr wpunktachA i B, X

Pr}

I „ =-0137• El • fy 2

Pr3 El

=+0149'

dla tp zawartego w przedziale O :S tp ś a: N=

p(;(a-±sm2a)-•]

T=

P[;(a-ksin2a)-1]sin'f',

COS
=Pr[;(sma-acosa +acosąi-icos'l'sin2a)-

M8

J

- COS!l> +cosa

dla 9' zawartego w przedziale a ~ 'P s 1t:

I ( a-2sm2a I . ) cosq:i, N= ;P

M6 „;Pr (sina -a cosa+ acosq1-±sin2acoscp),

!.

=-z: [;(sina-acosa)+f 3

[2 (.

)

(sinacosa-a)J.

1.

Pr- - sma-acosa +cosa +-sm 2a -1 f, ; : y

122

El

11

2

J

7. Pręty zakrzywione o malej lirzywitnie względnej

Tablica 7.4 (cd.)

Lp.

Schetnatpierścienia

3

Wzory obliczeniowe dla 'P zaWBit.eg<> w przedziale Os rp s ~ : 2

2P n

dla rp zawarteso w przedziale 2 s tp S 11:: N::: _!. PCOS(/J, T = _!. Psinrp,

p

11

1t

M. -Pr(0, 1817 + 0.3183costp),

p,l

p„l

J„ ::: -o,1366 EJ , !, = +0,1488 EJ

4

11 sił P równomiernie rorlotonych na obwodzie

( -sm--1 " . n ) , M• = Pr -n . it n 21mn M

,..,.

1tJ

=- -ctg- · l Pr (" 2 11 ;. '

promieniowe przemieszczenie punktu przyłożenie siły:

f ""

Pr

a)

__ I _ (~ + sina _ ~sin2 EI 2 sin2 ~ 4 4 a 2 2 3

123

/. Obliczenia wytrzymałolciowe w przypadlcv obciąteń stałych

Tablica '7.4 (cd.) Lp.

Schemat pierścienia

Wzory obliczeniowe

5 N

2 M . x r

""--!nnacosip~

0 ,6366-smacos(/I M . , r

2 M . . "' 0,6366-smasm~ M . . T = --smasm9" , ~



r

M,

=

M [ ;(2 sinacos'I' + a) -1] d\11

M

=<

M

I

(~COS(/' + .!.) X 2

Oś tpś a,

dla a s


Mr 2

I "' - EJ (o .6366a - sina)' 1t

Mr 2 fy = El (0,6366a +cosa -

6

Równomierne obciąt.enic promieniowe ą N/mm

l)

N= - q„, T = O, M , = O, 2qr 1 fz=fy"' - EF ,

gdzie P jest polem przekroju poprzecznego pręta.

8. Pręty zakrzywione o dużej

krzywiźnie

względnej W rozdziale tym podano wzory obliczeniowe dla prętów z.a.krzywionych o dugdy stosunek wysokości h przekroju poprzecznego do promienia krzywizny r JCSt większy niż 1/5, tm. hlrc > 115. Promień krzywizny re dotyczy linii utworzonej przez środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta. żej krzywiźnie względnej, 0

Przy zginaniu

prętów

zakrzywionych o

dużej krzywiźnie względnej, oś obojęt­

na nie przechodzi przez środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta, lecz jest z.a.wsze położona nieco bliżej środka krzywizny pręta (rys. 8. l ).

warstwa obOJ~lna

Ryli. 8.1 Promień

r=

kr.zyvvizny warstwy obojętnej oblicza się ze wzoru

F

(8.1)

s;dF F

gdzie: F - pole powierzchni przekroju poprzecznego, u - odległość dowolnego włókna od środka krzywizny pręta . Rozkład naprężeń

M11 y Fe r+ y

CJ= -

normalnych od zginania jest określony wzorem (8.2)

125

1. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku

obciąten .stałych

gdzie: Mg - moment gnący, r - promień krzywizny warstwy obojętnej, e =re - r - odległość osi obojętnej od osi pręta, re - promień krzywizny linii utworzonej przez środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta, y - odległość punktu, w którym obliczamy naprężenie, od osi obojętnej (według rys. 8.1). Rozkład naprężeń nonnalnych przy zginaniu prętów o dużej krzywiźnie względnej podano na rys. 8.2.

Rys. 8.2 Wartości liczbowe promieni krzywizn r występujących we wzorze (8.1) i (8.2) d1a kilku typowych kształtów przekrojów poprzecmych prętów podano w tabl 8.1.

T•bllca 8.1. Wartości liczbowe promieni krzywim' wan~ obojętnej przy zginaniu prętów o dużej krzywiźnie względnej Oznaczenia: C - środek ciętkości przekroju poprzecmego. r. - promień krzywizny linii utworzonej pIZCZ środki ciężkości pm:krojów poprzccmych. r - promień krzywimy warstwy obojętnej [do wzoru (8.2)}, r1 + r~ - promienie krzywizn włókien pręta

Lp.

Przekrój poprzecmy pręta

Promień krzywizny warstwy obojętnej

h

r= - -

ln5_ r1

2

h

r=-----

2 ('"2 In ri h

126

'i

-

1)

Tablica 8.1 (cd.)

Lp.

Przekrój poprzc:cmy pręta

Promień krzywizny

warstwy obojętnej

h(bi +b:i)

r=

2[(~ +r q ~liz) in~ -(bi-~)J 2

4

rnllt

-=1f~ ~f_, ___ ,___ _J

5

6

••

r=!(r 2

+MJ

r~

r=}_(r 2 •

+NJ

<

"

4

j___, __ _J Elipaa

7

<

4

„......

l.1.-·-·-·8

oe-

c.:

Ll.-·-·-·-·-

r=

dJs -d„2

s[fł-Hl

sprężystym podłożu

9. Belki na z.ależnosci

Z

EJ d2y dx2

(5.3) wyprowadzoneJ w rozdz. 5

=M

(9 1) X

oraz ze wzorów (5.1) i (5.2)

= dMX dx

T X

q = - d~ >

d/

r

V\')'t1ikają związki

EJd1y

dx3

=T

(9 2)

r

d4y

EJ=-q dX4 X Jeżeli

(9 .3)

belka spoczywa na

pochodzącego

ciągłe

ky,

od

sprężystym pcxiłożu,

obciążeń działających

na

do

belkę,

obciążenia ciągłego

q, (N/mm),

dc1chodzi dodatkowo

obciążenie

pochodzące od reakcji podłoża (teoria Winklera). Równanie (9.3)

przybiera wówczas

d4y EJ dx4

postać

= -qr -

ky

(por. [18), str. 276)

(9.4)

gdzie (wg rys. 9.1): EJ- sztywność zginania belki, ą:r - obciążenie ciągłe przypadające 2 na l mm długości belki (N/mm), k- stała sprężysta podlot.a (N/mm ), fJ siła, jaką należy przyłożyć do odcinka belki o długości l mm. by zagłębić go na 1 rnm.

k

Rys. 9.1

128

P. Belki na sprętystym podlotu

Po wprowadzeniu oznaczenia (9.5)

równanie (9.4) przybiera postać d4y + 4/J4y= - qx dx 4 EJ Rozwiązanie

y

tego równania przedstawia się następująco

= efl"( A smf3x + Bcosf3x) + e-fix (Csin/Jx + DcosfJx) - q"

(9.6)

k

gdzie: A, B, C oraz D - stałe całkowania, które wyznacza się z warunków brzegowych. Dla belek długich (gdy /)I~ 5) dwie pierwsze stałe całkowania są róMte zeru i równanie linii ugięcia belki spoczywającej na sprężystym podłożu ma postać

11

y -:= e- "(Csinf3x + Dcosf3x)Wartości

liczbowe funkcji

w tabl. 9. l, a wzory podJożu

występujących

1,0000 0 ,9003 0,8024

1,0000 0,9907 0,9651

l.0000 0,8 100 0,6398

0,7077 0,6174 0 ,5323

0,9267 0,8784

0,4888 0,3564

0,8231

U,2415

0,7628 0,6997 0,6354

0,1431 0,0599 -0,0093

0,5712 0,5083 0,4476

- 0,0657 -0,1108 -0,1457

0,3899

-0,17 16 -O 1897

o

0,3 0,4

0,2189 0 ,2610

0,5

0,2908

0,6 0,7

0,3099 0,3199 0,3223

0,3798

0,3185 0 ,3096 0,2967

0,1988

0,2807 0,2626

0 ,1091 0,0729

l,2

spm:zywających

c- /Jxcospx

0,0903 0, 1627

1,3

równaniach belek

e- P~sinPx

o

1,0 1,1

w

na

podlo:iu

0,1 0,2

0,9

w równaniach (9.6) i (9. 7) podano róznych przypadków belek na spręzystym

- w tabl. 9 .2.

1p~żyuym

0,8

(9.7)

występujących

dotycZĄce

Tablica 9.1. Wartcścl funkcji

fJx

~

0,4530 0 ,3131 0,2527 0,1510

e- /Jx (sin/h

+ cosftx)

0,3355

e-/J" (cos{Jx - sinfix)

129

I. Obliczenia wytrzymalo.fciowe w przypadku obciąteń

.!tałych

Tablica '·1 (<:d.)

px

e-fl11sinpx

e-/J11~px

1,4 1,5

0,2430 0,2226

0,0419 0,0158

0,2849 0,2384

-0,2011 -0,2068

'/Cf).

0,2079 0,2018 0,1812

o -0,0059 -0,02335

0,2079 0,1959 0,1576

-0,2079 -0,2077 -0,2047

0,1610 0,1415 0,1230

-0,0376 -0,0484 -0,0563

0,1234 0,09332 0,0667

-0,1985 -0,1899 -0,1794

2,5 3,0

0,0895 0,0492 0,0070

Jt

o

-0,0652 -0,0658 -0,0493 - 0,0432

-0,0244 -0,0166 -0,0423 -0,0432

-0,1548 -0,1149 -0,0563 - 0,0432

-0,0106 -0,0139 -0,0108

-0,0283 -0,0120 - 0,0023

-0,0389 -0,0259 - 0,0131

-0,0177 0,0019 0,0085

-0,0065 -0,0029 -0,0007

0,0019 0,0029 0,0024

-0,0046 0,0000 0,0017

0,0084 0,0058

1,6 1,7 1,8 1,9

2,0 2,2

3,5

4,0 4,S 5,0

5,5 6,0

e-Jls (sinPx

Tablica 9.l. Wzory dotyczęce zginania belek na

+ c.ospx)

e-/J• (c.ospx - sinPx)

0,0031

1pl"fły1tym podłożu

Oznaczenia: EJ - sztywność zginania, {}- kąt nachylenia stycmej do linii ugięcia, k - stała

sprężysta podlot.a, p = ~ 4EJ k . Wzory dotyczą belek długich, gdy Pi ~ 5 Lp.

Schenmt belki

I

Warunki brzegowe do ró"\Walli.a (9.7)

dlax=O

~;

Równanie linii ugi~ia i momentu gnącego. Wartości ugięć, kątów obrotu

i momentów gnących Y"'

- ; e-lk(sinPx+cosftx),

8/J El

~~ c-.th(sinPx - cosPx);

dy =0 dx

M„ =

p T= - -

dlax= O

2

-P

>'llllX

M

130

=sp EJ '

llllX

1

p =-

4ft

9. Belki na spręty:1rym podłożu

Tabllca 9.2 {cd.) Warunki

Lp.

2

Schemat belki

Równanie linii

ugięcia

i momentu

brzegowe do

gnącego. Wartości ugięć, kątów obrotu

r6vvnania (9.7)

i momentów gnących

dla .r ==O

y = -3-c-/b cosPx

-P 2P El

M~=O,

'

M.,_ = ; c-{Jx sinPx;

T= - P

dlax =O

I

-P

dla px

3

y=O,

2

4

dla.r - O T=O,

M„=M

5

dlax =O y=

o.

p

=0,8 y =

dlax- O

1 M.=-M

p

=y,_, = 2p3EI' O= 2p1EI ~

4

M rru = 0,3223 p

-M -IJ:r • jJ /f E.Je sm x ,

MJr = .!.. R-· 2 M e-fht cos,.,.,., dlax=O

y

= ::

2p El

e-.i!x(wspx - sinPx),

M. • M e-fht(sinPx + cospx); dl11.r - o

=f(1-e-.& coapx),

y M

rmx

= _j_e-/JZ sin l'ł--

2p2

P-4•

M.:M dłax=O

(} = -

qp • le

dla f1x = 0,8 Mrru.

R = ..!L.

2p'

q =0,32282p2

131

/. Obliczer1ia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciążeń stałych

T1bliu 9.2 (cd.) Warunki brzegowe do równania ( 9.7)

Schemat bel.la

Lp.

6

Równanie linii

ugięcia

i momentu obrotu

gnącego . Wartości ugięć, kątów

i momentów gnących y

dlax =O

y=O,

= f[i-e-flr(sinpx +cosfJ.x)].

M, = -;2 c:-flr(cosftx 2

~=0

sinfi.x):

dlax = O Mff'llJI, = M 0 = ~ ' R = !L

2p

/)

Naprężenia

maksymalne w belkach na sprężystym podłożu oblicz.a się jak dla po wy:aiaczeniu maksymalnej wartości momentu gnącego Mx za pomocą tabl 9 I . W przypadku belki spoczywającej na gęsto rozmieszczonych prętach (rys. 9.2) naprężenia i odkształcenia oblicza się jak dla belki na sprężystym podłożu, o stałej

zwykłych belek ze wzoru a= M)W

podłoż.a

k = EF

(9.8)

la

gdzie F - pole przekroju poprz<;cznego pręta.

r

= ::;;::::::;;::;::::====:;;;;::::: -~::::;;:::::::;::

EF

Rys. 9.2

1 Ry~.

9.3

Dla belki przymocowanej do podłogi, wykonanej z desek o grubości g oraz z materiału o module Younga E1, stała sprężysta podłoża wynosi: - dla podłogi według rys. 9.3

k = 4E,g1 /3

132

(9.9)

9. Belki na s.pYf_:tystym podlo:tu

R)''!l. 9.5

- dla podłogi k=

według

E lg 3 1

4a 2 (t-a) 2

rys. 9 .4 (9.10)

-dla pomostu wykonanego z desek utwierdzonych w jednym końcu (rys. 9.5)

E g3 413

k=-'-

(9.11)

10. Pręty smukłe obciążone siłami poprzecznym i i osiowymi 10.1. Pręty smukłe ściskane i zginane Moment gnący w przekroju poprzecznym określonym współrzędną x pręta (wiotkiego) poddanego działaniu sił poprzecznych i siły ściskającej S (rys. 10.1) wyraża się związkiem smukłego

M 6 =M:c - Sy

(10.1}

gdzie: M:c - moment

gnący

w . przekroju

poprz.ecmych działających na pręt, S -

siła

określonym

współrzędną

x od

sił

osiowa ściskająca pręt.

Rys. 10. l

Po podstawieniu powyższej zależności do wzoru (5.3) otrzymujemy

d2y

Ef- = M -Sv " dx2 '.I'

(IO.la)

Po wprowadzeniu oznaczenia

p=~

(10.2)

równanie linii ugięcia pręta smukłego przybiera postać

d2

M

i

~+ p2y,,,.___d!_

dx 2

134

S

(10.3)

JO. Prę_ty MnUkłe ohciql(Jf'le ~iłami poprzP.cznymt i Rozwiązaniem

osiOlłY"li

ogólnym tego równania jest

y =Asinpx + Bcospx + y0

(10.4)

gdzie: A i B - stałe całkowania wyznaczone z warunków brzegowych, Yo - całka szczególna ró\Wallia (I O. 3). Wzory dotyczące linii ugięcia i momentów gnących dla prętów smukłych podano w tabl. LO. I. TahUc. 10.1. Pnyklady obliczeń prętów smukłydt qinmycb l śd1k.anycb Omaczenia: S -

Lp.

siła osiowa ściskająca pręt. F-1 - sztywność zginania pręta, p = [-f

Schemat obciążenia

Wzory obliczeniowe dlaxSa

I

P [ sinp(l-a) . ( a) ] sin pl smpx - 1- l px ,

y = EJy

M = - -P sinp(l-a) smpx; . 1 p

·,J

f

sinpl

dlax=a 1

s

P [ sin p(l - a) . smpa+ -pa -pa] EJp ainpl I '

y= - 3

'

M

_

'

2

P sinp(l- a) . . . I smpa. smp

p

1

dlax= -J 2

P sinp(l-a) Ms.-• p 2cosp/

2

p (tg2-2 pl pi) '

2

y : 2EJp2

f

p

M, =M-

'"t1LJ' 2

pl

=2p tg2;

dlax=O

2

J

I -1 - 2EJp2 cos~

( J -p - -(

135

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciq~eń stałych

Tablica 10.1 (cd.) Lp.

Schemat obciążenia

Wzory obliczeniowe M ( x sinpx) y = EJp2 l- sin pl '

3

M ""-M sinpx; 1 sin pt I

dlax - - i 2

s

l

HJ.ES

M [ 1- ---pi I ] y = 2EJp1

cos2

l

M =-



,

M

i• 2cosL 2

~z o = 9 _1 "-

1 1)

M ( EJp sin pl - pl '

=(~ctgp/~) EJp pl

I

dlax = - l 2

4

S'M

'

y-2E~p' [7-J

H'S



cos-

2

M (

2)

pl

~- 1=-0x ; o= EJp ctg2- pl d.laxSa

5

x]

. y- - M-2 [ cosp(l-a) smpx- , EJp sin pl I

'~f~

M -M cosp(l-a) . illi

~

1 -

s

J

.

smpx,

dlax =a

- ~ [cosp(ł-a). - ~] . I smpa I '

Y- E Jpi

M, =

136

.

smp

smp

Mcosp(l -a) . . I Slllpa

smp

JO. Fryty smukłe obctątone siłami poprzecznymi i osiowymi

Tablica 10.1 (cd.)

Lp.

Schemat obciążenia

Wzory obliczeniowe

6

y=-• [ EJpA

oosp(x-B - p'l<2 (1--'=I J-1]' pl cos

2

• ['°'P(·-B l -11 ,

M.=-2 P

il !I[: !I !Ił-" ;J

s

cosL 2

1

dlax= -I 2

y= -EJp4 ·

[-I

_,_p1'8

pl

cos-

2

l '

-l

1 M, =M_=..;[P cos.Ł1 2

o. 7

q/

y = - -1 2EJp

s

„.



q - ( -pl - -pl) ,,,,9Jr ;O =EJp) tg 2 2

l

I=I

p/ roop(x-!1)] 2 px(--1)-ctg-+ , I 2 . pl X

sm2

--'L [pl

Mr - p2

I 11 rl I ! ! ! l





s

2

oo•p(x-H -] pl .

l '

Sllll

(_I.1)-- __!!___(pl - pl) 2EJp 4 tg 4 '

y 2

M

3

'

l

(o)-q (-pl- 1 - .pl

pl 2tg2

'

M(~1) = _i_ [ _ L _1 ] 2 pz . pf I

2sm2

137

!. Ohlicunia

wytrzymałofriowe w

przypadku obciąteń

stałych

T•bllca 10.l (cd.)

Schemat obciątenia

Lp.

Wiory oblicz.eniowe

8

M6

M max występuje

10.2.

Pręty smukłe

zginane i

x)'

q (sinpx sinpl - ,

=7

l sinpłJ dla x = parc cos (----pl

rozciągane

Linia ugięcia pręta smukłego poddanego rozciąganiu i zginaniu jest określona równaniem różniczkowym, analogicznym do równania (10. la)

dzy dx

(10.5)

EJ1 =M" +Sy gdzie: EJ - sztywność pręta na zginanie, Mr - moment poprzecznych (rys. 10.2), S- siła osiowa rozciągająca pręt.

gnący

od

obciążeń

X

Rys. 10.2

Po wprowadzeniu oznaczenia ( 1O.2) p 2 =SIEJ otrzymujemy równanie

d2 M ___ł'.__ P2Y = p2 - " 2 dx S

(10.6)

którego rozwiązanie ogólne ma postać

y

= CeF + De-px + Y o

gdzie: C, D- stałe całkowania wyznaczone z warunków brzegowych, e podstawa logarytmów naturalnych, Yo - całka szczególna równania ( 1O.6). 138

JO. Pręty smukłe obciqtone siłami poprzecznymi i prętów smukłych

Wz.ory obliczeniowe dla kilku przypadków i rozciąganych podano w tabl. 10.2.

Tllllllca 10.2. Pnykłady obliczeń prętów smukłych zgin.anych i rozditganych

osio~1

zginanych

:J

~: S - siła osiowa rozciągająca pręt, EJ - sztywność zginaniu pręta. p = J Lp.

Schemat obciqżenia

Wzory obliczeniowe dlax~a

P

Y = EJp) p

a)

l - ( px -

J

sinhp(l - a) . sinh pl sinh px ,

Psinhp(l-a) sm 'h . px, M =I p Sinhp/

s

1--'-.

[(

dlax=a y

~ __!___[(i - ~) 3 EJp

I pa

_sinhp(l - a ) sinh sinh pl

pa

}

M =!._ sinhp(t- a) 8 inhpa • p sinhpl I

dlax"' -/

2

2

__P_(pl2 _tgh pl) 2 '

y - 2EJp 3

p pl M :-tghll 2p 2

3 M y = EJp1

~~M=-- l --M-~~ · r.

S

(sinhpx x) sinhp/ - l '

sinhpx M, = Ał~nh; 81 p1

1 dlax= - 1 2

y=

2E~p2 [~-l], 2 cos

M,

=

M

pl

2cosh- 2

139

I. Obliczenia wytnymało.łciowe w p rzypadlcv obciąteń 'talych TabUca .11.l (cd.)

Lp.

Wrory oblicreniowe

Schemat obciążenia

4

dlaxSa

y

~re~

=~2 [ coshp(l -a)sinh ll:-~] EJp

,„

p

sinhpl

M _ Mcoshp(l-a) inh

s

„-

sinhpl

s

I '

px;

dlax=a

-~ [coshp(/-a) sinh

Y- EJp 2

M



sinhpl

pa

=Mcoshp(l-a)sinh sinhpl

- ~]

i '

pa

l

5 y=

_L[

ooMpx ') -I - - +p'tt -- ( 1- hp/ 2 I '

EJp 4

M = 6

4-+l!l I ~!11 'f

2

cos

_q_ [

00

p2

M px pl cosh -

-i]

2

I

dlax= -/ 2 y = - q [ - ' +p'I' EJp• cosh pl 8 2

M • -_

140

'

_q_[_I -Il cosh2

P

pl 2

-I] '

1O. Prfty smMkle obciązone silami poprzecznymi i o.siowymi

Tablica 10.2 (cd.)

Lp.

Wzory obliczeniowe

Scheznatobciążenia

6

ql y=--3

2EJp

[coshp(x-~)pl-oosh~/ +px(1- -lx)]• sinh2

M "

=!!....[1pl coshp(x-~/) 1· pl 2 . pl • sinh2

dlax=O

=..!L.[1-_E!___J. p2 pl • 2tgh -

M•

2

_ _!!!_( pl -

y - 2EJp3

4

hp')

tg 4 '

=.!i,[1-2Sinh~/

M

pl

p

I

]

7

.

1

M....,,, występuJe dla x = ;arccosh

(sinhp/) ~

11. Obliczanie

płyt

11.1. Cienkie płyty kolowosymetryczne 11.1.1. Podstawy teoretyczne i wzory ogólne Podane w tym rozdziale wzory dotyczą małych ugięć płyt cienkich, tj. takich przypadków, gdy grubość h płyty jest mała w porównaniu z wymiarami poprzecznymi (h::;; a/5, gdzie a jest promieniem zewnętrznym płyty okrągłej (lub szerokością płyty prostokątnej), ugięcie zaś maksymalne f płyty (strzałka ugięcia) jest nie większe niż: połowa grubości płyty (f ~ h/2)]. Dla płyt kołowosymetrycznych (w których kształty, sposoby podparcia i obciążenia spełniają warunki symetrii osiowej) położenie dowolnego punktu A powierz· chni środkowej płyty (tj . warstwy obojętnej przy zginaniu), znajdującego się w odległości r od osi płyty, określone jest współrzędną ugięcia w oraz kątem ugięcia tp (rys. 11. lb). Na ściankach elementarnego wycinka płyty odciętego dwoma przekrojami osiowymi odchylonymi od siebie o kąt dąJ oraz dwoma przekrojami obwodowymi, poprowadzonymi na promieniu r oraz r + dr (rys. 11 . la), działają pary sił o momencie M, oraz Mr, jak róv:nież siły poprzeczne T, jak to podano na rys. 11. lc, przy czym wszystkie te wielkości odniesione są do jednostki długości powierzchni środkowej płyty. Oznacza to, że moment M,, zginający w kierunku obwodowym, oraz moment M,, zginający w kierunku promieniowym, w układzie SI mają wymiar niutonometr na metr (N·m/m). Maksymalne naprężenia od zginania powstają w skrajnych włóknach płyty i dla tych właśnie największych wartości naprężeń przyjęto oznaczenia: , jaki tworzy styczna do południka powierzchni środkowej ugiętej płyty z płaszczy. mą płyty nieobciążonej (rys. 1 L.1 b) 142

J I. Ob/iczanit płyt

a)

d)

Ry1. 11.1

rp

(11.J)

drp)

M, = B ( - +vr dr

gdzie 8 oznacza sztywność płytową

Eh 3

B - -~~

(l l.2)

-12(1 - v 2 )

przy czym h - grubość płyty. Równanie różniczkowe powierzchni środkowej (warstwy zginaniu) płyty kołowosymetrycznej ma postać

d 2rp 1 drp rp T - +- - - - = -2 dr2 r dr r B

obojętnej

przy

( 11.3)

czyli inaczej

d[ld --(rrp)J= - B

-

dr rdr

T

(11.4)

143

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku ob ciąteń stałych

Maksymalne naprężenia od zginania wyraż.ają się wzorami 6M,

C1' = - -

'

h2

oraz

6M

a ( = -hl-1

(11.5)

dla konkretnego przypadku wartość siły tnącej T, przypadającą na jednostkę obwodu odpowiadającego promieniowi r, otrzymuje się równanie danej płyty, z którego - po wyznaczeniu stałych całkowania - można obliczyć ugięcia, a następnie - wykorzystując wzory ( 11. I) oraz ( 11. 5) - również naprężenia (por [18], str. 359). Wzory dla różnych przypadków płyt kołowosymetrycmych podano w tabl. 11. l. Wyznaczając

Tablica 11.1. Wzory dotycz1tce cienkich

płyt

kolowosymetr}'cznycb

Oznaczenia /-strzałka ugięcia, w - ugięcie warstwy środkowej odpowiadające promieniowi r, 8 - kąt nachylenia stycznej do południka zgiętej płyty, M 1 - moment gnący promieniowy przypadający na jednostkę obwodu, M 2 - moment gnący obwodowy przwadający na jednostkę długości, a - zewnętn.ny pronuen płyty, h - gruoość płyty, B - sitymiość płytowa Eh 3 B~ ( ) , v - liczba Poissona. )2 1- V 2 Lp I

Schemat Płyta

płyty

Wzory obliczeniowe

podparta na obwodzie,

obciązona w środku siłą P działającą

_ Pa 2 (3+v) f - l 6rtB(l + v)'

na małej powierzchni, by naprężenia dociskowe nie przekroczyły Ojirop

2

f = 0,55 Pa 1 dla v"' 0,3, Eh

[3+v(1 2)+2r 2In-, r]

w =P - - - - a -r

161CB 1+ v

p f}:

a

3Pa (1- v) rcEh3

~ ~ t -- ~ t ~ ~ Jr w

all'lllX =

144

„~ (o,631n!:+1,16) h

dla v=0,3

11. Obliczanie płyt Tablic• 11. l (cd.)

Lp. 2

Schemat Płyta

Wzory obliczeniowe

płyty

utwierdzona na obwodzie, P przyłożoną

obciążona siłą

jak "'Yźej

na obwodzie płyty

p

M -1 - 4'1t'

6M1

O',

=

7

3P = 2xh~'

P

M,

=

3Pv

-v 4:n , ur = 21th2;

w środku płyty

~(I+ v) ( 0,485lni +0,52),

amu =

u,...,. = ~ w= Płyta podparta na obwodzie. obci$>na siłą P rozłożoną równomiernie na obwodzie koła o promieniu b

(

0,63Jn~ + 0,68)

8~ [r m~+~(a -r 2

3P


= O'r =
2

0,3,

1 )]

)(

~ (1- v) + (1 + v)!n ~ -(1- v) ~2 J. 2

_ 3P (1-v

f -

) ><

2d1 E 1

x [(3+v)a - (l - v)1' 2(1 + v) Płyta utwierdzona

V=

dla wszystkich punktów r < b

x[

4

dla

2

b2 (1n~b+i)]

na obwodzie,

obciążona siłą P ro.złożoną

równomiernie na obwodzie koła o promieniu b

dla wszystkich pllllkt6w r < b 3P O', = O', = 47Ch2 )(

X

[(l+v)(2tn~+::-1)] =

= on-.

gdy b < 0,3 lu,

gdy b > 0,31a, naprężenie makS}malne występuje

na obwodzie rt>lb ~1a

allll><

=
3Pl (1- ab:)

2rr.h

145

I. Obliczenia

wytrzymałościowe w przypadku obciążeń stałych

Tablica 11.1 (cd.) Lp.

5

Schemat płyty

Wzory obliczeniowe

Płyta obciążona na obwodzie moment.am.i o natęże:niuMo na jednostkę długości obwodu; wymiar

M a2 6(1- v)M0a 2 = 2B(: + v) Eh 3

I

momentu Mo N (N·rnm/mm)

M0 a "" 12 (l - v)M0 a

() =

B(l + v)

Eh3

p=B(l+vL

Eh

3

.

12(1-v)M0 '

M0 dh1 całej

'

płyty

M,=M,=Mo,

6M0 a , =u.,"'u.l1llX =-2h

6

Płyta podparta na obwodzie, poddmia działaniu obciążenia rozłożonego

równonuemie na całej powierzchni płyty, o natężeniu ą MPa

_ (5+ v)ąa 4 64B(l + v)'

f -

_

f -

0,7qa 4 Eh3 dla

v = 0,3,

3

(}qa . - 8B(l + v)'

w środku płyty _ O'mu; -

_

_ 3(3 + v)ąa 2

u, - u, -

8h2

'

na bnegu U, =

146

0,

0'1

=

0.52q

(tr

dJa

V=

0,3

Jl. Obli=nie płyt

Tablic.. 11.1 (cd.)

7

Wzory obliczeniowe

Schemat płyty

Lp.

Płyta utwierdzona przesuwnic na obwodzie, obci~enic q przyłożone jak wyżej

ąa•

-

J-

s

.3qa4(1-

v1)

16Eh3

64B

'

qa• =0,17 Eh 3 dla v= 0,3,

f

qa2 Mo=s;

na brzegu a.m&Jt

3qa 2

6M

-(er.)r • a -- - h2 0 -- -4h2 -

'

'

1

3qa v

a,-vu, = ~;

środku płyty dla V= 0 ,3

W

qai hl

u =u -049-

,

g

Płyta podparta na

obwodzie. równomierne q działa na powierz.chnię koła o promieniu b obciążenie

w

'

'

środku płyty 2

_ Jqb

/-

( •-

vL

16EhJ

[4a (3+ v) 4 b2 In~ _ (7 - 3v)h

1

2

><

b

l+v

dla

f

V="

=

}

l+v

0,3

q;h

2b1 [ 3

(b)

1,73-1,03 ;

(b)

l

2

b , + 0,68 ;; In;

2

1

3qb = -2h 2

2

[

a l+(l+ v)ln--(l - v) -b 2 ] ; b

4a

dla v= 0,3 O",_

qbl [ 1,5-0,262 (b)l =11" ; -

b]

J,95Jn;

147

I. Obliczeriia wytrzymalolciowe w przypadku

obciążeń stałych

Tablica 11.1 (cd.)

Lp. 9

&hemat płyty Płyta utwierdzona pm:suwnie na obwodzie, obciążenie równo-

Wzory obliczeniowe W środku płyty dla V=

mierne ą działa na powienchnię koła

o promieniu b

f

=

0,3

q;hJ Il0,68 - 0,51 (b) ; 2b2

2

(b) In;hl, 2

+ 0,68 ;

na brzegu

1O

Płyta

o

przymocowana do wałka 2b, obciążona na ob\\OOzie

dla

V=

0,3

średnicy

2

momentami o natężeniu Mo przypadającym

na jednostkę długości

I

obwodu; wymiar momentu Mo:

_546 M 0 a2

- ,

Eh3

N (N·rrun/mm)

(~) - (21n~+1) b b . ( bJ2 . 0,7 +1,3 a

dlar=b

M0

CT,

=h2

---
u, =- va„ (b)2 , 1,3 + 0,7 ;

~

obwodzie (r=a)

6 M0

u,

148

12

=y,

M0

u, =IT

6l.3-o.1(~r] a (b)2

1,3+0,7 a

I I. Obliczanie płyt

Tablica 11.1 (cd.)

Lp.

Schemat płyty

ll

Płyta z otworem w środku, podparta rui obwodzie, obciążona silą P rozłożoną równomiernie na obwodzie otworu

Wzory obliczeniowe

0inu=0i=

_ _]!___ [2a (1 + v) 1 ~ ( _ )]2

- 2nh2

a2 -

b2

n

b+ 1 v •

na obwodzie Pb [ b 1- V 8=--x 21n--l---+

a

8nB

2b

2

b(

l +v

2

l+v)]

a --+---Inl+ 2 a2 - b a b2 1 - v

12 Płyta utwierdzona nieprzesuwnie na

obwodzie, przymocowana do szty\Weg wałka o średnicy 2b; wałek działa na płytę wypadkowym momentem Mo; wymiar momentu Mo: N (N·nunfnun)

na promieniu r = b, dla v = 0,3

na promieniu r = a

\\<-artości

liczbowe współczynników k1, k1, k3 dla

v- 0,3 podano w poniższej tabelce: 1'2b ,___.~~~- ~2a ~----

0,5

0,6

0,7

0,8

ki

0,081

0,035

0,0128

0,0032

k2

1,14

0,685

0,465

0,262

kJ

0,573

0,452

0,325

0,212

alb

149

I. Obliczen ia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciąteń stałych

Tablica 11. L (cd.)

Lp.

13

Schemat

płyty

Wzory obliczeniowe

Płyta poddana działaniu siły P

dla v= 0,3

rozlorównomiernie na obwodzie otworu o promieniu b, warunki brzegowe j ak na poniższych rysunkach żonej

p CTITllJ<

= ki°f1•

Pa 1 f -- k -· 2 Eh l'

a)

wartości współczynników k 1 i k1 dla przypadków przedstawionych na rysunkach a-d podano w po-

p

f- r r T T ~T TT"'Tł

I

~: : :~ ~~'fil ~

tabelce:

~

<1>2b p ~

b)

niższej

rTT„ TTj T T j 1

I

li li I I I I I I

-·-·-·=

~H ~ tHłł ~ ~

/. ~-

/

C)

r



~I '

f

·~

-i.,~;:~::""

~

-r-f

..ii,

~

r„I

d)

~

I .

. ~ '~~-,~ l·I., } -:1I ~-<.'>&,~' ~

~:

ł·.

;;

-~2b•


alb rys.

1,25

2

1,5

k1

Je;

lei

lc2

k2

a

1, 10

0,341

b

0,194 0,00504 0,32 0,0242 0,4 54 0,0810 0,673 0,172 1,02 1 0,217 1,305 0,238

c

0,227 0,00510 0,43 0,0249 0,753

d

0, 115 0,00129 0,22 0,0064 0,405 0 ,0237 0,703 0,062 0,933 0,092 1,13

k1

k1

5

k1

150

k1

4

3

1,26 0,519 1,48

k1

ki

0 ,672 1,88

o,osn

ki

0,734 2,17

0,724 2,34

0,704

1,205 0,209 1,514 0,293 1,743 0,350

O, 114

Il. Obliczanie płyt

Tablica 11. l (cd.)

Lp.

Schemat płyty

Wzory obliczeniowe

14

Płyta z otworem w środku o promieniu b, poddana działaniu obciążenia rozłożonego równomiernie na całej powierzchni płyty; natężenie obciążenia ąMPa

dla y"' 0,3

wartości współczynników

k1 i k2 podano

w poniższej tabelce:

alb l)'lj.

1,25 k1

a 0,592 0,184 b 0,66 0,202 c

2

1,5

lc2

k1

k2

k1

4

3

k2

k1

k2

k1

5 k2

k1

k2

0,976 0,414

1,44 0,664 1,880

0 ,82 2,08

0,830

2,19 0,813

1,19

2,04 0,902 3,34

1,22 4,30

1,300

5,10 1,310

0,13 0,710 0,162

0,73 0,175 3,69 0,564

0,491

0,105 0,00199 0,259 0,0139 0,48 0,051S 0,657

d 0,135 0,00231 0,410 0,0183 1,04 0,0938 2,15

0,29 2,99

0,448

e

0,122 0,00343 0,336 O,o313 0,74 0,125 1,21

0,29 1,45

0,417

1,59 0,492

f

0,090

0,11 2,23

0,179

2,80 0,234

o,ooon

0,273 0,0062 0,71 0,0329 1,54

151

!. Obliczenia

wytrzymało.łciowe

w przypadku

l l.1.2. Przykłady obliczania płyt

obciąteń stałych

kołowosymetrycznych

Przykład

):

11.1. Wyznaczyć równanie powierzchni ugięcia oraz napręż.enia maksymalne płyty pokazanej na rys. l l .2a. Płyta ma kształt pierścienia o promieniu zewnętrznym a i promieniu wewnętrznym b. Na obwodzie zewnętrmym płyta jest swobodnie podparta i obciążona siłą P rozłożoną równomiernie na obwodzie wewnętrznym. p

a)

rrrrrTrrrr r rrn

I I I I 111111 11 I I I 11I11111111ł1 1 I I łł I I I 111 I I Il 11



f'

Qa

I

Ry1. 11.2

Ro z wiąz a n ie: Siłę poprzeczną T, przypadającą na jednostkę obwodu

o promieniu r, wyznaczamy z warunków równowagi środkowej CZC(Ści odciętej (w myśli) promieniem r (rys. 11 2b). Z rzutów sił na oś znajdujemy

T ·2nr = P,

stąd

T

płyty, płyty

=_!_ 2'1tr

Równanie różniczkowe (11.4) powierzchni środkowej

d[l d J

p dr ; dr (rep) = - 2xrB

płyty ma postać

(a)

Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy ą>=

152

Pr

Cr

C

81tB

2

r

2 --{21nr-l)+-1- + -

(b)

J J. OblicZQme płyt

dw

(c)

ą>=- -

dr

więc

po scałkowaniu

wyrażenia

(b) ugięcie w wyrazi się zależnością (d)

Pa

1

1 1V cl=-- ( }+ -81t8

2 1+ v

2

b)

b lna 2 -b 2 a

Ze wzorów ( 11.5) - po wykorzystaniu wzorów ( 11.1) - otrzymano dla tej płyty wzory określające strzałki ugięcia, naprężenia maksymalne O'max i kąt nachylenia ()południka na obwodzie płyty podane w tabl. 11.1, poz. 11.

11.2. Zginanie cienkich płyt

prostokątnych

11.2. l. Oznaczenia i wzory ogólne W przypadku zginania płyt prostokątnych przez w oznac.zamy przemieszczenie dowolnego punktu powierzchni środkowej płyty, określonego współrzędnymi x i y. Położenie paska płyty o szerokości dy określonego współrzędną y podano na rys. Il .3a, a linię ugięcia warstwy środkowej tego paska - na rys. 1 l .3b. Jeżeli z paska pm:dstawionego na rys. l 1.3b wytniemy w myśli odcinek o długości dx, to na odcięty w ten sposób fragment płyty zginanej działają momenty gnące, których wartości przypadające na jednostkę długości płyty oznaczymy Mx oraz My, jak to podano na rys. l l .4a. Wymiarem momentu Mx oraz My jest więc jednostka siły (niuton N), przy czym dla podkreślenia sensu fizycznego używa się nieraz oznaczenia N·mlm. 1~3

I. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku obciąteń

stałych

W przypadku czystego zginania naprężenia w warstwie środkowej płyty są równe zeru i zwiększają się proporcjonalnie do wartości maksymalnych rozciąga· jących (we włóknach rozciąganych) lub ściskających (we włóknach ściskanych). Dla uproszczenia zapisów maksymalne wartości tych naprężeń oznaczymy a... oraz ay, jak to przedstawiono na rys. 1 l .4b.

b)

F;-if~ łw

Rys. 11.3

b)

Ry11. 11.4 Jeżeli promień

krzywizny warstwy obojętnej w płasz.czyinie xw oznaczymy pi, w płas.zczyźnic yw x.aś odpowiednio /h to dla odkształc.onej płyty słusme są zależności M„

1

1

P1

P2

= B ( - + v -)

MY= B (-1+v1

Pi

)

P1

gdzie B oznacza sztywność płytową, określoną wzorem (11.2) 3

Eh B---.,....--..,.. v2 )

- l2 (1-

154

(11.6)

11 . Obliczanie płyt

Maksymalne wartości naprę.żeń w płycie poddanej czystemu zginaniu wystę­ pują w skrajnych (przypowierzchniowych) włóknach płyty i zgodnie z przyjętymi

oznaczeniami wynoszą ( 11. 7)

11.l.2. Walcowe zginanie płyt W przypadku

szcz.egółnym zginania płyt,

gdy warstwa

obojętna tworzy

powierzchnię walcową (tzw. walcowe zgięcie płyt), można stosować wzory takie same jak dla odpowiednich belek zginanych, z tą różnicą, U. zamiast sztywności EJ belki nalefy wstawić sztywność płytową B, tj. sztywność beleczki o szerokości I mm i wysokości h, wyciętej z płyty dwoma przekrojami prostopadłymi do osi y (według rys. 1 l .3a). Tak na przykład dla płyty prostokątnej o szerokości a, długości b i grubości h , podpartej swobodnie wzdłuż dłuższych boków (rys. 11.5) i poddanej działaniu obciążenia ciągłego q, rozłożonego równomiernie na całej powierzchni płyty (Ył)'Tlliar obciążenia q : N/rnm 2) , wwry do obliczenia naprężeń i odkształceń są identyczne jak dla belki o długości a, podpartej na końcach i poddanej działaniu obciążenia q, rozłożonego równomiernie na całej długości belki (tutaj wymiar obciążenia q : N/mrn). Wykorzystując wzory dla belki odpowiadającej rys. 1 l .5a (por. [18], str. 2 13) dla płyty przedstawionej w dwóch rzutach na rys. 11.5,

otrzymuje się następujące W)TI.iki: a)

b)

fi

e

E

Ry1. 11.5

155

l. Obliczenia

-

wytrzymałościowe w

strzałka ugięcia

-

(tj. maksymalne

5 qa4 - 5 384 32

B-

f -

przypadku

obciąterl stałych

ugięcie

wmiut)

qa4(1 - v2) Eh 3

- kąt nachylenia stycznej na podporach

a'

qa3(1-

v2)

{} = _q_:::: -~-~

248 2Eh 3 Naprężenia maksymalne od zginania w kierunku osi x 1

8qa

a max

2

3 qa2 =a = - - = - - · X _!_h2 4 h2 6

Naprężenia

te występują w skrajnych (przypowierzchniowych) punktach płyty.

Ponieważ odkształcenia względne są

c w kierunku osi y przy

zgięciu

walcowym

równe zeru, przeto zgodnie ze wzorem (2.4)

c„=

~(o-„ - vumax) = O

stąd

(11.8)

O),= VO'mu;

W punktach przypowierzchniowych płyty powstaje więc dwukierunkowy stan naprężeń rozciągających w warstwie dolnej i ściskających przy górnej powierzchni płyty (według

rys. 11.5), przy czym nie

uwzględniamy

tu

wpływu naprężeń

dociskowych q, działających na górnej powierzchni płyty, jako małych w porównaniu z naprężeniami a„ i oy. Maksymalne naprężenia zredukowane występują więc w dolnych i górnych punktach przy powierzchniach płyty w przekroju określonym współrzędną x = a/2 (według rys. 11.5) i według hipotezy Hubera wynoszą [wzór (2.46)] 1

a,a1 = -2 [(a-„-aY)2 +a; +a;J = ![(a„ -va,:)2 +(va-.. )1 +a;} =(1 l.9) 2 =a

:fe

.JI + v2 -

v

Dla materiałów o liczbie Poissona v = 0,3 (np. stal) naprężenia zredukowane wynoszą wówczas O'r~

= 0,8890'.x = 0,889<7m&X

(l l .9a)

W podobny sposób jak dla płyty przedstawi~ na rys. 11.5 można obliczyć napręt.e­

nia i odkształcenia dowolnych płyt poddanych walcowemu zginaniu, wykorzystując wz.ory otrzymane dla odpowiednich belek i podstawiając sztywność płytową B. 156

Il . Oblicznnie płyt

11.2.3. Preykłady zginania cienkich

płyt prostokątnych

Podstawowe przypadki zginania cienkich płyt prostokątnych podano w tabl. I 1.2. Na szkicach umieszczonych w tabl. l l.2 podparcia swobodne krawędzi płyt wwidoku z góry zaznacwno linią przerywaną, podobnie jak to podano poprzednio

na rys. l l.5b. Płyty prostokątne

o długości b znacznie

większej

od

szerokości

a

można

obli-

czać jak płyty nieskończenie długie, dla których zachodzi zginanie walcowe (por. p. 11.2.2). Gdy b ~ Ja, w obliczeniu naprcrżeń błąd jest wówcz.as mniejszy niż 5%, w obliczeniach :zaś ugięć błąd jest mniejszy niż 6% i maleje szybko w miarę wzrostu stosunku bla.

Tablica 11.2. Wwry dotyQ4ce cienkich płyt proltokJttnycb Omaczenia: a - szerokość płyty, b - długość płyty, przy czym b ~a; h - grubość płyty~ f - strzałka ugięcia płyty; a_. - naprężenie maksymalne wzdłuż osi x (rys. 11.4 ); O"y - naprężenie

maksymalne wzdłuż osi y, B -

3

(h

12 1 -

Schemat płyty

Lp l

sztywność płytowa B =

v2

) ;

v - liczba Poissona.

Wzory obliczeniowe

Obciążenie q MPa rozłotooe równomiernie na całej powierzchni płyty, wszystkie brzegi podparte. Ponieważ naroza płyty mają tendencję do podnoS?.enia się w górę, brzegi płyty w tych miejscach są dociskane do podpór

juuirfuij r. !I~

rI

q

-- 7--

j

w środku płyty, dla v= 0,3 (por. poz. 10)

~

1

0,15qa h 1

a l

" - 1i 2 (a 2

I

+ l,6lh2 ) '

I I

I I

I I I

I I I I

I

I

I I

e7 = -
y

2

3

2

3

qa {0,225b +0,382b a - 0,320a ) h2b3 •

I I

I

I

I

I

I I

4

0,1422qa b 3

I

I

' - - - - - - - _ _ _ _ _ .J

a

.X

I=

3

3

Eh {b +2,2la 3 }

157

I. Obliczenia wytrzymalosciowe w pnypadkw

obciążeń 3tałych

Tablica 11.l (cd.)

Schemat płyty

Lp.

2

Wzory oblicreruowe

Płyta kwadratowa (a== b)~

w środku płyty

obciąż.ecie

i warunki brzegowe jak wyżej

_ 0,0487qa4 (1-v2). f gdy rogi płyty nie dla v = 0,3: r

I

I

-1

I



Eh3

,

są dociśnięte (unoszą się

w środku płyty

''I I

I I

I

I I I

I

I

Cl

I

f

I I I

I I I

= 0,0443ąa Eh

I

I

4

3

L,. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ..1

a

w rogach

płyty, wzdłuż pr.rekątnych

u...,.'"'

3

0,277Sqo

hi

Obciąicnie równomierne

q MPa na całej powierzchni płyty; jeden dłuższy bok

utwierdzony, drugi swobodny; boki krótM.e

swobodnie podparte

dla

y.:o

0,3:

w środku boku utwierdzonego

w

środku

swobodnego boku 0,75qh 2a

a

158

4

2

do góry),

ll. Obliczanie płyt T1blic111.2 (cd.)

Lp. 4

W;roty obliczeniowe

Schemat płyty Obciqżenie

ró'Mlomierne

q MPa na całCJ powierzchni płyty, jeden dłuższy

bok utwierdl.Ony, pozostałe trzy boki podparte

dla

V"'

0 ,3 umal< = u~

qaz

qa• ' =k1 Eh3'

= k1 7 , I

ą

X

------r--1

wartości współczynników k 1 i

k2 podano w poniższej

tabelce:

II

..q

I

' I l

--- ------..Jt' •

I

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4 ,0

ki

0,50

0,67

0,73

0,74

0,15

0,15

0,75

k2

0,030 0,046 0,054 0,056 0,058 0,058 0.058

bla

a- -

s

Ołx:iążenic

równomierne

dla v= 0,3

q MPa na całej powierzchni płyty, jeden krótszy bok

qaz

utwierdzony, pozostałe trzy

- a-

-=ki-;;r-·

O'"""

I "' k2 ~ Eh3 ;

boki podparte

wartości współ~w k1

,..-------

~

I

I

I I I I

'


I I I

i kz podano w poniższej

tabelce: I I

_)

~9

I

I t I I I

I I I

bla

l

1,.5

2,0

2,5

3,0

3,S

4,0

0,61

0,73

0 ,74

0,75

0,75

0,75

k1

0,50

kz

0,030 0,071 0,101 0,122 0,132 0 ,137 0,139

~

6

Obciążenie róv.nomieme

q MPa na całej powierzchni płyty, jeden krótszy bok

dla

V=

0,3

I

I I

I

I I

I

I

9h I I

I

I

-a-

I _________J L

"'"·-,;i- · f

= k2 Eh3 ;

i lc2 podano w poniższej

tabelce:

I I I I I I

0'11111C

wartości współczynników k1

I

I I

ąb•

qb2

swobodny, pozostałe uzy boki podparte


bla

I

1,5

2,0

ki

0,67

0,45

0,36

k1

0,140

0,106

0 ,080

159

!. Obliczenia

wytrzymałościowe w przypadku obciążeń stałych

Tablica 11.2 (cd.)

Lp. 1

Schemat płyty

Wzory obhcz.en.iowe

Obciążenie równomierne q MPa na całej powienchni płyty, wszystJcie brzegi utwierdzone (utwierdzenie prLesuwne, bez sił rol.Ciqgających płytę)

dla v:: 0,3: w środku płyty

w środku dłutszego boku, na brzegu płyty

-a8

Siła P przyłożona w środku płyty, obciążająca

równomiernie ohSUII' płyty o małym promieniu c;

wszystkie bncgi płyty

w

środku płyty

podparte

[ a u..,. = CT„ = -3Pav - 1- In(1 + v) + 21'h

2cv

2

1 ( 0,914a )] +2 2 +0,4 • V a +1,6b

r------------

:I

~

I I

\

l I I

p

.18ł„2c

:

l I

:

L.-----------..J' (

--- -a--160

0,203Po1b4 (t -

I


f

= Eh 3(b 4

v2) +0,462a~)

11. Obliczanie płyt JabUai 11.:Z (cd..)

Lp.

9

Wmry obliczeniowe

Schemat płyty Siła P N przyłożona w środku płyty, otciążająca

mwnomier-

nic
~

_

Pa2(l- v2)

f -P

Elt3

gdzie współczynnik p wynosi bla

p

-a10

,

Obciążenie q

<

0,0624

2

4

0,0816

0,072

'

MPa rozłożone

równomiernie na C!lłej

powierzchni płyty, wszystkie brzegi podparte, naroża dociskane do podpór, by się nie odchylały do góry (por.

w środku płyty

ąa 4 t2qa'(t-v) J-k,B =k1 Eh3 ' <7„ =

poz. I)

k1

qal ·6 --,;r-,

M„.,_ = k2qa

2

,

qal·6

<7„

=1'3--;;'2' • M„ nx -lc3qa2,

wartOOci ~Cl)11Ilik6w ki. k2 i /c3 podano w ponitsl.tj tabelce:

rnnnnrr ~i ~~

~~

f

a

r

----- ,

I I

q~

I

I I

I t I I

L. - -- - - - - - - -

a

J

k1

k1

k3

1,0 1, 1 ] ,2 1,3

0,00406 0,00485 0,00564 0,00638 0,00705 0,00702 0,00830 0,00883 0,00931 0,00974 0,01013 0,01223 0,01282 0,01297 0,01302

0,0479 0,0554 0,0627 0,0694 0,0755 0,0812 0,0862 0,0908 0,0948 0,0985 0,1017 0,1189 0,1235 0,\246 0,1250

0,0479 0,0493 0,0501 0,0503 0,0502 0,0498 0,0492 0,0486 0,0479 0,0471 0,0464 0,0406 0,0384 0,0375 0,0375

1,4

I

I I I

bla

.o

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 5,0 ao

161

I. Ohiiczenia wytrzyrnaloJciowe w pnypadkw obciązeń Tablłca

11.2 (cd.) Schemat płyty

Lp. 11

stałych

Wzory obliczeniowe

Obc1ążerue zmieniają«: się

w środku płyty, gdy b ~a

w .kształcie pryzmatu trójkątnego o wartości maksymalnej q MPa. wszystkie brzegi podparte, gdyb>a

qa•

f=k,B=k, qa2·6

u„ = k 2 ~,

12qa•(1-

v2)

Eh3

,

M„a.,J< = k 2qa

2

,

qa2 ·6

u, = k1 -,;r-, M 1 ,__ = k3ąa 2 ; wartości współczynników k1 , k1 oraz

k3 podano w poniższej

tabelce:

r---- I

I I

q

-----1

. 1.

I I I

I

ł

l

I

.

1

I

I

I

.q

I 1

r

bla

k1

k2

k3

1,0 1,1 1,2

0,00263 0,00314 0,00364

0,0340 0,0390 0,0436

l,3

0,00411 0,00455

0,0479

0,00496 0,00533

0,0554 0,0586

O,o317 0,0326 0,0330 0,0332 0,0331 0,0329 0,0325

0,00567

0,0615

0,0321

0,00597 0,00625 0,00649 0,00783 0,00833

0,0641 0,0664 0,0685 0,0794 0,0833

0,0316 0,0311

1,4 1,S 1,6

1,7 1,8 1,9

I L----_____ ....J:

14---a---i b>a

2,0 3,0

oo

12

0,0Sł8

0,0306 0,0270 0,0250

Obciążenie zmieniające się

w kształcie pryzmatu trójkątnego o wartości maksymalnej q MPa. wszystkie brzegi podparte

w środku płyty, gdy b s; a,

f

qh•

12qh~(1- v 2)

= lc40= "•

Eh3

qb2 ·6

' 2

a"= k,~, M",_ = k,ąh , r--- - I I I I

-----, .

: I

r

L_ ___ I. ___ Jł q. h1'a

162

-Q

1 I. Obliczanie płyt

Tablka 11.2 (cd.) Schemat płyty

Lp.

Wzory obliczeniowe

12 cd.

wartości współczynników /c4,

ks oraz k,, podano w

poniższej

tabelce:

alb

/c4

k5

~

1,0

0,00263 0,00316 0,00367 0,00418 0,00464 0.00508 0,00549 0,00588 0,00624 0,00656 0,00686 0,00868 0,01302

0,0340 0,0356 0,0368 0,0376 0,0382 0,0386 0,0388 0,0390 0,0391 0,0392 0,0392 0,0387 0,0375

0,Q317 0,0369 0,0418 0,0464 0,0508 0,0548 0,0585 0,0609 0,0651 0,0681 0,0707 0,0922 0,1250

1.1 1.2 1,3 1,4

l,5 l,6

1.7 1.8 1,9 2,0 3,0 QO

11.3. Zginanie płyt grubych W przypadku płyt grubych, w których grubość h płyty nie jest mała w porów· naniu z wymiarami a i b (h > a/5 , por. rys. l l. l i 11.3), dla kilku rozwiązanych przypadków strz.ałka ugięcia fi jest większ.a od strzałki ugięcia takiej samej płyty

cienkiej . Tak

poddanej

więc

pł)1y grubej

gdz.ie f

-

dla

pełnej płyty okrągłej

działaniu

równomiernie

utwierdzonej przesuwnie na obwodzie,

rozłożonego obciążenia

q,

strzałka ugięcia

fi

wynosi [29}

strzałka ugięcia

takiej samej płyty cienkiej, podana w tabl. l 1.1 (poz.7).

Gdy ta sarna płyta gruba utwierdzona jest na obwodzie nieprzesuwnie, co powoduje powstawanie sił rozciągających, strzałka ugięcia wynosi

przy czym f dotyczy

płyty

cienkiej przedstawionej w tabl. 11. l (poz. 7).

163

/. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciąten .Ytalych

o szerokości a i długości b, gdy b ~a, poddanej równomiernie rozłożonego na całej powierzchni płyty obciążenia q MPa, podpartej na całym obwodzie, strz.ałka ugięcia fi płyty grubej jest nastwującą funkcją strz.ałki f takiej samej płyty cienkiej, przedstawionej w tabl. 11.2 (poz. I) Dla

płyty prostokątnej

działaniu

(11.1 O) przy czym wartość współczynnika k1 należy odczytać z tabl. 11.3. Tablica 11.3. Wartości

1npółczynnlka ł1

we wwrze (l l.10)

bla

l,0

1.2

1,4

1,6

1,8

2

3

4

s

oo

k1

J,18

0,98

0,87

0,80

0,75

0,72

0,64

0,62

0,61

0,61

11.4.

Stateczność płyt

cienkich

Utrata stateczności płyt może powstać wówczas, gdy siły obciążające działają w płaszczyźnie płyty. Tego rodzaju obciążenie płyt bywa zwane obciążeniem tarczowym, płyty z.aś tak obciążone - tarczami. Przykład

1. Schemat płyty: Płyta swobodnie podparta, ściskana równomiernie rozłożoną siłą, której wartość na jednostkę długości brzegu wynosi N (rys. 11.6). ó

Rys. 11.6

Wzory obliczeniowe: Krytyczna wartość siły, przy której następuje wyboczenie x2 B Nu ==k17=k1

164

7t2 Eh3

12(1-v2)a2

(11.ll)

11. Obliczanie płyt

~

czemu odpowiada naprężenie ściskające (rys. 11.6)

I

I

(l 1.1 la)

Wartość współczynnika

k1 w

powyższych

wzorach podano w tabl. 11.4. W tablicy tej podano również wartości napręż.eń krytycmych dla stali (E = 2, l · l 05 MPa, v = 0,3) dla stosunku alh = I OO (według [3 7]).

TabUca 11.4. Wartoicl w1pólc:zynnłka ł1 we wzorach (11.ll) oraz ltalowycb o stosunku 11111"' 100


MPa dla

płyt

bla

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

ki

27,0

13,2

8.41

6,25

5,14

4.53 86,5

4,20 79,9

4,04 77,3

4,00 75,8

4,04 77,3

4,l3

4,28 81,6

4,47 85,0

ar. 514,0 251.5 160,4 118,8 97,7

~

I f

l ~

i ~

78,7

Przykład 2. Schemat płyty: Jeden bok płyty dla x =O swobodnie podparty, drugi dla x =a zupełnie swobodny, gdy przy vvybocz.eniu płyty tworzy się jedna półfała (rys. 11. 7). Taicie warunki brzegowe są realizowane np. w przypadku kątow­ nika ściskanego równomiernie rozłoi.onymi siłami o natężeniu N niutonów na :r;~ ~aru a płyty. Jedna półfała tworzy się, gdy kątownik jest krótki:

2

Wzory obliczeniowe: Przy wyboczeniu wspólna krawędź AB obu półek kątownika pozostaje prosta, wówczas

~

~,

2

N

~

2

n Eh 3 - k n B - k 1 -.------.,--

kr -

(11.12)

•7- 12(1-v )a 2 2

!

I

czemu odpowiada naprężenie ściskające (rys. 11 .7)

i

(l l.12a)

!

ł~

gdzie wartość współczynnika k, należy odczytać z tabl. 11.5.

X

J1bUc• 11.~. Wutoid w1pólczynnłka k 1 we wzorach (11.12)

bla

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

l,O

k1

4.4

3,7

3,0

2,35

1,70

1,44

1,2

1,4

1,6

l,8

2,0

1,135 0,952 0,835 0,755 0,698

2,2 0,66

165

i. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciąteń stałych

U w aga: Kątownik.i o większej długości ulegają wyboczeniu tak jak zwykłe tj . zgięciu względem osi obojętnej, dla której moment bezwładności całego przekroju osiąga minimum (por. rozdz. 3).

pręty,

Rys. 11.8

Rys. ll.7 Przykład

3. Schemat płyty: Płyta swobodnie podparta na brzegach, poddana na wszystkich krawędziach działaniu napręi.eń stycmych r(rys. l 1.8). Wzory obliczeniowe: Krytycma wartość naprężeń, przy których nastę­

puje wybrzuszenie płyty (zaznaczone warstwicami na rys. 11.8), wynosi

~kr= k1 gdzie

7t2 B

a2h

7t2 Ehz

(11.13)

= k1 12(1- v2)a2

wartości współczynnika k 1 należy odczytać

z tabl. 11.6.

Tablica ll.6. Wartoici wspólczynnika k1 we wzoru (11.13) bfa

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,S

3

4

co

k1

9,34

8,0

7,3

7,0

6,8

6,6

6,1

5,9

5,7

5,35

Przykład

4. S ehe mat płyty: Płyta kolista ściskana w swej płaszczyźnie równomiernie rozłożonymi na obwodzie siłami o na~żeniu N (N/rrun) (rys. 11.9). Wzory obliczeniowe: Wyboczenie płyty następuje przy sile Nb = 14,688

a 166

2

=

l,22Eh

3

(1-v )a 2

2

(1 l.l 4)

11 . Oblic:umie płyt

czemu odpowiadają naprężenia ściskające crc

= N1u = 1,222E ( h) h

(1- v 2 )

2

(I l.14a)

a

N

Rys. 11.9

---'/>2a--. ,,

N

Rys. 11.10

Przykład

f

~~ ~ ·>

5. Schemat p I y ty: Płyta kolista, brzegi swobodnie podparte, ściskana silami N (N/mm) rozłożonymi równomiernie na obwodzie (rys. 11 . lO). Wzory obi iczeniowe: Wyboczenie płyty następuje przy sile

(11.15)

"~ '

I f

l

~

"

~

czemu odpowiadają naprężenia ściskające o-b

= Nv = 0.35&E (!!_) h

(1-v

2

)

2

(l l. l 5a)

a

~

" hme przypadki warunków brzegowych i dotyczącej stateczności płyt

obciążeń można znaleźć

w literaturze

[35].

Dla elementów pełnościennych (pasów) ustrojów nośnych dźwignic (belek podtorowych, słupów itp.) - uproszczona metoda przeprowadzania obliczeń miejscowej utraty statecmości podana jest w normie [38].

12. Obliczanie rur i zbiorników 12.1. Obliczanie rur cienkościennych lub

powłok walcowych

12.1.1. Osiowosymetryczne zginanie rur cienkościennych Przy zginaniu rur (oraz powłok walcowych) dowolny pasek wycięty z rury dwoma pr.zckrojami zawierającymi oś rury (rys. 12.1) zachowuje się podobnie jak analogiczny pasek wycięty z płyty (por. rys. 11 . l). Powierzchnia środkowa, która w przypadku płyty utworzona była przez punkty równo oddalone od obu powierzchni zewnętrmych płyty, w przypadku rury ma kształt powierzchni walcowej (w stanie nieodkształconym rury) o promieniu średnim r. Powierzchnia ta, zwana pnwierzchnią frednią rory, jest zbiorem punktów równo oddalonych od Powierzchni zewnętrznej i wewnętrznej rury. Jeżeli grubość rury oznaczymy literą h, to dla rur cienkościennych (gdy hlr s; 1/5) sztywność zginania B beleczki wyciętej z rury w ten sposób, by szerokość tej beleczki mierzona wzdłuż obwodu średniego była ró\.\na jedności (1 mrn), wynosi

Eh 3 ..,.. B - -.,....__

- 12(1- v

2

(12.1)

)

Tak określona sztywność zwana jest sztywnośctą zginania rury, a postać wzoru (12.1) jest identyczna z postacią wzoru (11.2), określającego sztywność zginania płyt.

Rys. 12.1

168

J1. Obliczanie rur i zbiorników Oddziaływanie sąsiednich elementów rury na beleczkę wyciętą w omówiony wyżej sposób sprowadz.a się do sił oddziaływania podłoża sprężystego o stałej k określonej wzorem (por. rozdz. 9)

Eh k= r2

(12.2)

Zagadnienia związ.ane z analizą stanu naprężeń i odkształceń rury cienkościennej poddanej zginaniu osiowosymctrycmemu sprowa.dz.ają się więc do badania belki na sprężystym podłożu o stałej k [w.zór (12.2)] i sztywności belki określonej wzorem (12.1).

rury,

Jeżeli

przemieszcz.enie promieniowe punktu powierzchni środkowej x, omaczymy w (jak to podano na rys. 12.2 dla

określonego współrzędną

w

TT ·-----·- ·- ·Jj

Ry1. 12.2

rury obciążonej równomiernie rozlożonymi siłami P0 , końcowego

przekroju

rury), to

naprężenia

działającymi w płaszczyźnie

maksymalne od zginania,

powstające

w przypowierzchniowych punktach rury, wyrażą się wzorami:

- w kierunku wzdłużnym (wzdłuż tworzącej rury) 6M„ h2

CT= -

"

(12.3)

-w kierunku obwodowym (prostopadle do płaszczymy xw)

Ew Ew 6M =-+vcr =-+v--" 2 " r " r h

CT

(12.4)

Przemicsz.cz.enie w dowolnego punktu przekroju rury, określonego współrzędną x, ujęte jest równaniem analogicznym do równania dla belek na sprężystym podłożu [równanie (9.4)}

w= cPx(Asinpx + Bcospx)+e-lh(Csinpx + Dcos/Jx) w

(12.5)

którym stałe całkowania A, B, C oraz D wyznacz.amy z warunków brzegowych

w sposób omówiony w rozdz. 9 (por. [18], str. 278), współczynnik

P zaś jest

określony wzorem

169

I. Obliczenia wytrzymało~ciowe w przypadku obcią.teń stałych

( 12.6)

Podobnie jak w przypadku belek na sprężystym podłożu, rurę można traktować jako nieskończenie długą, gdy speffiiony jest warunek fil~ 5, co dla rur - po uwzględnieniu z.ależności (12 .6) - wyrazi się związkiem

Przy spełnieniu tego warunku pierwsze dwie stałe całkowania w równaniu (12.5) są równe zeru (A= B =O) i wówczas V\']>ływ warunków brzegowych istniejących na jednym brzegu na rozkład naprężeń i odkształc.eń istniejących na drugim brzegu rury można pominąć. Wzory do obliczania naprężeń i odkształceń dla kilku przypadków kołowosy­ metrycznego zginania rur podano w tabl. 12.1 . W tablicy tej zamieszcz.ono wzory dla rur długich, dla których Pl~ 5 lub inaczej - I:?: 3,9Jri;; w praktyce traktuje

się często rurę jako długą. gdy spehtiony jest warunek Pl~ 3-./fh, popebtiając błąd nie większy niż 5% . Wartości funkcji trygonometrycznych i potęgowych występujących w równaniu (12.5) oraz we wzorach podanych w tabl. 12. l można odczytać

z tabl. 9.1.

12.1.2. Naprężenia w rurach cienkościennych lub powłokach walcowych poddanych działaniu ciśnienia wewnętrznego lub zewnętrznego Pod wpływem ciśnienia wewnętrznego lub zewnętrznego powstają w rurach obwodowe, które wyrażają się wzorem

cienkościennych naprężenia CT I

= pr =pd h

(12.7)

2h

przy czym przyjmuje się, że naprężenia te mają jednakową wartość na całej grurury, gdy hlr ::5: 1/5. Jeżeli rura zamknięta jest dnami (przeponami, zaślep­ kami), to w cz.ęści walcowej powstają dodatkowo naprężenia wzdłużne, których wartość w miejscach dostatecznie odległych od den wynosi bości

a _ pr _ pd _ 1 a 2 - 2h - 4h I

-2

170

(12.8)

12. Obliczanie rur i zbiorników Naprężenia zredukowane według

u,cd =

~[(u1 -

0"2)2

+(u2 -

hipotezy Hubera wyrażą się wzorem CT3)2

(12.9)

+(u3 -u1)21=0,866u1

przy czym przyjęto, re naprężenie a 3 równe ciśnieniu

p jest

małe

w porównaniu

z naprężeniem a, . Tablica l:Z.l. W20ry obliczeniowe dla kilku przypadków denkoiciennych lub powłok walcowych

kołowo1yinetrycznych

zginania n1r

Oznacz.enia: h - grubość rury, r - średni promień rury, v- liczba Poissona, E - moduł Younga, w - ugięcie warstwy środkowej rury odpowiadające współrzędnej .r, / - stmillca ugięcia, B- kąt nachylenia stycznej do tworzącej dla x ~ O, o-, - na.prężenie maksymalne wzdłUż twonącej (równolegle do osi x), oy - naprężenie maksymalne obwodowe, Q, - siła poprzeczna (promieniowa) przypadająca na 1 mm obwodu średniego rury, M, - moment gnący przypadający na l mm obwodu średniego w przekroju rury określonym współnędnąx.

Wzory obliczeniowe

Schemat obciątenia

Lp. Siły

Qo N/mm równomiernie

rozłożone w płaszczyżnie końcowego

przekroju rury

naprężenie wzdłużne

5M,

O'Jt

= --,;'1''

O'zmu

=

1,932Qo ph2

·

na brzegu (.r "' O)

171

l. Ob/ic%enia

wytrzym(.lfo.łciowe w

prrypadkw obciążeń

stałych

Tablica 12.1 (cd.) Lp.

ScheJnatobciążenia

2

Momenty Mo (N·mmlnun) rozłoto­ ne równomiernie na całym obwo-

dzie w przekroju końcowym rury (preypadające na I rrun obwodu

Wmry obliczeniowe

f

=

2~°pi ,

w=

2~fr c;-.OZ(sin/łx -cos/Jx ), O= Mo

średniego)

BP'

M„ = M 0e-t<(cos{Jx + sin,Bx),

Q"'"" == 0,644f3M0

(dla x = 4~);

naprężenia na brzegu (x =O)

(T I

3

W płaszczyżnie poprzecznej rury równomiernie rozłożone siły promieniowe o natężeniu Qo N/mm (przypadającym na I mm obwodu

"'6Mo h2 '

"'6Mo )' „2

(T

3

2

+Y)

p„ G (ugięcie w dla x"' 0), 1

/ = -

2Eh

w= -

średniego)

SB°;r e__...(sinpx +cosPx), M

a„ -

dlax- O

172

[Jl-Y

.-.

=

Qo

4p'

X{p c-lz(cosPx - sin,8.x), 0

2h

12. Obliczanie rur i zbiorników Tablica 12.l (cd.)

Lp.

Schemat obciążenia

4

Rura poddana działaniu ciśnienia wewnętrznego (lub zewnętnnego) p MPa; brzeg nuy utwierdzony w nieodkształcalnej płycie

Wzory obliczeniowe

f

pr2 =Eh

(odkształcenie promieniowe

prh

M _

naprężenie

p

2J3(1- v2) = 2/f ,

o-

l

rury dla Pl > 5),

maksymalne a. dla x = O

6M0

3pr

u,,.,,. =7= 2h~3(1-v2 )'

(~

Na{tJlttIIlą:pIIIT11 p

S

Cylinder z pierścieniem wzmacniającym o pnelrroj u F= b(h + h1). poddany działaniu ciśnienia wewnętmlego (lub zewnętrznego) p lv1Pa

na powierzchni wewnętrznej dla x = O

_ O'r -

_

o,._ -

O'y

J

3prtJ(F-bh1)

lz~3(1-v2)(F/1+2Jr) , l!.1 =-;:+ YO'x,

p„2 Pb +2 = E F/J+21t);

w pierścieniu


_ pr(Pó+2)

,,.,,. - E(Fp+2h)'

173

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciąteń slałych Tablica 12.1 (cd.) Lp.

6

Schemat obciążenia

Wzory obliczeniowe

Pierścień nałożony na gorąco

2Ee

na

Qo= --.=====----==~~---==~= 2

rurę~ średnica wewnętrzna pierścienia

przed ogrzaniem jest o wymiar 2e mniejsza

hr

4

(

3 l-

V

l)( h r )

rr+!(h+h1)]

l

l

2

+ -=----blJi----='-

w rurze

M =M o

1...

.J

(]"

mu

= Qo

6 p 3Qo h 2 4/J - 2h2

4 /3

r2h1

- - -- -4

max -

.r = Qor

11

4

2Eh



3(1 -

3(1- v)(!:.) h

111 )

2 .

'

w pierścieniu

7

Rura równomiernie nagrzana wewnątrz do temperatury t„, gdy temperatura waistwy zewnętrznej

naprężenie mak~e

u _ Ea(t„ - tz) )' - 2(1 - 11)

rury W)
a-

współczynnik rozszerzalności

liniowej (tabl. 19.1

i 19.2)

W przypadku rury lub powłoki walcowej, poddanej działaniu równomiernie na powierzclmi walcowej zewnętrznej ciśnienia radialnego p, może nastąpić utrata stateczności (wyboczenie) powłoki lub płaszcza rury. W zależności od długości rury (powłoki) oraz od stosunku grubości do promienia (h/r), pod wpływem ciśnienia zewnętrznego tworzą się na powierzchni rury fale, przy czym liczba tych fał powstających na powierzchni wyboczenia wzrasta, gdy długość rozłożonego

i

grubość powłoki maleją.

174

l ). ObliL'zanie rur i zbiomików

Odpowiednie wzory dotyczące obliczeń fal i naprężenia krytycznego można literaturze (351. W przypadku stalowych powłok walcowych wartość ciśnienia krytycznego fJkr łub grubość ścianki h można wyznaczyć posługując się rys. 12.3, sporządzonym dla modułu Younga E = 2, (. [0 5 MPa oraz v =0,3. Ponieważ sposób podparcia bu.egu nie wywiera większego wpływu na wartość ciśnienia krytycmego, z wykresu 12.3 można korzystać dla dowolnych warunków istniejących na brzegach powłoki walcowej . Jeżeli powłoka ma na swej długości pierścienie usztywniające, jako długość J powłoki przy korzystaniu z wykresu 12.3 można przyjąć odległość między pierśznaleźć w

h

150

"'\

100

' ,,

....,..,...., °"i\

..........

70

-.... ........

-- - -



-... ~'

....... I\.

15

10

,___

........

\

7

~~ 0,15 0,2

5

-...,

'\.

~....... \

~

\

"o-

' \ oa !faf~ F\

~

lt

V'

f\,

0,3 0,4

'\

\

"

0,032-

I

\..._ \

0,030

0,028

1"'-

~

I 0,024

\ \. I\ '

\.

[\

0,026

\.

l

\.

\r\\ \ ~ I\ \ o-~ ~q. Po

~-~ ~~ \ ' (:!'

\

0,022

~

'

\

,,\

\

~

I\\\\'""\

\

\

\ ~

\

\

\

\.

\

'- I\ l ' \ I\ \ I\ ' ' ~ \ \ \ \

' 0,8 1,0

\.

....

I\ \~f.~ ~ \~ ~~ \\ i\.. "' ~

\a
0.035

",\ ~ \ '

r\..

!"\

I

....

I'\

oo

~,

~ \ 0,6

""

r-.....

......

........ ......... .........

....... !'.

....... I\

""'r'-..

-

20

I

y:- =0,040

- .

\

'\ 1,5

\

\

\.

~

~

r'\

2

3



[\r'\ i\ I\ r\ 5

6 7 8'10

odstljp mit1dt!J pier~cieniami usrtywniajqcymi I ~re
~

15

20

J...)

\ 2r

Ry,. Jl.J

175

I. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciąteń

stałych

cieniami usztywniającymi, pod warunkiem, że sztywność zginania tych pierścieni jest tak duża, aby one same mogły przenieść obciążenie radialne całej powłoki, nie ulegając wyboczeniu. Wyboczenie pierścienia kolistego pod wpływem równomiernie rozłożonego promieniowego obciążenia q, przypadającego na jednostkę długości obwodu linii średniej pierścienia (utworzonej przez środki ciężkości przekrojów poprzecmych pierścienia), następuje przy krytycznej wartości obciążenia qkr, określonej wzorem ([35], str. 269)

3EI

qu=7

(12.10)

gdzie J - moment bezwładności przekroju poprzecznego pierścienia względem osi obojętnej przy zginaniu, prostopadłej do płaszczyzny pierścienia. Pod y,.']>ływem ciśnienia krytycznego qkr, określonego wzorem (12. 10), przekroje poprzeczne pierścienia ulegają spłaszczeniu zaznaczonemu na rys. 12.4 linią przerywaną.

Rys. 12.4

Wzór (12.10) można stosować nie tylko do pierścieni, lecz róvmież do obliczania ciśnienia krytycznego /1kr długich rur kołowych, traktując rurę jako zbiór pierścieni o szerokości I mm (wówczas J= l-h3/12) i zachowując prostokątny kształt przekroju poprzecznego przy zginaniu [wówczas moduł Younga E we wzorze (12.10) należy zastąpić wyrażeniem El(l-v2)). Ciśnienie krytyczne, przy którym długa rura kolista ulega wyboczeniu przeja·wiającemu się spłaszcze­ niem rury, jest określone wzorem (12.11)

176

I i. Obliczanie rur i zbiorników

12.1.3. Wyboczenie rur lub powłok walcowych poddanych równomiernemu ściskaniu osiowemu Przy równomiernym osiowym ściskaniu rur lub powłok walcowych w z.ależ­ ności od grubości powłok h, promienia średniego r i długości l powstają różne

postacie wyboczenia. 1. Gdy powłoka (rura) jest długa, a grubość h ścianki mała, powierzchnia rury ulega pofalowaniu i naprężenie krytyczne w ściskanej rurze przybiera najniższą wartość (przy wyboczeniu sprężystym), określoną wzorem ([35), str.421)

Eh

3

rrkr

(12.12)

=5 r~3(1-v2)

ulec wyboczeniu tak jak pręt ściskany osiowo, a wówczas przekroje poprzeczne pozostaną koliste, na długości l rury tworzy się jedna półfala i naprężenie kly1yczne wyraża się wzorem 2.

(]'

Długa

rura o

małej grubości może

1t2 Er2 --kr - 212

(12.13)

3. Jeżeli brzegi

powłoki ściskanej

w kierunku radialnym, może naprężeniach

osiowo

mogą się

wystąpić spłaszczenie

swobodnie

przemieszczać

przekrojów poprzecznych przy

krytycznych

3Eh [41 crkr = 10(1- v2),2 37+2(1-v) 2

2

]

(12.14)

4. W przypadku krótkich walców cienkościellllych, gdy spełniony jest warunek

2

r7t3

I

7>h"v3(1-v2) powierzchnia wyboczenia w kierunku osiowym ma tylko jedną półfalę (rys. 12.5) i naprężenie krytyczne wyraża się wzorem n2 Eh2 (J'

--~-~~

a -

12(1- v )1 2

2

(12.15)

5. Jeżeli naprężenia krytyczne obliczone z powyższych wzorów są większe od granicy plastyczności, co zachodzi w przypadku rur o większej grubości, wystę­ pują miejscowe odkształcenia plastyczne i na rurze tworzą się osiowosymetryczne fale przedstawione na rys. 12.6. Fale takie zaczynają powstawać przy napręże­ niach krytycznych 177

I. Obliczenta

wytrzymałościowe w

przypadku

obciążeń stałych

E1h O'kr

=

(12.16)

-r-v"3=(=1=_=v=2=)

W powyższym wzorze tzw. moduł styczny E, jest ró\lmy poch
No

---------- -- -'f;2r I

I I I ....., I I I

h

I

' h

!

I I

I !

I 1

o

I



I I

.I

~

Rys. 12.5

Ryli. 12.6

Rys. 12.7

12.2. Obliczanie naczyń i powłok cienkościennych W przypadku naczyń cienkościennych o kształcie powierzchni obrotowych, poddanych działaniu ciśnienia weMiętrznego p, naprężenia nonnalne (rozciąga­ jące)

w powłoce ujęte są zależnością ( 12. J7)

178

12. Obliczanie rur i zbiorników

gdzie: C1i - naprężenia normalne w przekrojach południkowych (w przekroju poprowadzonym w danym punkcie przez oś naczynia i południk), zwane napręte­ niami równoleżnikowymi; a 2 - naprężenia normalne w przekrojach prostopadłych do południka w rozpatrywanym punkcie, zwane napr~żeniami południkowymi; Pi - promień krzywizny równoleżnika powierzchni środkowej powłoki w danym punkcie; Pz. - promień krzywizny południka powierzchni środkowej powłoki w danym punkcie; p - nadciśnienie wewnętrzne; h - grubość powłoki . Dalszą zależność otrzymuje się z warunków równowagi powłoki przeciętej przekrojem równoleżnikowym. Wzory obliczeniowe dla prostszych kształtów powłok obrotowych pcxidanych działaniu różnych obciążeń podano w tabl. 12.2. Należy podkreślić, że zarówno wzór ( 12.17), jak i wszystkie zależności pcxiane w tabl. 12.2 dotyczą stanu błonowego, gdy nie występuje zginanie powłok, a więc dla miejsc dostatecznie oddalonych od brzegów. Wartości naprężeń maksymalnych z uwzględnieniem zginania dla kilku naczyń ciśnieniowych i zbiorników otwartych podano w tabl. 12.3 . Tablica ll.l. Wzory obliczeniowe dla zbiorników umględnienia zginania)

stanie

błonowym

(bez

obwodowe, ~ - naprę­ równoleznika, &z - wydluzenie względne południka, h - grubość powłoki, E - moduł Younga, v - liczba Poissona. Oznaczenia: p -

ci śnienie (wewnętrzne

cienkościennych w

lub

zewnętrzne), O\ - naprężenie

żenie wzdłulne (wzdłuz południka), &1 - wydłUżenie v.2g1ędne

Lp.

Kształt powłoki

Wzory obliczeniowe

Płaszcz walczaka

lub rura; (lub zewnętnne) p MPa ciśnienie wewnętrme

(j, -

I -

-

pd pr - 2h - h '

l (

& 2 =-E <72

<72 -

I

pd

-(j. -

2

I-

-

pr -

-

4Ji - 2h '

pd, (1 - 2v) ; -vu1) : 4Eh

powiększenie średnicy

powiększenie długości

pdl

111 = l&i = (l-2v) 4Eh

179

l . Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciąteń stałych

TabUca ll.2 (cd.)

2

Wzory obliczeniowe

Kształt powłoki

Lp.

Kula pod wpływem ciśnienia wewnętrznego (lub l.ewnętrznego) p MPa

u, = 0"1 =

O'

pd pr . 4h = 2h .

=

wydłuż.en.ie wz.ględne

powiększenie średnicy

pd ód=-(l4Eh

3

Powłoka stożkowa

-

ciśnienie

naprężenie

v)

obwodowe

wewnętrzne (lub zewnętrzne)

CT1

pMPa

pr

=~-;

Ir cosa

naprężenie wzdłUi tworzącej

(Tl=

pr I =-u,; 2hcosa 2

wydłużenie promienia r

11r = !:.... (u.1 E

4

Zbiornik stożkowy wypełniony cieczy

2

pr

Ehcosa

napt"ężenia obwodowe JUi wysokości y

(1_]_2 v)

od dna

_ y (t- y)ytga . hcosa '

cieczą do wysokości/, ciężar właściwy

~2 ) =

r

O'i -

naprężenia maksymalne ( dlay = ~1) 2

1 rtBa
na

wysokości y

od dna 0'2 •

yytga

2hcosa

(1 - ~y); 3

naprężenia maksymalne ( dlay = ~1)

180

J2. Obliczanie rur i zbiorników

Tablica 12.2 (cd.) Lp.

5

Kształt powłoki

Powłoka obrotowa WC\\'lłętrzne

-

ciśnienie

Wwry obliczeniowe

napnµ:enia obwodowe (wzdłuż równoleżnika)

(lub zewnętrzne)

= P"1

a,

pMPa

2h

I

(2 _

.2J . r2

'

naprężenia wzdłuż tworzącej (wzdłuż południka)

wydłużenie promieni.a r

l'lr:::: !..(u1 -voJ; E

ri - promień krzywizny południka w rozpatrywanym miejscu powłoki

6

Zbiornik walcowy z dnem w kształcie czaszy kulistej, wypełniony do wysokości a + I cieczą o ciężane właściwym y

naprężenia

w części walcowej (przy połączeniu z cz.aszą):

rlr obwodowe a 2 = h, wzdłużne

G 27trh '

q = -1

przy Cl}m G jest ciężarem cieczy ?.awartej w zbiorniku

G=

rx[1r

naprężenia w środku

2

+%(3r2 +a2

dna

_

_ r(l+a)ri .

0'1 - 0'2 -

2lri

siła rozcif:\8'ljąca, przypedająca na krawędzi

)j:

,

l mm obwodu

czaszy G S=---

2xrsin a

Powyższe wzory można stosować

wówczas, gdy

naprężenia rozciągająre w pierścieniu wzmacniającym

o polu F1 przekroju pop17.ec:mego nie przekraczają dopuszczalnych u= rS cosa = Gctga s; k F; 211:.F; r

181

I. Obliczenia wytrzymato~ciowe w przypadku obciąteri stałych

Tablica 12.3. Wzory obliczeniowe dla zbiorników clenkokłennycb z

uwzględnieniem

igin1ni1

Oznaczenia: p - ciśnienie (wewnętrzne lub zewnętrme), 01 - naprężenie ró'Mloleżnikowc, m naprężenie wzdłużne (południkowe), h - grubość powłoki, E - moduł Younga, v- liczba Poissona, B=

Eh

3

=4

12(1- v1 ) Lp.

'

p

Kształt

3(1 - v

2 )

r 2 h2

zbiornika

Wzory obliczeniowe

Zbiornik cylindryczny dnem półkulistym,

z.amknięty

poddany działaniu ciśnienia (lub ze'Mlętrznego) p MPa, gdy grubość dna i części cylindrycznej Jest jednakowa, wewnętrznego

(występuje

na ze\mętrznej powierzcłmi części walcowej w pm:kroju styku z dnem);

równah

dla v = 0,3 maksimum występuje, gdy Px = 1,85 i wynosi

2

Zbiornik jak wyżej, z tym ze dno ma kształt elipsoidy

obrotowej o stosunku osi air= 2

<...

.J elip.5Uida. obrafowa.

182

naprężenia

maksyma]ne w styku elipsoidy z walcem

części

walcowej w mieJ scu

1]. Obliczanie rur i zbiorników

Tablica 12.3 (cd.) Lp. 3

Kształt

Wzory obliczeniowe

zbiornika

Zbiornik jak w poz. 1, z tym że grubość dna kulistego wynosi hi, a części cylindrycznej hz

(l-c2 )[c(2-v) - (l - v))

prh1

Mo= 4J3(1-v2) (1-c2 ) 2 -2(1+c2J';)(l-cJ;) •

Q -2M p c2Fc + I O-

·1....

O I

Cl -

l

>

przy czym c = hilh1, a /31 dotyczy dna;

naprężenia maksymalne w dnie

.J

6M0


Naprężenia w powłoce walcowej można obliczyć ze wzorów podanych w tabl. 12.1 (poz. l i 2) oraz ze wzorów (12.7) i (12.8).

4

Zbiornik cylindryczny zamknięty dnem płaskim, poddany działaniu ciśnienia wewnętrznego (lub zewnętrznego ) p MPa

., .....

(indeks l dotyczy dna (płyty), indeks 2 zaś walcowej ).

.J '- . -

.

·-"- . --'-''

%i~~y Q~ ł

&o ·-

L

·-

·

·-

powłoki

Naprężenia w płycie można obliczyć ze wzorów podanych w tabl. 11. 1 (poz.. 5 i 6).

Naprężenia w powłoce walcowej można obliczyć ze wzorów podanych w tabl. 121 (poz. 1 i 2) oraz ze wzorów ( 12.7) i (12.8).

·

183

f . Obliczenia

wytrzymalołciowe w

przypadku obcią:teń stałych

Tablica ll.J (c4.)

Lp.

Kształt zbiornika

5

Zbiornik walcowy otwarty, W)pełniony cieczą o cięt.anc właściwym r. dolne krawędzie utwierdzone

6

Powłoka

Wrory obliczeniowe

-(l _...!...)-.;..r_rl_h_ p1 Ji2c1- v2

M _M.0 "'"" -

-

>•

obrotowB,

równomiernie obciążona na brzegu siłami Q~ N/mm, działającymi

w płaszCZ)inie

prostopedłej

do osi powłoki

rG, maxM = 0322-•



"i

( dlax = -

p

r

6M" o„=7.

Qo

nwcu, = 1,932- - -, , r2 Ph

u = _i:_ 2Gi /Je- /Jx cospx ·



"2

h



na brzegu ( dlax = O)

,.,

Qo

'

'

11 = ~sma ,

2p B

~ --~"""'"'/\,''C

184

dla półkuli:

x)

·

4/J '

„= rz oraz a= 1tf2 (por. poz. 8)

J2. Obliczanie ror i zbiorników

Tabllc11 12.3 (~d.)

Lp. 7

Kształt

Powłoka

Wzory obliczeniowe

zbiornika

obrotowa; na brzegu

działają równomiernie

roztozone momenty MoNmmlmm

naprę!enia

obwodowe

ay'"

2/J1liM 9r 1 e- 6" (cosPx -

.

smpx);

r1

na brzegu

f

g

M~

.

= ----;2 3ma,

2Bp

0= Mo Bfl

Powłoka

kulista równomiernie przemieszczenie promieniowe na brzegu na brzegu siłami Qo N/nun działaj ącymi f = rQo ~ina (2rpsina - vcosa) ; Eh w płaszczyżnie prostopadłej do osi powłoki (por. poz. 6) kąt obrotu na brzegu obciążona

6'=~sina· 1 2Bp

'

naprężenia południkowe

a„

=

±Qoe-tiz[; sinasinftHJ2 cosacos(Px+*)];

napręte:nia równolet.nik.owe

ur"'

iGe-~(: 11inasin,& +2r,Oainaco1,&)

185

/. Obliczenia

wytrzymałojciowe w przypadlcu obciążeń stałych

Tablica 12.3 (ro.) Kształt zbiornika

Lp. 9

Powłoka lcuh~

Wzor; obliczeniowe

równomiernie przemieszczenie promieniowe na bnegu

na obwodzie moment MoN·mmlrnm rozłożony

la:\t obrotu na brzegu - M.2_.

O- BP' naprężenia południkowe

2M fh
l3Ji (fJx--;;11:) -h-cos

. ] -pctgasmf3x;

naprężenia rómioleżnikowe

u%=

2 0

~ e-•[v 3~ cos(px-iJ-

-J2p2rsin

1O Rura wypełniona cieczą o ciężarze właściwym y, rury utwierdzone

(Px -~)]

maksymalne naprężenie \\-zdłużne końce

12.3. Obliczanie rur i

naczyń grubościennych

W przypadku rury grubościennej o średnicy zewnętrznej 2a 1 wewnętrznej 2b (rys. 12.8), poddanej działaniu ciśnienia zewnętrmego p„ i ciśnienia wewnętrznego Pb, w punktach rury określonych promieniem r naprężenia promieruowe O", są okreslone wzorem (tzw. zadanie Lamego)

(]" = P" r

186

a2

P. a2b2 b -b2 r2

-

p„a2 - pbb2 a 2 -b2

~-----=-=---

(12. l8)

12. Obliczanie rur i zbiorników

Rys. 12.8 naprężenia

obwodowe

zaś

(12.19) Przemieszczenie promieniowe punktu rury określonego promieniem r

(12.20)

u=

W przypadku gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne Pb (tzn. Pa= O), najwięk· sze naprężenia powstają przy wewnętrmej powierzchni rury i wynoszą

-<1, -

- A(a2 +b2)

Pb , a, -

powiększenie się zaś

P. b u=-b-

E

(a

2

2

a -b

2

promienia wewnętrznego rury

2

+b +v) a 2 -b 2

a i promieniu wewnętrznym b, poddanej Pa i wewnętrznego Pb, w punktach kuli określo· nych promieniem r (por. rys. 12.8) naprężenia promieniowe Ur wynoszą Dla kuli o promieniu

zewnętrznym

działaniu ciśnienia zemiętrznego

b3 a3 _,3 a3 r3 -b3 a, =- Pb 3 3 b3 - P„ 3 3 bJ r a -

r

(12.21)

a -

187

i. Obliczenia

a

wytrzymałościowe

naprężema

w przypadku

ohciąleń stałych

obwodowe (styczne)

b 3 a 3 + 2r 3 a 3 b 3 + 2r 3 a, =Pi. -2r 3 a 3 - b3 - Pa -r 3 a 3 - b3

(12.22)

W przypadku gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne pb, największ.e naprężenia punktach kuli położonych przy wewnętrznej powierzcłmi i wynoszą

powstają w

a 3 +2b 3

crr = -pb,

a,= Pb

Przyrost długości

2(a3 -b3)

wewnętrznego

zewnętrznego zaś

a

3b3

( )(1 E2 a 3 -b 3

&i= Pb -

v)

promienia b kuli wyraża się wówczas zależnością

13. Obliczanie zbiorników ciśnieniowych i połączeń śrubowo-kołnierzowych według metod wzorowanych na przepisach Urzędu Dozoru Technicznego 13.1. Obliczanie zbiorników ciśnieniowych 13.1.1. Obliczanie elementów walcowych Zbiorniki ciśnieniowe pracujące przy nadciśnieniu większym niż 70 kPa (O,7 atm) podlegają zgłoszeniu do Urzędu Dozoru Technicznego, który sprawuje tzw. urzędowy dozór nad z:biomikami (nic podlegają dororowi zbiorniki będące elementami maszyn, jak cylindry silników spalinowych, spręż.arek itp.). Zestawy wzorów i tabel, z których należy korzystać przy przeprowadzaniu obliczeń wytrzymałościowych takich zbiorników, podane są w specjalnych przepisach [24}. Do obliczeń wstępnych oraz dla zbiorników nie podlegających dozorowi można stosować następujący wzór na obliczenie grubości ścianlci go nun beznitowych elementów walcowych podlegających ciśnieniu wewnętrznemu

PaD1 go > - 2 3

-'~kz+

e

(13.l) Po

gdzie: Po - ciśnienie nominalne w MPa (t)~ D, - zewnętrzna średnica elementu walcowego w mrn; k- naprężenie dopuszczalne na rozciąganie lub zginanie w danej temperaturze w MPa; 2 - współczynnik wytrzymałościowy, uwzględnia­ jącym.in . jakość i rodzaj spoin wzdłużnych elementu walcowego (por. rozdz. 14); e -współcZ)11Ilik uwzględniający nierównomierność rozkładu naprężeń na grubości blachy walca.

m I MPa= l

~ =l ~ m

mm

189

I. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciążeń stałych

Występująca w powyższym wzorze liczba 2,3 wynika z obliczenia naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera; jest to iloczyn liczb "'Ystępujących we

wzorach (12 .7) i (12.9), tj. _l_.2 =2,3. 0,866 Współczynnjk e zależy od stosunku średnicy zewnętrznej D1 do We\'tnętrznej D..., elementu walcowego i jest równy jedności, gdy D:ID.., <;; 1,4. Oznacza to, że równomierny rozkład naprężeń na grubości blachy przyjmuje się już wówczas, gdy stosunek promienia średniego r = (Dz + D,,.,)14 do grubości blachy g = h spełnia warunek r/h ć 3, podczas gdy w nonnalnych obliczeniach wytrzymałościowych stosunek ten powinien wynosić rlh ~ 5 (por. rozdz. 12). Dla stosunku średnic Dr!D.., = 2 współczynnik e; 1,15, a więc wzór (13.1) dotyczy również rur grubościennych o stosunku rlh ~ 1,5. Naprężenia dopuszczalne k we wzorze (13. l) wyznacza się w następujący sposób: - dla stali węglowych, dla których obowiązujące nonny ustalają wymagania co do udarności, oraz dla stali stopowych i dla stalowych rur kotłowych, Jeżeli przy tym temperatury nie przekraczają 200+300°C (por. rozdz. 16), k= Rr/1,6 (gdzie R, - granica plastyczności), - dla pozostałych stali węglowych (i temperatur do 200+300°C) k = R. /1,8, - dla stali wa współczynnik bezpieczeństwa powinien być o 40% wi~kszy niż dla stall [tj. k::: R,/(1,6· 1,4) =Re/2,24 lub k =R./(1,8· 1,4) =R,/2,52], - dla brązu, mosiądzu, wyżarzonej miedzi i wyżarzonego aluminium k = R„14, - dla żeliwa k = Rm11, gdzie R„ - wytrzymałość na rozciąganie. W przypadku działania ciśnienia ze'Mlętrznego ciśnienie krytyczne powodujące wyboczenie wymacz.a się z wykresu analogicznego do rys. 12.3 podanego w przepisach Dozoru Technicznego [24].

13.1.2. Obliczanie den zbiorników ciśnieniowych W przypadku den o kształcie kulistym, elipsoidalnym lub koszykowym, podlegających ciśnieniu od strony powierzchni wklęsłej, grubość obliczeniowa dna w najcieńszym miejscu, tj. w wyobleniach. powinna spełniać warunek

g > D:PoYw I -

4k

Wartości współczynnikay.., w powyższym

(13 .2)

wzorze wyznacza się z tabl. 13. l. W tablicy 13.1 oraz na rys. 13.1 przyjęto następujące oznaczenia (w milimetrach): Hz - zewn~trzna wysokość dna (mierzona od części walcowej dna), R..., wewnętrzny promień dna, r"" i rz - wewnętrzny i zewnętrzny promień wyoblenia dna, g1 - grubość dna w miejscu wyoblenia, Dz - zewnętrzna średnica części 190

13. Obliczanie zbiorników ciśnieniowych i połączen śrubowo-ko/nienowych

walcowej dna, d - średnica największego otworu w dnie (gdy dno jest pełne, d= O). Dno musi być tak v.ykonane, by długość e1 częścl walcowej spełniała

warunek: ei~

gdy grubość dna gdy grubość dna

3gi,

e 1 ~ 150 mm, Spełnienie powyższego

warunku zapewnia przenoszenie przez dno miejscowych re współpracy dna z częścią walcową (por. tabl. 12.3). Dzięki temu zarówno cz.ęść walcową zbiornika [wzór (13.1)], jak i spoinę łączącą tę część z dnem, można liczyć tylko na rozciąganie od ciśnienia naprężeń gnących, wynikających

wewnętrznego.

Tablica lJ.1. Wartości liczbowe w9pókzynników y.., we wzorze (13.l)

(oznaczenia według rys. 13, I)

'

H

,~D:

0,18

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

o

3.37

2,90

2,00

1,53

l,30

l,l 8

l, 12

1,10

0,5

3,37

2,90

2,00

1,65

1,42

1,30

1,13

l,20

I.O

3,37

2,90

2,30

2,00

1,8 l

1,70

1,63

l,60

2,0

3,92

3,68

3,21

2,92

2,69

2,50

2,33

2,20

3,0

4,87

4,61

4,10

3,77

3,52

3,32

3,15

3,00

4.0

5.78

5,53

4,99

4,58

4,28

4,04

J,86

3,70

5,0

6,77

6,50

5,90

5,41

5,03

4,76

4,52

4,35

d

JD,g1

""'

""'

----~4---"'1

Rys. 13.l

191

J. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

obciąteń stałych

Dna o profilu elipsoidaln}'Ill i koszykowym można liczyć według wzoru (13.2) wówczas, gdy spełnione są następujące trzy warunki (według oznaczeń podanych na rys. 13.1):

H. 2 0,18D„ R,.,::;; Dz,

r,., 2: O,ID,

Naprężenia

dopuszczalne k występujące we wzorze (13.2) wynoszą: - dla stali węglowych, dla których obowiązujące normy ustalają wymagania co do udarności, oraz dla stali stopowych k;;::; Rcll ,4, - dla pozostałych stali k = R.,/1,55 , - dla staliwa współczynnik bezpieczeństwa powinien być o 40% większy niż dla stali [tj. k = Re/(1,4· l,4) = R,11,96 lub k = R,/(1,55· l ,4) =Re/2, 17], - dla brązu, mosiądzu, wyżarzonej miedzi i wyżarzonego alwninium k = R,,/3 ,4, - dla żeliwa k = R,./7. Jeżeli ciśnienie działa od strony wypukłej powierzchni dna, grubość dna obliczona ze wzoru (13.2) powinna być co najmniej o 30% większa. Ponadto należy wówcms sprawdzić dno na stateczność. Ciśnienie krytyczne, przy którym powstaje utrata stateczności (zaklęśnięcie) części srodkowej dna, oblicza się ze wzoru

g2

1 P ... =366) R?_,

(13.3)

L-

Współczynnik bezpieczeństwa

ze względu na wyboczenie (zaklęśnięcie) powinien wynosić co najmniej 3,5, zatem musi być spehllony warunek: p 0 ś Pnl3,5. W przypadku płaskich den pełnych o konstrukcji podanej na rys. 13 .2 grubość powinna spełniać warunek g

~ 0,35D.,.,J"Pj

(13.4)

dla których obowiązujące normy ustalają wymagania co do udarności, i dla stali stopowych k,,., R.11,5, dla pozostałych zaś stali przy czym dla stali

węglowych,

węglowych

le= R,11,65. Dla den płaskich przyspawanych jednostronnie, poddanych działaniu

wewnętrmego

ciśnienia

(rys. 13 .3a)

g~ 0,4SD..,J"Pj

(13.5)

Dla płaskich den wzmocnionych kotwiami (rys. L3.3b) grubość dna powinna spełniać warunek

192

13. Obliczanie zbiorników ciśnieniowych i

połączeń śrobowo-kołnierzOl+ych

b)

h~g; r.., ~ 0.3 g; rw ~ Bmm

Rys. 13.2

a)

b)

Rys. lJ.3

g2':0,45dJPf

(l 3.6)

gdzie d (mm) - średnica największego koła przechodzącego przez co najmniej trzy punkty usztywnionego dna płaskiego.

13.2. Obliczanie połączeń śrubowo-kołnierzowych W szcz.elnych połączeniach śrubowo-kołnierzowych siła naciągu montażo­ wego N,,, wszystkich śrub danego połąc.zenia (rys. 13.4) jest równa większej z dwóch sił N~ i N;:, , obliczonych ze wzorów (13.7)

N:;, =CN,

(13.8)

193

i. Obliczenia wytnymało.ściowe w p„zypadku

obciąteń stałych

tf;D2 - --<

~ą.-j ~ 01 --;

u

Rys. lJ.4 Naciąg

ruchowy śrub N, oblicza

się

re wzoru

N, = P + bS1

( 13.9)

przy czym P jest siłą parcia czynnika

P = nD; P

4

S1zaś -

(13.10)

o

siłą zapewniającą szczelność połączenia

(13.ll) Oznacz.enia w

powyższych

wzorach:

Po- ciśnienie obliczeniowe czynnika w MPa; Du - średnia średnica uszczelki w nun; według rys. 13.4 D u

= D1+D2 2

C - współczynnik zabezpieczający, by naciąg N był dostatecznie duży: C = 1,2 - dla połączeń o średnicy Du :s; 500 nun, C = 1,4 - dla połączeń o średnicy Du > 500 mm; b - współczynnik zabezpieczający, by siła S nie spadła - na skutek pełzania materiału uszczelki - poniżej wartości wymaganej . Wartości tego współczynnika należy przyjmować według tabeli podanej na str. l 28 Przepisów Dozoru Technicznego [24]. Kilka danych z tej tabeli przytoczono w tabl. 13.2; u;, u;• - naprężenia minimalne zapewniające szczelność połączenia, podane w tabl. 13.3; Ucz - czynna szerokość uszczelki, wyznaczona w zależności od szerokości nominalnej u (rys. 13.4) z tabl. 13.4.

194

13. Ohlicza11ie zbiorników cisnieniowych i połączeń śrubowo-kołnierzowych Tablica 13.2. Warto.lei współ<:zynnlka b we wzorze (13.9)

h Materiał

dla temperatury w

0

c

20

200

300

Masa azbestowo-kauczukowa (itp.)

1, 1

1,6

2,0

Płyta

1, 1

1,6

2 ,0

azbt:stowa prasowa.na

Wypełniona azbestem plaska koszulka metalowa:

z aluminium

2,3 2,0 1,7

1,0 1,0 1,0

z miedzi lub mosiądzu z miękkiej stali

Tablica 13.J. Wartości naprężeń dociskowych

a: oraz

<7;'

we Mo nieb (13. 7) i (13. Il) <7'

' MPa

Rodzaj uszczelki Skóra, korek prasowany, filc techniczny lub tektura techniczna impregnowana i grafitowana lub pokostowana

Fibra, masa kauczukowa lub płyta azbestowa

Pł11.Ski,

rowkowy lub soczewkowy metalowy albo okn~gły pierścień metalowy (drut) pierścień

o grubo~i l mrn

3,0po

40

6,4po

o

grubości

2 mm

21

5,0po

o

grubości

3 mm

12

4,lpo

z ołowiu

55

7,5po

z wyżarzonego aluminium

62

8 ,0po

91,5

9,5po

z żelaz.a lub miękkiej stali

126,5

11,0po

ze stali nierdzewnej lub kwasoodpornej

183

13,0po

z

wyżarzonej

miedzi lub

mosiądzu

wyżarZonego

38,5

6,0po

46

7,0po

z żelaza lub miękkiej stali

53,5

7,5po

ze stali n ierdzewnej lub kwasoodpornej

63,5

7,Spo

z Wypełniona azbestem plaska. koszulka metalowa

5

er"s MPa

aluminium

z wyżarzonej miedzi lub mosiądzu

195

l. Obliczenia

wytrzymałościowe

Tablica 13.4. Czynna

llzerokość

w przypadku obciąteń stałych

usiaelki

Schemat uszczelnienia (wymiary w milimetrach)

„..,

wy1tępuj11ca

we wzorach (13. 7) I (13.11)

Czynna szerokość uszczelki Ucz przy szerokości: u!>

12 mm

u> 12 nun

u

3.47 JU

w

3,47../w

w

3,47../w

CZ)mlll szerokość uszczelki miękkiej

metalowej

2u

~dlau ~3 mm

2u

2,5

~dla u :o> 3 mm 3.5

Po obliczeniu naciągu montażowego N111 [rÓ'wnego większej z sił otrzymanych ze wwrów (13. 7) i (13.8)] oblicza się średnicę rdzenia d, śruby co najmniej ró\Wą większej z dwóch wartości d; id:' otrzymanych ze wrorów

d' r

196

=

ll3J •

Nm

fi/kii

(13.12)

13. Obliczanie zbiorników ciśnieniowych i połączeń śrubowo-koł11ierzowych

(13 .13)

Oznaczenia w

powyższych

wzorach:

N'" - naciąg montażowy równy wil(kszej z dwóch sił N~ i N~, obliczonych ze wzorów (13.7) i (13.8); i - liczba śrub danego połączenia śrubowo-kołnierzowego (zaleca się przyjmować licz~ śrub ~dącą wielokrotnością liczby 4); łjl- współczynnik uwzględniający wykonanie śrub, nakrętek i powierzchni

pod nakrętkami: 1f = 0,5 - wykonanie zgmbne, 1f = l - dokładna obróbka śrub, nakrętek i powierzchni pod nakrętkami, lf= 0,75 - pośrednia (zwykła) obróbka śrub, nakr~k i powierzchni pod nakrętkami;

k1 -

naprężenie

dopuszczalne na rozciąganie materiału śrub, liczone dla

temperatury 20°C - -R. ki -

x:

przy czym:

x( = 1.1 dla stali stopowych, xj = 1,2 dla stali węglowych; ki - naprężenie dopuszczalne na pracy śruby k2

Re,

=--·

gdzie: R11o

X~

-

granica plastyczności materiału w temperaturze t0 ,

= 1,5 dla stali stopowych, x~ = 1,65 dla stali węglowych .

r~

rozciąganie materiału śrub

w temperaturze 10

14. Obliczanie

połączeń

spawanych

W zakresie projektowania i obliczania połączeń spawanych występujących w stalowych konstrukcjach budowlanych obowiązuje norma [38], w zakresie dźwignic

- norma [39], natomiast w zakresie kotłów i zbiorników ciśnieniowych odrębne przepisy [24]. Podstawowym warunkiem prawidłowej pracy spoin jest jakość ich wykonania, którą osiąga się m.in. przez zapewnienie odpowiednich kwalifikacji spawaczy (które sprawdzane są egzaminami kontrolnymi), przez spawanie automatami oraz przez ciągłą lub wyrywkową kontrolę rentgenograficzną spoin, stosowaną np. w budowie dźwignic, rurociągów, zbiorników ciśnieniowych itp. W zależności od grubości łączonych elementów spoiny czołowe wykonuje się w sposób podany na rys. 14.1, oznaczając rodz.aj spoiny odpowiednio I, V, Y, X, U, 2U. W przypadku łączenia elementów o różnych grubościach grubość spoiny czołowej przyjmuje się równą grubości elementu cieńsrego. Naprężenia dopuszczalne dla prawidłowo wykonanych spoin czołowych przy obciążeniach stałych

b)

a)

5
4
f)

12
198

2.0
14. Obliczanie połącreń spawanych

przyjmuje się takie, jak dla elementów łączonych, jak to wynika z kolwnny 4 tabl. 14.1. Najmniejsm grubość a spoiny pachwinowej może wynosić 0,2g, jednak nie mniej niż 3 mm (g - grubość cieńs7.ego z łączonych elementów), najwięksm zaś grubość nie powinna przekraczać 0,7g. Największą grubość spoin pachwinowych w połącz:eniach profilów walcowych (kątowników, ceowników, dwuteowników itp.) należy przyjmować według rys. 14.2. Minimalna długość spoin pachwinowych nie powinna być mniejsz.a niż 15a, lecz nie mniejsza niż 50 mm. Spoiny pachwinowe zastosowane w połączeniu jako tylko podłużne (rys. 14.3a) lub jako tylko poprzeczne (rys. 14.3b) zaleca się przeciągać poza naroża na długości c ~ 2a, przy czym uzyskane przez to zwiększenie długości spoiny pomija się w obliczeniach.

a,~ 0,6g~

a 2 ~D,Bg

2

Rya. 14.2

a) p

Rys. l4.3

Ry1. 14.4

199

I. Obfjczenia

wytrzymałościowe

w przypadku obciążeń !>tałych

W połączeniach profili niesymetrycznych spoiny powinny być tak rozmieszczone, aby ich środek ciężkości pokrywał sil( ze środkiem ciężkości (w rzucie) przyspawanego profilu. Tak więc w przypadku kątownika rozciąganego siłą P długości spoin oblicza się z następujących zależności (według oznaczeń podanych na rys. 14.4) l 1e1 = l 2 e 2

( 14.1)

oraz (/1a1

+ /2a2) k;

=Fkr

( 14.2)

po pod.stawieniu z.aś wartości naprężeń dopuszcralnych na pachwinowych (z tabl. 14. l poz. 15) Je; = 0.6~k,

ścinanie

k;

I 11a1 +/2 a 2 =--F= l,54F 0,65

gdzie: F - pole przekroju poprzecznego

dla spoin

(14 2a) kątownika, kr -· naprężenie

dopuszczalne

na rozciąganie dla materiału kątownika. W połącz.eniach zginanych momentem Mg i ścinanych siłą poprzeczną (rys. 145) zredukowane naprężenia tnące w spoinie powinny spełniać warunek t'red

= J-r1 + r~ ~ 0,1kr

Q

(14.3)

gdzie Te= Q

al

przy czym: Jx - moment

~ 0,65k,

bezwładności

(14.4)

figury utworzonej przez

kład

przekroju tych spoin, przekrojów dla dwuteownika

podłużnego spoin o grubości a na płaszczyznę styku belki; I - długość które ze względu na swe położenie mogą przenosić siłę tnącą (dla

dwuteowych lub ceowych - długość spoin podanego na rys. 14.5 l = 4z1). Ponadto musi być spełniony warunek

mocujących środnik;

(14.5) W połączeniach przenoS?.ących moment przedstawionych przykładowo na rys. 14.6, czołowej X powinny spełniać warunek

gnący M 8 oraz siłę poprzeczną Q, naprężenia zredukowane w spoinie

(14.6)

200

14. Obliczanie połączeń spawanych

i

- ·-·-1I I

Rys. 14.5

Rys. 14.6

w którym

~ =_JL ~ 0,6kr 2gz

(14. 7)

gdzie (według rys. 14.6): J„ - moment bezwładności całkowitego przekroju poprzecznego elementu zginanego (obie półki + środnik według rys. 14.6), s - współ­ c~ wytrzymałościowy spoiny. Wartość tego współczynnika przyjmuje się: - dla spoin czołowych: s = l - przy osiowym ściskaniu i przy zginaniu, s = 0, 8 - przy osiowym rozciąganiu i przy zginaniu (jeżeli zapewniona jest jakość wykonania spoin, np. przez prześwietlenie, można zwięk­ szyć wartość współczynnika do 1,0), s· =0,6 - przy ścinaniu ; - dla spoin pachwinowych przyjmuje się przy ścinaniu s = 0,65. Naprężenia w spoinach łączących pas (półkę) ze środnikiem (rys. 14.6) w belkach zginanych powinny spełniać warunki

201

I. Obliczenia

T=

wytrzymałościowe

w przypadku obciążeń .Jtałyc:h

QS
(14.8)

oraz

=~a: + 3r 2

O'red

( 14.9)

:S 1,lk,

(14.10)

gdzie: S - moment statyczny względem osi obojętnej tej częsc1 przekroju poprzecznego belki, która leży ponad spoiną (według rys. 14.6), Jx - moment bezwładności całego przekroju, k, - naprężenie dopuszczalne na rozciąganie materiału belki. Wartości liczbowe naprężeń dopuszczalnych dla spoin na rozciąganie k; lub

na ścinanie k; w zależności od naprężeń dopuszczalnych na rozciąganie k, słab­ szego z elementów łączonych podano w kolunmie 4 tabl. 14.l. W dalszych kolumnach tej tablicy podano wartości współczynników spiętrzenia naprężeń f3 przy obciążeniach zmiennych, jakie stosuje się w obliczeniach zmęczeniowych (por. rozdz. 17). Omówienie podstawowych zasad obliczania spoin podano przykładowo dla obliczeń metodą naprężeń dopuszczalnych. Taki sam tok postępowania obowią­ zuje w obliczeniach metodą stanów granicznych, a istotne różnice dotyczą jedynie obliczeń zmęczeniowych, co omówiono w rozdz. 17. Tablica 14.l. Wartości naprężeń dopuszczalnych i współczynników spiętn.enia naprężeń dla poł11czeń spawanych

P

Wartości współczyn-

Lp.

Opis z}ącza spaw1.111ego

Obciąże-

Schemat złącza

nie stałe

ników spiętrzenia naprężeń przy obciążeniach zmiennych

zgina- skrę1 ganie nieC > canie

rozetą-

I

(l )

Jednostronne złącza doczołowe z podspawaniem (nie obrabiane}

--...

k;

~

k,

Pr

P11

/3.

2,0

1,8

2.5

Oś obojętna przy zginaniu jest równoległa do osi spoiny. Współczynniki spiętrzenia p dotyczą stali St3.

naprężeń

202

14. Obliczanie połączen spawanych Tablie11 14.1 (cd.)

Lp.

Opis złącza

2 Dwustronne złącze doczołowe (nie obrabiane)

3

Jedno- i dwustronne złącza doczołowe

(z podspawaniem)

obrabiane

Schemat złącza

-„

~

Obciąże-

/J,

p,

p.

k; = le,

2,0

1,8

2,5

=k,

1,55

1,55

2 ,0

k; =0,8k,

2,&

2.5

3,4

1i; = li,

1,75

1,55

2,1

k; = k,

2,5

J,75

3, 1

k; = 0,85k,

3,4

1,7

3,4

1c; = 0,8/c,

2,4

1,75

2,8

nie stale

k;

~ 4

Jednostronne złącza doczołowe bez podspawania (nie obrabiane)

5

Jednostronne złącza podspawane, nie obrabiane,

doczołowe, ukośne

6

7

Złącza z obustronnymi spoinami pachwinowymi z ukosowaniem, nie obrabiane

Złą.cza

z obustron-

nynti spoinami pachwihowymi bez ukoso-

wania, nie obrabiane

8

Jednostronna spoina pachwinowa z ukosowaniem, bez podspawania, nie obrabiana

~

~ ~

~

~

--4 ~

203

I. Obliczema wytrzymaloJciowe w przypadku

obciążeń stałych

Tablin 14. l (cd.) Lp.

9

10

Opis złącza

Schemat złącza

Jednostronna spoina pachwinowa bez ukosowania, bez podspawania, nie obrabiana

~

Złącza

~

nalladkowe,

spoiny wypukłe

Obciąże-

f3,.

P~

f3,

3, 1

2,65

3,8

k; = 0,85k,

4,4

2,2

4,4

Je;:;: 0,85k,

3.4

1,8

3,4

Je;= 0,85/c,

4,4

2,0

4 ,4

6,4

12,8

6,4

nie stałe

k;

=0,1k,

-03 11

ZłllCU nakładkowc.

spoiny wklęsłe

12

Złącze z obustronnymi spoinami pachwinowym.i, wypuk-

łymi

13

14

Jednostronna spoina pachwinowa płaska, nie obrobiona

Złącze nakładkowe

symetryczne

15 Złącze nakładkowe

~ ~'

--4 --4 ®P T[Sf-

=t=f51204

k; = 0,65k,

4,5

k; = 0,65k,

5,0

k; = 0,65k„

4,2

14. Obliczanie połączeń spawanych Tablica 14.1 (cd.)

Lp.

Opis złącza

16 Piaskownik ze złą-

czem pachwinowym, rozciągany

17 Złącze przykładkowe

(prqspawana blacha)

IS

Złącze prqk.ładkowe

(przyspawana blacha)

19

Płaskownik wycinany z blachy palnikiem gazowym lub elcktrycznym ręcznie

p, = 2,0

automatem p, = 1,55

Schemat złącza

Obciąże-

nie

stałe

-A~~

2,0

k; = 0,65k,

·+ot~ [p ~ '°"'

fJ,

4,2

2,0

k; = k, 2,0 1,55

/3,

fJ,

15. Własności wytrzymałościowe metali w temperaturach obniżonych W miarę obniżania się temperatury wytrzymałość na rozciąganie metali i granica plastyczności rośnie, udarność zaś maleje, jak to przedstawiono na rys. I 5. I dla stali o własnościach zbliżonych do St3 oraz St5. Szczególną uwagę należy zwrócić na spadek udarności, który dla niektórych materiałów przebiega w sposób łagodny, zbliżony do wprost proporcjonalnej zależności zmniejszania się udarności w miarę obniżania temperatur (krzywe 1 i 2 na rys. J5.2). Dla niektórych natomiast materiałów gwałtowny spadek udarności zachodzi przy małych spadkach temperatur, nieraz w temperaturze pokojowej (rys. 15.3), co może stwarzać poważne zagrożenie w eksploatacji maszyn i urządzeń . Temperaturę, w któraj pojawia się gwałtomty spadek udarności, nazywamy górną temperaturą kruchości materiału. Własności wytrzymałościowe i zmęczeniowe materiałów w temperaturach obniżonych w dużym stopniu zależą od dodatków stopowych podwyższających udarność, a więc w przypadku stali będą to chrom, nikiel, molibden itp. Wartości stosunku wytrzymałości zmęczeniowej w temperaturze obniżonej do wytrzymało­ ści zmęczeniowej w temperaturze pokojowej (20°C) dla kilku metali podano w tabl. 15. l . Własności wytrzymałościowe i zmęczeniowe niektórych metali w temperaturach obnizonych podano w tabl. 15.2. ~·R.--~-.-~...........,.,._..~-,.-~-.-~~....---.

MPn

-200 Ry~.

206

15.1

- 160

- 120

- 80

-40

15. WłaJności '
20 1



16

.g

12

!n

2

.~·.., -~

!:

~

8 4

o

-100

-20

-80

0°c

+20

+40

+60°C

Rys. 15.2

20 -

/

18

---

I

16 N

J

14

~ n

12

§

8

:::i

6

I I I

.g ~- 10 .....„ .g

I j

4 2

1"

I I

/r

'-(

V

_.... V~/

o

-40 - 20 Rys. lS.3

0°C+20

ł40

+60 +BO +100°C

Tablica 15.1. WlaHmci zmęczeniowe metali w temperaturach obniżonych

Materia.I

Wartości

stosunku:

wytrzymałość zmęczeniowa w temp. obniżonej wytr'.lymałość zmęczeniowa

próbki gładkie

Stale węgłowe Stale stopowe Stale nierdzewne Stopy aluminium

próbki z

w temp. pokojowej podcięciem

(karbem)

-40°C

-78°C

-190°C

-78°C

-190°C

1,2 1,06 1,15 1, 14

1,3 l, 13 1,21 l,16

2,57 1,61 l,54 1,69

1,10 1,06

1,47 1,23 1,35

207

T1blica 15.2.

Wła!lncńc:i wytrzymałościowe

Materiał

Przybliżone

(nazwa,

oznaczenie wg PN

gatunek)

i

zmęczeniowe

metalJ w temperaturach obniżonych na roz- Granica plastyczności Liczba ~(Qr), MPa w temperaturach, °C w temperaturach, °C cyk.li

Wytrzymałość

ciąganie R,.,

Skład chemiczny

(orientacyjny)

Stan

+20 0,2 c 0,3C 0,08 C; 0,59 Mn 0,40 C; 0,78 Mn; 0.43 Si

surowy sw-owy nonnalizowany V.')7filzony

65 0,64 C, 0,75 Mn Stale kon- Cr-Mo 0,22 C; 0,60 Mn strukcyjne 0,83 Cr, 0,22 Mo stopowe do Cr-Ni-Mo o.34 c~ o,45 Mn;

nonna\izowany

Stal

St3

węglowa

St5

Stal kan-

osx

strukcyjna

40

wyższej

jakości

nawęglania

Cr-Ni

hartowane i odpusza.ane hartowane 2).7 Ni, 1,88 Cr, i odpuszczane 0,4Mo 18,5 Cr, 8,82 Ni walcowane

Stale

450 580

(R,.), MPa

-78 570

-190 900

+20

-78

460

107

780

370

106

720

920

340

480

106

400

600

775

870

940

1050

9&0 1320

1020

1150

1400

MPa

w temperanttach,

oc

wytrzyma.ło§ci

+20

-78 -190

Zro

130

165

320

Zro Zro Zro

180 200

230 270

550 560

230

320

630

370

450

970

106

830

960

1250

106

Zro Zro

270 480

550

670 730

870

980

1240

106

Z,c

550

610

780

1450

1650 2000

1000

1350

106

Z,c

760

860

1050

"')"i.anony

1250

1380

1650

1200

1350

106

Z1 o

650

850

1100

półtwardy

140 480

ISO 520

200

120

106

ZJ!O

90

!OS

600

330

Z1o

230 230

260 260

410

z,"

270

340

420

na zunno

nierdzewne Cr-Ni

17,0 Cr, 6,S Ni 0,37 Ti: 0,12 AJ 0,99 Al

Aluminiwn Al Stop Al Pa28 Dural PA9

3,8+4,4 Cu 5,7 Zn; 2,8 Mg; l,5 Cu

570

600

690

490

120 340 510

Brąz

9,0 Al

540

570

660

340

)70

alwniniowy

10;

670

410

850

rodzaj nnęczeniowej

-190

280 320 280

800 500

Wytrzymałość zmęczeniowa,

BA94A

470

106

610

wa 10~

Z1w

370

16. Własności wytrzymałościowe metali w temperaturach podwyższonych 16.1. Zmiany własności wytrzymałościowych metali w temperaturach podwyższonych W miarę wzrostu temperatur wytrzymałość na roz.ciąganie, granica plastyczE oraz G i twardość wszystkich materiałów w zasadzie maleją, natomiast wzrasta wydłuż.enie i przewężenie. Na rysunku 16 . l podano m.in. zmianę wytrzymałości na rozciąganie stali Stl i stali niklowej 34% Ni oraz granicę plastyczności stali Stl jako funkcję temperatury. Wpływ temperatury na własności innych stali konstrukcyjnych i stopowych przedstawia si<( podobnie jak dla tych dwóch gatunków stali, a więc w granicach do 200°C nie dostrzega się większych zmian, w granicach do 300°C zmniejszenie wytrzymałości na rozcią­ ganie i granicy plastyczności jest nieznaczne (około 2%), po czym następuje dość wyraźne zmniejszenie się tych wartości. Zdarzają się przypadki, że przy wzroście temperatur w granicach 200+300°C wytrzymałość metali wzrasta, jak to podano na rys. 16. l dla stali węglowej O, l 7%C. ności, moduły sprężystości

600..-~...-~...,....--::::-r--.~----,~~.--~.,.-~.---,

il: ~

~ JOOl=====f-..,.....-+---+~..+----'li------'k--;---r---;

Q::.e

.......

ooc

1 oo

200

300

400

soo

600

-----aoo----

700

900°C

Rys. 16.J

209

I. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

Tablica 16.1. Własności wytrzymałościowe I wyższonych tempentuncb <1>

Nazwa lub

skład

chemiczny

0,15 C; 1Hl3 13 Cr

nie~

0,2C; 2Hl 3 13 Cr

na rozci~e R,,. (R,), :MPa

Cr-Mo

Cr-Ni-Co

Cr-Ni-Co

Stal i.aro-

odporna 4Hl 4N14W2M żeliwo

oodporne

żar

żeliwo żaro..

odporne

17,5 Cr, 12,0 Ni; 0,8Nb 10,5 Cr; 0,65 Mo

20 H. 1040"C olej 0.750°C

610

500 370

720

550 530 440

400

284 280 260

240 210

670

570 560 480

360 230

460

380 370 350

340 310 250 170

660

580 550 520

480 450 380 2 10

wyża·

runie 1100°c

H. ll50°C 0 .650°C rzarue

19 Cr, 12 Ni; 45 Co

rtanie

wyż.a-

1300°C wyża·

12so0 c

H. 1175°( woda stabilizowarue 790 750°C

2,6C; 1,2 Mn; 2 Cr; austenit 2,1 Si 14 Ni; 7 Cu 2,8 C; 1 Mn; 1,5 Si; 0,3 Cr; 0,2 Ni

200 300 400 500 550 600 700 800 900

H. IOlO°C powictu.e

13Cr, 13 Ni; l OCo

0,45 C; 14 Cr; 14Ni; 2 W

w temperaturach, °C

Stan

0 .7 10"C Cr-Ni

580 500

250 210

200

140

350 320

260

180

Obróbka cieplna: H. - hartowanie, O. - odpuszczanie. (I) Według [19) i [33 ).

210

nJektórych stall I ieliw w pod-

Wytrzymałość

materiału

rdzewna

zmęczeniowe

Orientacyjny

oznaczenie

Stal

obciąteń stałych

16. W'łasności wytrzymałościowe metali w temperaturach podwyższonych

Wytrzymałość zmęczeniowa

Granica plastyczności R, (Q, ), MPa

na zginanie obukierunkowe Zro. MPa

w temperaturach, °C

w temperaturach, °C

300

550

20

400

500

410

370

220

370

520

400 400

260

370

20

600

210

195

230

310

200

350

300 400

500

550

260

220

190

310

240

160

140

130

220

170

130

320

250

600

235

220

260

260

340

450

800

175

230

265

390

700

170

320

100

120

90

70

150

120

90

70

211

1. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciąteń .stałych

Tablica 16.2. w

Własności wytrzymałościowe

podwyższonych

i

zmęczeniowe

niektórych metali

nieżelaznych

temperaturach

Nazwa lub oznaczenie materiału

Wytrzymałość

Oricntacyjr.y skład

na rozciąganie R„ (Rr), MPa

Stan

w temperaturach, °C

chemiczny 20

100 150 200 250 300 400

4 Cu; l.6 Mg

przesycony

460 440 400 340 230

Durale po

1,7 Cu; 2,4 Mg; 6Zn

naturalnie star.wny

570 500 400 310 240

obróbce PA30 plastycmej

1,4 C; 2,1 Cu; 1,6Mg

naturalnie starzony

460 440 400 320 240 160

I Si; 4,6 Cu; 0,6 Mg; 0,8 Mn

naturalnie staaony

490 460 400 320 200 120

Dural PA? PA9

PA33 Brąz aluminiowy Al-Ni-Fe

10 Al; 5 Ni; 5 Fe

Stopy Al

2,4 Si; 1,3 Cu; 0,87 Ni

odlewy

Al-Si-Cu 4,6 Cu; 2,8 Si

800 sztucznie starzony

760

270 160 150

670 490 75

140

40

95

Aby uzyskać zmruejszenie spadku własności wytrzymałościowych w wyż­ szych temperaturach, dodaje się do stali dodatki stopowe, jak chrom, nikiel, molibden, wanad, wolfram itp. Badania zmęczeniowe przeprowadzone w podwyższo­ nych temperaturach wykazują znaczne obniżenie się wytrzymałości zmęczeniowej Z ze wzrostem temperatury. Metale kolorowe i ich stopy v.·ykazują zmniejszenie wytrzymałości już w temperaturze do 60°C. Własności wytrzymałościowe i zmęczeniowe stali i żeliw w podwyższonych temperaturach podano w tabl. L6. l, niektórych zaś metali nieżelaznych - w tabl. 16.2.

16.2.

Pełzanie materiałów

i relaksacja naprężeń

W czasie pracy elementów maszyn w poowyższonych temperaturach obserwuje się - oprócz zmniejszenia wytrzymałości - także powolne zwiększenie odkształ­ ceń, mimo że obciążenie w tym czasie me ulega zmianie. Zjawisko to nosi nazwę pełzania.

Z pełzaniem materiału związane jest zjawisko relaksacji, tj . zmniejszanie się w miarę upływu czasu pracy przy .zachowaniu nie zmienionych wymiarów ciała. naprężeń

212

/6. Włamo.łci wytrzymałościowe metali w temperaturach podwyższonych

Wytrzymałość zmęczeniowa na zginanie

Granica plastycmości R. (Q, ), MPa

obukierunkowe z,.,, MPa

Liczba cykli

w temperaturach, °C

20

100

150

200

250

320

300

280

250

180

500

400

360

240

120

380

380

360

300

200

420

400

360

290

190

w temperaturach, °C

20

100

150

200

250

10

8

150

L40

140

100

70

!Os

153

138

112

75

59

140

108

143

138

120

92

70

52

80

108

130

118

100

70

45

39

107

310

107

38

5·107

60

300

270

250

24

33 54

300

58

41

Wykresy pełz.ania wykonywane we współrzędnych: odkształcenie względne czas t podano przykładowo na rys. 16.2. Iloraz przyrostu wydłużenia względnego przez przyrost cz.asu określa tzw. prędko$ć pełzania &-

d& dt

v,=Znając prędkość pełzania

(16.1)

v,,

można

z powyższego wzoru obliczyć wydłużenie względne & dla dowolnego cz.asu od chwili t 1 do t 2 (16.2) Jeżeli

nie dysponuj e się wykresem pełzania danego materiału przy danych w danej temperaturze, prędkość pełzania up można wyznaczyć np. ze wzoru empirycznego naprężeniach

v,=Bu"

(16.3)

Wartości współczynników Bi n

dla kilku materiałów podano w tabl. 16.3. obliczona ze wzoru (16.3) powinna być mniejsz.a od prędkości dopuszczalnej Vpdop. Dla kilku przypadków wartości u pdop podano w tabl. 16.4. Prędkość pełzania

213

/. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

obciąże1I stałych

Rys. 16.Z

Korzystanie z wzoru (16.3) jest niedogodne, ponieważ wymaga znajomości Bi n dla danego materiału i danej temperatury, a ponadto konfrontacji otrzymanego wyniku z dopuszczalną prędkością pełzania, nie zawsze ustaloną dla danego typu konstrukcji. Metody obliczania na pełzanie blach kotłowych, rur itp. są podane w normach [40]. współczynników doświadczalnych

Tablica 16.J. Wartości współczynników Bi n we wzon:c (16.J) nu prędkość pcłzuni11

B Rcxlzaj stali

Tempt:ratura

0,39% c 0,30%C 0,3% C; 1,4% Mn 2 % Ni; 0,8% Cr; 0,4% Mn 12%Cr 12% Cr; 3% W; 0,4% Mn

400 400 450 450 454 550

Tablica 16.4.

Prędkości

oc

dopuuczalne

2

n

22,75·10-4ó

8,6 6,9 4,7

mm

-N ·h 68,25·10-ll! 112,40·10-17 28,45· I0- 13 14,23· I0- 27 21,3s w-16

3,2 4,4 1,9

pełnnia

Nazwa części

Tarcze turbin nasadzone na wal Śruby, kołnierze, cylindry turbin parowych PrLewody parowe, połączenia spawane rur kotłowych Rury pnegrzewaczy pary

Vp dop

na godzinę

w-9 10-8

10-7 10-6+ 10-'

Część

druga

Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciążeń zmęczeniowych

17. Tok przeprowadzania obliczeń zmęczeniowych

17.1.

Wpływ spiętrzenia naprężeń,

i

wielkości

stanu powierzchni

przedmiotu na wytrzymałość zmęczeniową

17.1.1. Wprowadzenie W przypadku działania obciążeń zmiennych we wszystkich materiałach następuje utrata wewnętrznych sił spójności przy naprężeniach mniejszych od wytrzymałości doraźnej. Istota tego zjawiska nie jest dotychczas dostatecznie wyjaśniona, co w znacznym stopniu rzutuje na niedoskonałość metod obliczeniowych, opartych wyłącznie na empirycznych uogólnieniach. Punktem wyjściowym wszelkich obliczeń zmęcz.eniowych jest wykres WohJera, pozwalający wyznaczyć maksymalne naprężenie, przy którym próbka wykonana z danego materiału może przepracować nieograniczoną liczbę cykli. Naprężenie to zwane jest wytrzymałością zmęczeniową Z. Spośród wielu istniejących metod obliczeniowych szerokie zastosowanie znalazł sposób oparty na wykorzystaniu współczynników wprowadzonych przede wszystkim przez Moszyńskiego [14] do metod Bacha, Woblera, Thurna, Hubera i innych. Można nadmienić, że inne metody obliczeniowe różnią się na ogół nieco odmiennym zdefiniowaniem wprowadzanych współczynników, z.a.akcentowaniem dodatkowych cech stanu naprężenia (np. gradientu wzrostu naprężeń w obszarze karbu), wprowadzeniem elementów probabilistyki itp.

17.1.2. Współczynnikj

kształtu a1i

W przypadku nagłych zmian kształtu przedmiotu - przy założeniu, że prze.dmiot jest idealnie gładki, wykonany z materiału izotropowego idealnie sprężystego - występuje spiętrzenie naprężeń, określone tv.v. współczynnikiem kształtu ac (por. [17], rozdz. III)

215

Il. Obliczenia

wytrzymałościowe

w przypadku obciq:eń zmęczen iowych

(17.l) gdzie: Umax - naprężenie maksymalne związane z istnieniem zmian kształtu przedmiotu, o„ - naprężenie nominalne obliczone z konwencjonalnych wzorów wytrzymałościowych dla najbardziej osłabionego przekroju przedmiotu (w przypadku skręcania łub ścinania - odpowiednio rmax i !n). Wartości współczynnika kształtu ak dla zmian przekroju najczęściej spoty· kanych w budowie maszyn, ujęte w formie wykresów, podano w rozdz. 18 (rys. 18. 11 + 18.45). Aby wymaczyć współczynnik kształtu a" za pomocą wymienionych wyżej wykresów, należy m.i.n. mać promień dna karbu p, tj. minimalny promień w miej· scu nagłej zmiany kształtu przedmiotu W przypadku ostrych podcięć promień oblicza się ze wzoru

p = P1t: + p,,. przy czym: P• -

(17.2) promień

minimalny dna karbu

rzeczywisty (konstrukcY,jny) dna karbu, p,,, -

promień

(wartość tego promienia należy odczytać z wykresu poda-

nego na rys.18.8). Jak wynika z rys.18.8, dopiero dla dostatecznie dużych promieni dna karbu, gdy P• > 5 mm. promienia minimalnego p,., można nie uwzględniać, przyjmując

Pt= p'".

17.1.3. Współczynnik działania karbu Pt Spiętrzenia naprężeń określonego współczynnikiem a,_, (wzór (l 7 . 1)] działaniu

obciążeń

przy

w ogóle się nie uwzględnia w obliczeniach wytrzymałościowych, natomiast w przypadku obciążeń z:m.iennych spiętrzenie naprężeń powoduje dość istotne zmniejszenie wytrzymałości przedmiotu. Stosunek wytrzymałości zmęczeniowej próbek gładkich bez karbu (Zbk} do wytrzymałości zmęczeniowej próbek gładkich z karbem (Zk) określa się tzw. zmęcze­ niowym współczynnikiem działania karbu lub krócej - współczynnikiem karbu /Jx

13" = zb"

zk

stałych

(17.3)

Ponieważ współczynnik karbu /31.: zależy od właściwości materiału , przeto wprowadzono tzw. współczynnik 'l wrażliwości materiału na działanie karbu lub krócej współczynnik wrażliwości, określony wzorem

Pi

-1 a. -1

1'} = ·-

216

(17.4)

Tok pr:zeprowadzania obliczeń zm1wz:eniowych Współczynnik

ten wynosi:

dla szkła dla stali w stanie ulepszon}'m cieplnie dla stali w stanie surowym dla stali w stanie wyżarzonym

dla żeliwa szarego

17 = 1, .,, =0,7+1,0, .,, = 0,5+0,9, 17 = 0,4+0,8, 17 ~O.

Wartości liczbowe współczynnika '! dla stali można odczytać z wykresu L8.9, dla stopów aluminium z.aś z wykresu 18.10, przy czym dla aluminium współ­ czynnik TJ 7.ależy od promienia dna karbu p. Po wyznacz.eniu współczynników a re (z wykresów 18.11+18.45) oraz rJ (z wykresów 18.9 lub 18.10) współczynnik karbu Pt wyraża się wzorem wynikającym z zależności (17.4)

(17.5)

17.1.4. Współczynnik stanu powierz:chni PP Współczynnik stanu powierzchni

pP określony jest wzorem

P = zg, /J

(17.6)

z

p

próbki gładkiej (polerowanej), Zp - wytrzymałość zmęczeniowa próbki o danym stanie powierzchni.

gdzie: Zg1 -

wytrzymałość zm~zeniowa

liczbowe współczynnika stanu powierzchni PP odczytać można z wykresów podanych na rys. 18.6 dla stali i 18.7 - dla żeliwa szarego z naskórkiem odlewniczym. Wartości

Dla cz.ęści toczonych można przxjąć: dla żeliwa (po usunięciu naskórka odlewniczego) dla duraluminium

dla stopów magnezu

PJJ = I, /)p =l , l+l,2,

pp =1,25+1,4.

W przypadku skręcania współczynnik stanu powierzchni jest dla stali znacznie mniejszy niż dla pozostałych przypadków obciążeń i oznaczony jest /JIM. Wartości liczbowe Pps dla stali można odczytać na prawej skali wykresu pcxlanego na rys. 18.6. Z braku bliższych danych dla innych metali można przyjąć j)ps ~ f3p·

17 .1.5. Zmęc:zeniowy współczynnik spiętrzenia

naprężeń

P

Lącmy wpływ działania uwzględnia się

karbu i stanu powierzchni danego elementu maszyn przez obliczenie współczynnika spiętrzenia naprężeń p, określo­

nego i.a.łeżnością 217

!I. Obliczenia

P=-

wytrzymałościowe w

przypadku

obciążeń zmęczeniowych

z

( 17 .7)

Z1rp

gdzie: Z - wytrzymałość zmęczeniowa próbki laboratoryjnej (próbka bez karbu, wypolerowana, o średnicy 7~ l o mm), zkp - wytrzymałość zmęczeniowa próbki z karbem o danym stanie powierzchni. Współczynnik p można obliczyć jako iloczyn współczynników cząstkowych: P=P/f;PP> co po podstawieniu wzoru (17.5) daje

P= U + TJ(ak -

l)JPp

(17 .8)

a wówczas wartość liczbową współczynnika spiętrzenia naprężeń dla konkretnych kształtów i wymiarów przedmiotu można obliczyć, korzystając z wykresów podanych w rozdz.18.

17.1.6. Współczynnik wielkości przedmiotu

r

Własności wytrzymałościowe określone

na podstawie prób statycznych w dustopniu zależą od wymiarów przedmiotu, a więc od grubości odlewów lub wyrobów walcowanych, a w jeszcze większym stopniu od grubości elementów poddanych obróbce ciepJnej. Również w przypadku obciążeń zmiennych wytrzymałość zmęczeniowa Z.., próbek o dużych wymiarach jest mniejsza od wytrzymałości zmęcz.en.i.owej nonnalnych próbek laboratoryjnych. Z tego powodu w obliczeniach zmęczeniowych wprowadza się współczynnik wielkości przedmiotu y, żym

określony zależnością

z zw

r=-

(17.9)

r

wartości

liczbowe współczynnika można odczytać z wykresów podanych Da rys. 18.1+18.5. Z braku bliższych danych takie same wartości jak dla zginania (np. dla stali) można stosować do rozciągania i skręcania, dla ściskania zaś przyjmuje się y-;;::::. 1.

17.l. Obliczenia zmęczeniowe w przypadku symetrycznych cykli obciążeń W przypadku symetrycznych cykli obciążeń obliczenia zmęczeniowe sprowadzają się do sprawdzenia warunku X1

218

z

= -0 - > x

Pr(ja -

:rw

(17.10)

Tok przeprowadzania

obliczeń zmęczeniowych

gdzie: x, - zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa; Zo - wytrzymałość zmę­ czeniowa przy naprężeniach obustronnie zmiennych (cykl symetryczny oscylujący, wahadłowy), dla danego stanu obciążeń, a więc: dla rozciągania i ściskania - Z,o, dla zginania - Zgo, dla skręcania - Zso· Wartości liczbowe Zro, Zgo oraz Zso dla różnych metali podano w tabl.19.4+19 . 14; aa - amplituda naprężeń nominalnych, w przypadku cyklu obustronnego (symetrycznego) równa naprężeniom maksymalnym, obliczonym z konwencjonalnych wzorów wytrzymałościowych; /3 współczynnik spiętrzenia naprężeń określony wzorem (17.8); r- współczynnik wielkości przedmiotu (z wykresów podanych na rys.18.1+ 18.5); X:w - wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa. Z braku bliższych danych dotyczą­ cych Xzw dla danego elementu maszyn można obliczyć orientacyjną wartość zmęczeniowego współczynnika bezpiecz.eństwa posługując się tabl. I.I, tzn. wyznacz.ając współczynnikJ cząstkowe i przyjmując Xrw :=::: x..,.

17.3. Obliczenia zmęczeniowe w przypadku niesymetrycznych cykli obciążeń 17.3.1. Wprowadzenie W przypadku cykli niesymetrycznych obliczenia zmęczeniowe sprowadzają się do sprawdzenia warunku (17.11)

gdzie: Z -

wytrzymałość zmęczeniowa, odpowiadająca

danym cyklom

naprężeń;

azlllM - maksymalne naprężenie zmęczeniowe, obliczone z zależności (17.12)

przy czym: a,,, -

naprężenia średnie

wych obliczona z

.zależności

Cfaz

cyklu,

Uaz -

amplituda

naprężeń zmęczenio­

=PYCTa

(17.13)

gdzie CT„ jest amplitudą naprężeń nominalnych. Po podstawieniu z.ależności ( 17 .13) do ( 17.12) otrzymujemy Cfzmax

= u m + Prua

(17.14)

17.3.2. Budowa uproszczonego wykresu Smitha Aby wyznaczyć wytrzymałość zmęczeniową Z, odpowiadającą danemu cyklowi naprężeń [wzór (17.11)], zastosujemy metodę wykreślną, budując w tym celu uproszczony wykres Smitha. W układzie współrzędnych am-CT (rys 17 .1) wyzna-

219

Il. Obliczenia wytrzymało.łciowe w przypadku

obciążeń zm~czeniowych

=

cz.amy położenie punktu A, odkładając na osi rzędnych OA Z0 , a następnie punkt B o współrzędnych ( 'Zi> 'Zi). gdzie Z;· - wytrzymałość zmęczeniowa przy naprc;:· żeniach jednostronnie zmiennych (odzerowo tętniących). Punkty te łączymy linią AB, a następnie prowadzimy prostą poziomą, odpowiadającą granicy płasty· czności Q(R.). otrzymując punkt M przecięcia się tej linii z prostą AB oraz punkt Gna prostej OG, poprowadzonej pod kątem 45° do osi Ou,,,. Otrzymaliśmy w ten sposób górną gałąź wykresu Smitha, złożoną z dwóch odcinków: AM oraz MG.

t

d....__ _ 1z--

2. -;j

-

Rys. 17.1

Wykres taki wystarcza do pr.zeprowadz.ania obliczeń zmęczeniowych dla materiałów plastycznych (stal, staliwo, metale kolorowe), w których przyjmuje się, że granica plastycmości na rozciąganie jest taka sama jak na ściskanie oraz stosuje się drugie z.ałoż.enie upraszczające, że zmęczeniowe naprężenia ściskające są tak samo niebezpieczne, jak i rozciągające. W przypadku więc gdy cykl naprccżeń zmienia się, np. od +40 MPa do -120 MPa, obliczenia zmęczeniowe dla takiego cyklu można przeprowadzać jak dla cyklu o naprężeniach maksymalnych +120 MPa i minimalnych -40 MPa, co na ogół niemacznie zwiększa pewność obliczeń (jeżeli z.achowany jest dostateczny współczynnik bezpieczeństwa ze względu na utratę stateczności). Przy tych założeniach punkt D, określający stan naprężeń przy danym cyklu obciąi,eń, majdzie się w obszarze OAMGO wykresu Smitha podanego na rys. 17.1. Położenie punktu D wyznaczane jest każ.dorazowo naprężeniem średnim a,,. = OC oraz naprężeniem maks)ltlainym

CD = CH +HD= u,,.+ U02 =

220

0-zntAX

(17.15)

Tok przeprowadzania obliczeń

17.3.3. Przeprowadzanie obliczeń Smitha

zmęczeniowych

za

zmęczeniolł-ych

pomocą

wykresu

Wyznaczenie wytrzymałości zmęczeniowej Z, odpowiadającej danemu cyklowi zmian naprężeń, tj. punktowi D na rys.17 .1, zależy od tego jak się będzie zmieniać naprężenie średnie a,,, i amplituda napręż.enia zmiennego er'" cyklu w miarę wzrostu obciążeń działających na oblicz.any element. Je.żeli przy wzroście obciążeń stosunek amplitud u ar do naprężeń średnich u,,, w danym elemencie będzie stały (a I u m = const), wartość wytrzymałości zmęcze­ niowej odpowiadająca danemu cyklowi określona będzie punktem Ki otrZ)lllanyrn na przecięciu się prostej poprowadzonej przez punkty O i D z prostą AM (rys. 17. l ). Zmęczeniowy współczymńk bezpiecz.eństwa Xz jest wówczas równy iloraz.owi QZ

r

Z

z

EK CD

=--'-=--' er.max

cyklu pozostaje stałe (er,,.= const), wytrzymałość zmęczeniowa odpowiadająca punktowi D jest okreś­ lona punktem K2 na rys. 17.1 i zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa wyra-

Jei.eli przy

wzroście

(17.16) obciążeń

naprężenie

średnie

ża się zależnością

(17.17) Poza wymienionymi wyżej dwoma zasadniczymi schematami wzrostu naprężeń w rzeczywistych warunkach pracy elementów maszyn mogą istnieć różnorodne przypadki iMych schematów wzrostu obciążeń, przedstawione na rys. 17. l dowolną krzywą

DK3.

W przypadku gdy punkt D, określający wartość naprężeń cyklu, znajdzie się w obszarze trójkąta PMG wykresu Smitha, zakreskowanym na rys. 17.1 (oznaczonym D' ), wówczas dla każdego schematu zmian naprężeń wytrzymałość zmęczeniowa jest jednakowa, równa Q, gdyż punkty L i, L2 i L3 wyznacz.ane w anaJogiczny jak poprzednio sposób znajdują się na linii MG. Oznaczenia Zo, Z1 oraz Q podane na rys. 17.1 dotyczą odpowiednich rodzajów obciążeń, a więc dla rozciągania Zro, Zr; oraz Q,, dla z.ginania Zz0 , ZED· oraz Qz, dla skręcania zaś Zso, Zsj oraz Q,. Wartości liczbowe tych wielkości dla różnych materiałów można odczytać z tabl.19. 1+19.14.

17 .3.4. Analityczne obliczanie współczynnika bezpieczeństwa pny stałym stosunku amplitud do naprężeń u~/a,,, = const Po wyznaczeniu równania prostej AB z rys. 17 .1 i wykorzystaniu zależności ( 17 .16) warunek wytrzymałościowy, jaki musi być spełniony w przypadku cykli

221

Il. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciążeń zmęczeniowych

niesymctrycmych o stałym stosunku amplitud do naprężeń wyraża się .zależnością (por. [17], rozdz. 4) X

z

2 .nru. +u. [ :,·



a-,,. =const, (17.18)

-f >x

0

=

CTaz I

przy czym musi być sprawdzony drugi warunek X=

z

praaQ+u,,, >xzw

(17.19)

17.3.5. Analityane obliczanie współczynnika bezpittzeństwa przy stałych naprężeniach średnich u,,. = const Obliczenia zmęczeniowe elementów pracujących przy cyklach niesymetrycznych o stałych naprężeniach średnich a-m = const sprowadzają się do sprawdzenia warunku wynikającego z z.ależności ( 17 .17) (por. [ 17], rozdz. 4)

Z +2CT [)- Zo) o

Xz --

"'

J

Praa +am

przy czym musi Xz

=

z.

-> Xzw

być spełniony

warunek

(17.20) ujęty

wzorem ( 17 .19)

Q ~Xzw /Jra" +u,,,

Ponieważ wymagania określone wzorem ( 17.20) są ostrzejsze od ujętych wzorem ( 17.18), przeto we wszystkich przypadkach, gdy brak jest bliższych danych dotyczących schematu wzrostu obciążeń, należy korzystać ze wzoru (l 7.20) oraz (l 7 .19). Oznaczenia użyte we wzorach (17.18)+(17.20): x, - zmęczeniowy współczyn­ nik bezpiecz.eństwa; Xrw - wymagany zmęczeniowy współczynnik. bezpieczeństwa (z braku bliższych danych można go ewentualnie obliczyć jako iloczyn współ­ czynników cz.ąstkowych Xzw =X1 Xz X3 X4 na podstawie ta.bi. 1.1); Zo - wytrzymałość zmęcz.eniowa dla cykli obustronnie zmiennych (symetrycznych) i danego rodz.a.jo naprężeń (tj. Zro, Zgo, Zko)(I), odczytana np. z tabl. 19.4+19.14; Ziwytrzymałość zmęczeniowa dla cyklu jednostronnie zmiennego i danego rodzaju

(t)

Właści"')'lll oznaczeniem dla tego przypadku jest symbol Z,c. Dla ujednolicenia ozna-

czeń pozostawiono Z;o.

222

Tok przeprowadzania

obliczeń zmęczenio wych

(tj. Z 11, Zg;, Z.q) odczytana np. z tabl. 19.4+19.14; u.., - średnia waność nominalnych (średnie napręż.enie cyklu); u(J - amplituda zmian naprężeń obliczona dla obciążeń nominalnych (bez uwzględniania spiętrzenia naprc;:żeń i wielkości przedmiotu); fi - współczynnik spiętrzenia naprężeń (wzór (17.8)]; r współczynnik wielkości przedmiotu (z wykresów podanych na rys. 18.1+ 18.5); Q- granica plastycmości materiału dla danego rodzaju naprężeń (tj. Qr, Qa lub Q.) odczyt.ana z tabl. 19.4+ 19.14 . naprężeń

naprężeń

Przykład

17.1. Obliczyć

wymaganą szerokość

obciążonego siłą osiową zmienną od

płaskownika

(rys. 17.2)

O do P rmx = 42 kN.

I

Rys. 17.l

Płaskownik został z.e stali St3 . Wymagany X:rw

wykonany w

piątej

klasie

chropowatości

zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństawa

i/ ),

( wynosi

= 1,5 . Rozwiązani e

wstępne. Szerokość płaskownika wyznaczamy z warunku, by maksymalne nie przekroczyły wartości naprężeń dopuszczalnych przy cyklu jednostronnie zmiennym (tętniącym), oznaczanych kl']

Obliczenia

napręż.enia

p

p

Fmin = g(b-d)~~. stąd b"2.~+d lcrj gkrj Dla stali St3 wartość naprężeń dopuszczalnych krt znajdujemy z tabl. 19 .4 : k.; = (65+ 100) MPa = (65+100) N/mm2. Do obliczeń wstępnych przyjmujemy wartość ki; = 65 MPa

42000

b ~ - - + 30 = 32,4 + 30 = 6 2,4mm 20-65 Przyjmujemy b = 63 mm (rys. 17.2). Obliczenia sprawdzające. Najbardziej niebezpiecznym przekrojem jest przekrój I -I płaskownika. Obliczamy naprężenia maksymalne w tym przekroju U:

-

=

pmax g(b - d)

=

42 OOO

= 64 MPa

20(63 - 30)

223

li. Obliczenia

wytrzymałościowe w

Naprężenia minimalne O"min

er --

"'

O'max

przypadku

=O, a

obciąteń zmęczeniowych

naprężenia średnie

+ O"min -- -64 + O- 32 MPa 2 2

Amplituda cyklu ma wartość

64-0 32 MPa a-a -- am..,. 2-ermin - -2- Istotną sprawą jest

ustalenie, jak zmieniają się wartości am i a-a przy zmianie od zera do p max, jest siłą tętniącą, wydaje się więc, że zwiększenie obciążenia płaskownika może nastąpić poprzez wzrost siły P max, przy zachowaniu wartości minimalnej równej zeru. Przy zmianie obciążenia zmieni się zarówno wartość a=, jak też naprężeń średnich er,,. i amplitudy cra, natomiast stosu· nek a,,,laa = 1 pozostanie wartością stałą: a,,.lua const. Jest to więc cykl o stałym stosunku naprężeń średnich do amplitudy i dla obliczenia zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa skorzystamy ze wroru (17.18) (wzroście) obciążenia. Ponieważ siła obciążająca płaskovvnik, wzrastająca

=

Wartości wytrzymałości zmęczeniowej

dla stali St3 przy

różnych

cyklach

znajdujemy w tabl. 19.4

Zro = 130 MPa,

z„ = 210 MPa

Obliczymy następnie wartość współczynnika spiętrzenia naprężeń re wzoru (17.8)

P=[l+11(a„ - t)]Pp gdzie: PP - współczynnik stanu powierzcłmi (rys. 18.6). Dla stali St3 o wytrzymałości doraźnej na rozciąganie R, 400 MPa i dla 5 klasy chropowatości powierzchni /Jr, = 1, 1; 17 - współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu (rys. 18.9). Dla stali St3 o Zga = 170 MPa, w stanie surm111ym, 1'J = 0,66~ at - współczynnik kształtu dla rozciąganego płaskownilra z otwo30 rem. Dla stosunku dlb = - = 0,475 z wykresu na rys. 18.38 odczytano 63 a1c=2,2. W spółczyrmik spiętrzenia naprężeń wynosi więc

=

224

Tok przeprowadzania obliczeń zmęczeniowych ł;

~

. 1" ~

~

~ ~

f ~ fil

p = (I +0,66(2,2-1)] · ł,l = 1,98 Współczynnik

y jest współczynnikiem wielkości przedmiotu dla stali o Zg0 = 170 MPa, ak = 2,2 oraz pola powierzchni przekroju poprzecznego F = 20(63 - 30) = 660 mni2. z wykresu na rys. 18. 1 odczytujemy r= 1,2. Po podstawieniu danych zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa obli-

czony według wzoru ( 17 .1 8) ma wartość

"~~

~

Xz

~ ~

[

!' '-

f s r: ~

„·

130

)

1 98 · I 32 + 32 ( 2 · - l • ~ 210

~ ?: ~

130

=

Jednocześnie należy sprawdzić

Xz

=

Q,

Prua +u,,,

=156 > 1,5 •

drugi warunek, wyrażony wzorem ( 17. l 9)

>X zw

gdzie Q, - granica plastyczności przy rozciąganiu. Dla stali St3 z tabl. 19.4 odczytujemy Q, =240 MPa. a .zatem X

240 = = 222>15 z 1,98. 1,2. 32 + 32 ' '

Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa,

jako równy mrueJszeJ z dwu obliczonych powyżej wielkości. wynosi Xz = 1,56 i jest większy od wymaganego

zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa

x,... = 1,5, a zatem

płas­

kownilc może pracować bezpiecznie. Przykład

17.2. Sprawdzić wytrzymałość zrnęcmllową pręta przedstawionego na rys. 17.3, rozciąganego siłą zmienną od Pmm.= 90 kN do PrrB1i. =150 kN. C~ć została wykonana w siódmej klasie chropowatości, ze stali St45 w stanie

normalizowanym; pęknięcie pręta spowoduje uszko&en.ie maszyny.

I • I

p

: 11 o p ·- - ·-Ttt -·li' -+-..... I· I

c::!

il'

Al Rys. 17.3

225

Il. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

obciqień zmęczeniowych

Ro z wiąz a n ie: Niebezpiecmyrn przekrojem pręta b~ic przekrój A-A, którego pole powierzchni wynosi

7tD2 4

2

~ - - -dD

F

n· 50 =- - IO· 50 ~ 1460 mm2 4

Naprężenia minimalne i maksymalne wynoszą odpowiednio

= pmin = 90 OOO = 61 6 MPa

F

o-min

= pmax

er max

a

1460

F

'

= 150OOO=102 6 MPa 1460 '

napręż.enia średnie

i amplituda napręż.eń cyklu mają wartość

=O'max + O'min = 102,6+61,6 =818 MPa

U

2

m

2

'

= u.,,111 -o-min = 102,6-61,6 = 20 5 MP

u a

2

2

Własności wytrzymałościowe

Z,.,,= 210 MPa, R, = 650 MPa.

'

stali St45 znajdujemy w tabl. 19.5:

Z„ = 360 MPa,

Q, = 420 MPa,

Z8 o

= 280 MPa.

Współczynnik 17 wrażliwości materiału na działanie karbu (z rys. 18.9) dla stali Z80 = 280 MPa w stanie normalizowanym (wy.tarzanym) wynosi = 0,62. Współczynnik kształtu a1c znajdziemy z wykresu na rys. 18.23. Promień minimalny dla stali o R, =650 MPa wynosi z rys. 18.8 Pm= 0,57 mm, więc obliczeniowa średnica otworu jako równa sumie średnicy konstrukqjnej d i podwójnego promienia minimalnego W)TlOSi



do =d +2pm = 10 + 2·0,57 ~ 11 mm

Dla stosunku djD = !! 50

=0,22 znajdujemy z wykresu na rys.

18.23

waność

a1c = 2,26. Współczynnik stanu powierzchni PP dla stali o R, = 650 MPa i dla siódmej chropowatości powierzchni wynosi według wykresu na rys. 18.6

klasy

Pp= 1,13. Współczynnik spiętrzenia naprężeń

226

pobliczamy na podstawie wzoru (17.8)

Tok przeprowadzania obliczeń

P= (1 + rl.._a" - t) )PP ; [1 + 0,62 ( 2,26 i)

li

f



i.

:~

zmęczeniowych

t)] ·1,13 = 2,02

Współczynnik wielkości przedmiotu r znajdujemy z rys.18.1; dla stali o Zgo = 280 MPa dla części o współczynniku kształtu ak = 2,26 i o polu powierzchni przekroju F= 14,6 cm2 cxlczytujemy r= 1,41. Z charakteru zmienności siły P nie można stwierdzić, jak zmieni się cykl naprężeń przy zmianie obciążenia. Nie wiemy zatem, który wwr należy zastosować: (17.20) - dla cyklu o stałym naprężeniu średnim am, cey ( 17.18) - dla cyklu o stałym stosunku naprężeń średnich do amplitudy am I aa = const. Obliczymy wobec tego zmęczeniowe współczynniki bezpieczeństwa z obu przytoczonych wyżej wzorów. Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa dla cyklu o stałym naprężemu średnim a,,, ma wartość obliczoną ze wzoru (17.20)

zro +2am(1- ~ro) =

X z

pya11 +a,.,

'I

210 + 2·81,8(1 -

=

210 ) 360

2,02·1,41· 20,5+ 81,8

Należy jednocześnie sprawdzić

=



Qr

/3raa+a,.,

=

'

drugi warunek określony wzorem ( L7.19) -

zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa względem X

=l 96

420

granicy

plastyczności

=3 0

2,02·141·205+818'

Gdyby cykl naprężeń był cyklem o stałym naprężeniu średnim am, zmęczenio­ wy współczynnik bezpiecz.eństwa miałby wartość mniejszą z wyżej obliczonych Xz1 = 1,96. Dla cyklu o stałym stosunku naprężeń średnich do amplitudy a",la„ = const zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa należy obliczyć ze wzoru (17.18)

zro

x, =

Pr<7.

+<7.(

i wybrać mniejszą z Gdyby cykl naprężeń

=

2 :;

-1)

210

2·210 ) 2,02 · l,41·20,5 + 81,8 ( - - - 1 360

=289 '

wartości

otrzymanych ze wzorów (17 .18) i (17 .19). jako cykl o stałym stosunku O'mfO'a = const, zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa wynosiłby rz2 = 2,89. Ponieważ w danym przypadku nie wiemy, jaki charakter ma cykl naprężeń, więc z z.asady wybieramy rozwiązanie bezpieczniejsze i do obliczeń preyjmujemy mniejszą z wartości zmC(czeniowego współczynnika bezpieczeństwa, traktować

227

Jl. Obficzenia wytrzymało~ciowe w przypadku obciąuń zmęczeniowych

czyli dla cyklu o stałym naprężeniu średnim u,,. obliczoną ze wzoru ( l 7 .20) i (17.19): x 1 ::::xz1 = 1,96. Wartość tę należy porównać z wartością wymaganego zmęczeniowego współczynnika bezpie.czeństwa, w braku bliższych danych obliczonego na przykład z tabl. l. 1: - dla obliczeń metodami o zwykłej dokładności i dla znanego gatunku stali przyjmujemy wartość współczynnika pewności X1 = 1,3; - zniszcz.en.ie części spowoduje uszkodzenie maszyny, więc współczynnik ważności przedmiotu x 2 ma wartość x2 == 1,2; - dla materiału walcowanego współczynnik jednorodności wynosi X3 = l,l; - ponieważ dokładna kontrola geometrii kształtu (np. przecinanie się osi otworu i osi pręta) po obróbce skrawaniem jest utrudniona, bierzemy górną wartość współczynnika zachowania wymiarów x 4 = 1, I . Wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa wynosi X.,.= X i X2 X3

Ponieważ Xz

X4=1,3·1,2·1,J · 1,1

= l,89

= 1,96 > Xzw = 1,89,

więc wytrzymałość zmęczeruowa pręta

przedstawionego na rys. 17.3 jest dostateczna.

17.4. Obliczenia

zmęczeniowe

w złożonym stanie naprężeń

17.4.1. Obliczenia wytnymałościowe w przypadku zmęczeniowego rozciągania i zginania W przypadku występowania nakładających się na siebie (tj. jednakowo skierowanych) naprężeń normalnych od rozciągania i od zginania wyznaczamy amplitudę CTaw cyklu wypadkowego ze wzoru empirycmego

zao

(17.21)

u"'"' =Pgrxcrag +z-/3,r,u"" ro

W przypadku cyklu obustronrue zmiennego (symetrycmego)

czynnik bezpieczeństwa wyrazi X

:

się

zmęczeniowy współ­

wzorem

= Zgo

(17.22)

a„,..

Dla dowolnego cyklu naprężenie średnie cyklu wypadkowego (17.23) współczynnik bezpiecz.eństwa z.aś jest określony zależnościami: a) jeżeli przy wzroście obciążeń amplitudy naprężenia są proporcjonalne do naprężeń średnich

228

ualam =const, według wzoru (17.18)

Tok przeprowadzania obliczeń zmęczeniowych

Xz

=

(17.24)

b) jeżeli naprężenia średnie cykli są stałe przy wzroście obciążeń (CT,,,= const) oraz dla przypadków, gdy nie ma pewności, że słuszny jest schemat a 0 !rr,,, =const, według wzoru (17.20)

(17.25) przy czym w obu powyższych przypadkach na.Jeży wyrażony wzorem analogicznym do wzoru ( 17.19) Xz

Qg

= O'aw

+CT,,,.,,

również sprawdzić

~ Xzw

Jet.cli amplitudy naprężeń od rozciągania O'ar są znacznie większe od wzoru (17 .21) można stosować analogiczny wzór przybliżony, napręźenia od zginania do naprężeń od rozciągania

warunek

(17.26)

CTag,

zamiast

redukujący

(17.27)

a następnie przeprowadzać obliczenia według wzorów (17.22)+(17.26), w których .zamiast własności dotyczących zginania należy podstawić. odpowiednio Zro. Zr;, Q„. Oznacz.enia we wzorach (17 .21 )+(17 .2 7): u 0 , - amplituda napręż.eń nominalnych przy rozciąganiu; O'ag - amplituda naprężeń nominalnych przy zginaniu; Um8 , u,,,, - nominalne naprężenie średnie przy rozciąganiu, zginaniu; Pn Pa współczynnik spiętrzenia p naprężeń rozciągających, zginających (jak wynika z rys. 18.11+18. 45, współczynniki p przy rozciąganiu mają nieraz inne wartości niż przy zginaniu); y„, Yg - współczynniki wielkości przedmiotu (na ogół Ya = y, == y); Z6 o, Z61 - wytrzymałość zmęczeniowa danego materiału na zginanie (obustronne, jednostronne); z,„ - wytrzymałość zmęczeniowa materiału na obustronne (symetryczne) rozciąganie-ściskanie; CTaw, O'mw - amplituda i naprężenie średnie cyklu wypadkowego; Q,, Qg - granica plastyczności (na rozciąganie, zginanie); x,„ - 'vymagany zmęczeniowy współczynnik. bezpieczeństwa, w braku bliższych danych obliczony z tabl. 1. 1.

229

II. Obliczenia

wytrzymałościowe w

przypadku

obciąteń

zm(czeniowych

17.4.2. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęueniowego działania naprężeń normalnych i naprężeń stycznych W przypadku jednoczesnego działania naprężeń normalnych u od rozciągania, lub zginania oraz naprężeń stycznych r od skręcania lub ścinania obli· czenia zmęczeniowe sprowadzają się do sprawdzenia warunku (por. [ 17], roz.dz. 4) ściskania

(17.28) gdzie: Xz„ - współczynnik bezpieczeństwa dla rozciągania (lub zginania czy ściska· nia) obliczony ze wzoru (17.10) (gdy występuje cykl symetryczny) lub ze wzorów (17.18)+(17.20) (dla cykli niesymetrycznych); xu - współcZ}'llilik bezpieczeństwa dla skr~a (lub ścinania), obliczony ze wzorów (17.10) lub (l 7.18)+(17.20), w których zamiast naprężeń normalnych unależy wstawić naprężenia styczne r.

Pnyklad 17.3. Obliczyć

zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa dla i zginanego, przedstawionego na rys. 17.4. Moment gną.cy wynosi Mi = ±2000 N· m, a moment skręcający zmienia się od zera do Ms= 4500 N·m. Wał jest wykonany ze stali St35 w stanie normalizowanym. wału skręcanego

Ry1. 17.4

Ro z wiąz a n ie. Dla obustronnie zmiennego cyklu zginania żenie średnie CTing

u„8

wału naprę­

= O, a amplituda naprężeń M, 32Mg = - - 3W nd

= uamax =-

=

32·2000· 103 x·803

= 39,8 MPa

Dla jednostronnie zmiennego cyklu skręcania naprężenie średnie t.., równe jest t'a i równe połowie naprężeń maksymalnych

amplitudzie t

=t

"'

"

=.!.r =_!_16M„=16·4500·103 ~224MPa 2 max 2 rtd3 2rt·803 '

Własności wytrzymałosciowe

230

stali St35 są następujące (według tabl. 19.5):

Tok pnepro1111adzania obliczen zm(cz1miowych

R,= 550 MPa,

Z8 „ = 250 MPa,

Zg1 = 421 MPa,

Qg =430 MPa,

Z.., = 150 MPa.

Z,1 = 300 MPa,

Q„= 230 MPa. Według

wykresu z rys. 1&.8 dla stali St35

p'" = 0,65 nun,

więc

promień

minimalny

p == Pk + p,,. =8 + 0,65 "" 8,65 mm

Dla stosunków D __ 100 = l , 2J d 80 '

oraz

p

8,65 80

- = - - = O Il

d

'

odczytujemy wartości współczynników kształtu a k: dla zginania z wykresu na rys. 18.12 a.c1 =1,6, dla skręcania z wykresu na rys. 18.13 a1a""" 1,35. Współczynnik wrażliwości TJ= 0,6 (z rys. 18 9), a współczynniki stanu powierzchni (z rys. 18.6) dla zginania f3p i dla skręcania /3JU (dla dziewiątej klasy chropowatości) mają wartości PP= 1,06 i /3ps =1,03. W spółc.zynniki

spiętrzenia naprężeń według

wzoru ( 17.18) wynosz.ą

Px "" [l + 11(atg - l)]PP =[ l + 0,6(1,6- 1)]· 1,06 := 1,44

Ps= [1+ '7{au - l))Pps = [ 1+0,6 (1,35- t)) · 1,03 = 1,25 Z wykresu na rys. 18. l odczytujemy dla at1 = 1,6 współczynnik wielkości przedmiotu yg = 1,45, a dla a 0 = 1,35 współczynnik y., = 1,35. Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa dla cyklu wypadkowego obli· czymy ze wzoru (17.28)

gdzie: x,s - zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa z uwzględnieniem tylko zginania, Xzs - zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa z uwzględnie­ niem tylko skręcania. Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa xlg obliczony (dla cyklu symetrycznego) ze wzoru ( 17. I O) wynosi

=

x

ra

zflO

Pgr zuag

=

250 1,44 · l,45. 39,8

Ponieważ stosunek r,,, I r„ czeństwa

=3 o3 '

=

const, więc zmęczeniowy współczynnik bezpiex,... oblicz.aJlly ze wzoru ( 17 .18)

231

wytrzymalościowe

Jl. Obliczenia

x,,.

w przypadku obciążeń zmęczeniowych

150

= 2·150 ) 2 P.r. r. +r.( :;· -1) l 25 · l 35 · 22 4 + 22 4 ( - - - - I

=

,

'

'

'

;;;:; 4 o

'

300

i ze wzoru (17.19)

=

X zs

Qs PsYsT" + rm

=

230

= 3 81

l,25·135·224+224

'

Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa

dla skręcania jest równy mniej-

szej z otrzymanych wartości i wynosi Xzs = 3,81. Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa

X =

:

X,8 Xzs

~x;g +

=

x;s

3,03 · 3,8 J 2

~3,03 + 3,812

=

obliczanego wału ma wartość

2 35 '

Wartość

ta musi być większa od wymaganego współczynnika bezpieczeństwa x,..... (obliczanego na przykład z tabl. 1.1).

17.5. Wytrzymałość zmęczeniowa żeliw, staliw i metali nieżelaznych

17 .5.1.

Wytrzymałość żeliw

W odróżnieniu od innych metali stosowanych w budowie maszyn żeliwo charakteryzuje się tym, że ma znacmie wyższ.ą wytrzymałość na ściskanie niż na rozciąganie, a ponadto nie podlega prawu Hooke' a, gdyż ma zmienną - w zależ­ ności od naprężeń - wartość modułu Younga E. Z tej właściwości żeliwa wynika następna cecha, a mianowicie: oś obojętna przy zginaniu nie przechodzi w żeliwie przez środki ciężkości przekrojów poprzecmych, jak na przykład w przypadku innych metali. Dokładne obliczenia naprężeń rozciągających i ściskających przy zginaniu żeliwa są więc dość kłopotliwe (por. [18), str. 399). W praktyce przyjmuje się na ogół założenie upraszczające, że wszystkie obliczenia dla żeliwa prowadzi się tak jak dla materiału podlegającego prawu Hooke'a, natomiast specyficme własności wytrzymałościowe żeliwa uwzględnia się przez przyjęcie macznie wyższego naprężenia dopuszczalnego na zginanie. O ile w materiałach podlegających prawu Hooke'a w zasadzie kg= k,, o tyle dla żeliwa przyjmuje się (por. uwagi do tabl.19.11):

kg = 1,5 k, - dla przekroju prostokątnego, ks = l, 7 k, - dla przekroju kołowego, kg = l,4k, - dla przekroju dwuteowego.

232

Tok przeprowadzania obliczeń

zmęczeniowych

Naprężenia

dopuszczalne na ściskanie przyjmuje się kc= 2,5kr, a wytrzymana ściskanie Re= (3+4)Rr Ponieważ żeliwo jest materiałem kruchym, wydłużenie As i::! O, zatem w obliczeniach nie należy stosować wrorów Hubera, lecz wzory oparte na przykład na hipotezie największych wydłużeń (por. p. 2.6), a więc na naprężenie dopuszczalne na skręc.anie lub ścinanie należałoby przyjąć ks= 0,11kr (nie zaś 0,578 k,, jak dla materiałów plastycznych). Uwzględniając ponadto znacznie większą wytrzymałość na ściskanie, przyjmuje się dla żeliwa naprężenia dopuszczalne na skręcanie ks= 1,2 kr. Współczynniki bezpieczeństwa dla żeliwa przyjmuje się dość duże, przeważnie w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie R,. Tak na przykład w obliczeniach naczyń ciśnieniowych przyjmuje się dla żeliwa współczynnik bezpieczeństwa na rozciąganie x, =7 przy stosowaniu konwencjonalnych wzorów wytrzymałościowych, a więc naprężenia dopuszczalne na rozciąganie wynoszą łość

k r =R,=R'=014R • r

x,

7

Zbiorniki ciśnieniowe są często narażone na zmiany temperatury, a ponadto stanowią obiekty zagrażające - w razie wybuchu - poważnym wypadkiem, przeto wartość r, = 7 można traktować jako dostatecznie dużą i w nmiej cxipowiedzialnych konstrukcjach przyjmować nieco niższ.e wartości, np. X;= 5+7, a więc

k, =(0,14+0,2)R, Uwzględniając

fakt, że żeliwo ma znacznie większą wytrzymałość na ściskanie niż na rozciąganie, w obliczeniach zmęczeniowych nie można posługiwać się tylko górną linią wykresu Smitha (tj. linią AMG według rys.17.1), jak to się stosuje dla wszystkich materiałów o jednakowych własnościach wytrzymałościowych na rozciąganie i ściskanie. Nie wolno więc zmieniać znaków naprężeń maksymalnych w przypadku, gdy bezwzględna wartość naprężeń ściskających jest większa od bezwzględnej wartości naprężeń rozciągających: jo-mini> IO'maxi, lecz wytrzymałość zmęczeniową odczytywać należy wówczas na dolnej gałęzi wykresu Smitha.

Wykres Smitha dla żeliwa sz.arego Zl 25 Opodano na rys. 17.5. Własności wytrzyzamieszczono w tabl. 19.11. W przypadku działania obciążeń zmiennych żeliwo wykazuje minimalną wraż­ liwość na działanie karbu (17 ~O). Dalszą cechą żeliwa jest dui.a zdolność tłumie­ nia drgań. Nie należy jednak zapominać, że żeliwo jest materiałem kruchym (As~ O) i wszelkiego rodzaju udarowe działanie sił może łatwo spowodować miejscowe przekroczenie wytrzymałości i zapoczątkowanie pęknięcia doraźnego lub zmęczeniowego. Z tego powodu współczynniki bezpieczeństwa dla żeliwa przy obciążeniach stałych przyjmuje się .za.zwyczaj dwa razy większe niż dla stali. małościowe żeliw

233

II. Obliczenia wytrzymalo.kiowe w przypadku obciążeń zmęczeniowych

Oblicz.cni.a zmęczeniowe dla żeliw należy przeprowadzić analogiem.ie jak dla stali, korzystając z odpowiednich wwrów ogólnych i z wykresów zmęczeniowych. Współczynnik wrażliwości na działanie karbu dla żeliwa szarego Zł 150 można przyjąć 71 =O; dla żeliw szarych Zł 200 do Zł 400 7.aleca się przyjmować 71 = O, I, dla żeliw sferoidalnych z.aś i modyfikowanych 17 =0,2. Współczynnik wielkości przedmiotu y dla żeliwa należy odczytywać z wykresu na rys. 18.3 dla zginania i rozci~ania, natomiast z ·wykresu na rys. 18.4 dla skręcania. Dla ściskania można przyjąć r = 1. Współczynnik stanu powierzchni /J, d MPa

300

~ wykres Smitha dla 600

żel.iwa

200

Zl250

500 200

I

I I

/



/



/

/

/

.,,,

I /

/'

"

L-....L..;L/~-'-~~~~--A-~~'--~-'-~---' 600

Rys.

234

17.~.

Wykres Smitha dla żeliwa szarego Zl 250

4,,

Tok przeprowadzania obliczeń należy odc.eyiać

z wykresu na rys.18. 7. Wymagany

:zmęczeniowych

zmęczeniowy współczynnik

bezpieczeństwa X:w, obliczony na przykład na podstawie tabl. 1.1, należy dla .żeli­ wa powiększyć o I 00%.

17.5.2. Obliczanie wytrzymałościowe staliw Wszystkie obliczenia wytrzymałościowe i zmęczeniowe staliw wykonuje się analogicznie jak dla stali, na podstawie odpowiednich wzorów wytrzymało­ ściowych i wykresów zmęczeniowych współczynnik wielkości prz.cdmiotu r należy odczytać z osobnego dla staliwa wykresu na rys.18.2, a wpływ naskórka odlewniczego - w celu zwiększenia pe'Mlości obliczeń - z wykresu na rys .18. 7. Dla obciążeń stałych przepisy Dozoru Technicznego (24) obowiązujące w zakresie zbiorników ciśnieniowych nakazują przyjmować współczynniki bezpieczeń­ stwa o 40% wyższe niż dla stali. Jest rzeczą wskazaną przyjęcie tego rodzaju zalecenia również dla wszystkich innych przypadków obliczeń, w tym także dla obliczeń zmęczeniowych. Wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa Xzw, obliczany na przykład z tabl. 1.1, należy więc dla staliwa powiększyć o 40%.

17.5.3. Wytrzymałość stopów lekkich Główną zaletą stopów aluminium i magnezu jest ich mała gęstość, dość duż.a i odporność na działanie czynników atmosferycznych. Stopy aluminium są produkowane w dwóch rodzajach: stopy odlewnicze, zawierające zazwywytrzymałość

czaj dość dużo krzemu (4+23%), oraz stopy do obróbki plastycznej. Ponadto znajduje zastosowanie aluminium technicmie czyste. Własności wytrzymałościo­ we częściej stosowanych stopów aluminium podano w tabl. 19.12. Wszystkie stopy aluminium poddaje się z zasady obróbce cieplnej, polegającej na nagrz.aniu do około 500°C i studzeniu w wodzie. Operację taką nazywa się przesycaniem. Otrzymany tym sposobem stan stopu nie jest stały, własności wytrzymałościowe niektórych stopów z biegiem czasu polepszają się. Procesy te noszą nazwy: a) starzenie naturalne (samorzutne) lub samoulepszanie - odbywa się samorzutnie podczas przebywania stopu w temperaturze otoczenia; b) starzenie sztuczne - stop wygrzewa się w temperaturze 120+200°C i studzi. Po przesyceniu i starzeniu stopy aluminium można wyżarzać. Rozróżnia się wyżarzanie:

a) zmiękczające w temperaturze 280+400°C,

b) rekrystalizujące w temperaturze 270+350°C, c) odprężające w temperaturze 150+ l 70°C. Charakterystyczną cechą stopów aluminium, wyróżniającą je spośród innych meta.li stosowanych w budowie maszyn, jest to, że niektóre stopy nie mają w ogóle nieograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej, a niektóre osiągają wytrzymałość nieograniczoną dopiero po bardzo dużej liczbie cykli, np.108 lub 1010 .

235

li. Obliczenia wytrzymafolciowe w przypadku

obcią~eń zmęczeniowych

3()().--~~~--~~~~.--~~~~~~~--.

k„rywr! Wóhfera

dMPo

dla st,optiw aluminium

250t--.o;:---~~--t..~-=-~~1--~~~--r-~~~~

.........~~~~..._~~~..........~~~----

o.__~~~

104

1a5

106

107

11!n

li.crba cg/di Rys. 17.6

Na rysunku 17.6 podano przykładowo krzywe Wohlera dla trzech stopów aluminium [6] o składach chemicznych zbliżonych do PA9, PA7 oraz AG51, a następnie dla aluminium A2 (99,2% Al). Jak widać z rys .17.6, krzywe Wohłera dla stopów do obróbki plastycznej PA9 (6% Zn, 2,5% Mn. 1,34% Cu) oraz PA7 8 (4,25% Cu) wykazują tendencję do dalszego obniżania się nawet przy liczbie 10 cykli.. Z tego względu W}1rzymałość zmęczeniową stopów aluminium określa się z z.asady podaniem odpowiadającej liczby cykli (por. tabl. 19.12, kolumna 13). Stopy aluminium charakteryzują się miM innymi tym, że mimo takiej samej wytrzymałości na rozciąganie R,, wytrzymałość zmęczeniowa wykazuje dość duży rozrzut i np. Zgo może \\
236

Tok przeprowadzania o/Jliczeń

zmęczeniowych

dla duraluminium A,:::: l,l+l,2, dla stopów magnezu PP= 1,25 +1,4. Dokładniejsze obliczenia zmęczeniowe można zatem przeprowadzać, opierając się na danych doświadczalnych dotycz.ących w zasadzie danego stopu, przy tym odlewanego lub walcowanego w danych wanmkach technologicznych, a ponadto dla elementów o danych W}llliarach i zmianach kształtu. Wszelkie inne obliczenia, prowadzone na przyl
W podwyższonych temperaturach, które dla stopów lekkich zaczynają się od 60°C, obliczenia wytrzymałościowe i zmęczeniowe należy przeprowadzać z uwzględnieniem własności omówionych dokładniej w rozdz. 16.

17.6. Obliczenia zmęczeniowe elementów dźwignic Jak wspomniano w p. 1.7, wydawane ostatnio nonny wprowadzają metodę stanów granicznych jako obowiązującą w zakresie obliczeń wytrzymałościowych stalowych konstrukcji budowlanych, dźwignicowych itp. Norma [39), obowiązu­ jąca w zakresie stalowych ustrojów dźwignic, wprowadza trzy stany graniczne, w tym stan li dotyczy obliczeń nnęczeniowych. W normie tej podano tok postępowania i pełny zestaw wzorów do obliczeń .zmęczeniowych z uwzględnie­ niem liczby cykli zmian naprężeń, stopnia asymetrii cykli, grup natężenia pracy dźwignic itp. Tak więc obliczenia zmęczeniowe elementów stalowych ustrojów dźwignic należy przeprowadzić na podstawie wzorów podanych w p. 3.3 powyż­ szej normy, stanowiących praktyczne zastosowanie ogólnych metod i wzorów zmęczeniowych omówionych w p . 17.1+17.4.

I I I I I I/TJ I I ---~~~· - a ~ ..oo

~ :I

1,8

i

1,al

I

I

I

V

I /

I :A

I

I

---c ~ =-_.....r~ ---~_.....

,,,............, 1.1

1,6

1,5

L

~~/~l-::;-;1-l~ L __.--~ '"l__;P--~~::::;;ł ' -,..,..........~--:~bo-P""'-~ '---11 , 1.71 ~~~-L~-1-~+-~~' I I I ',--------.~r+~rL_~ r r ;r 71 F ~ ~

14

I

1.61

I

151

I/ r

/

r;

/

V ,,,.,

:A" . , r ~·

!:A

'I

T7,~7V~

I

1,4 I

/ V / ~ ,.. / I .-' 7"1~7/~~ I

1,3!

//I/ A

.,.4

b/

I ~

ł

I

b-1 I !=-I

:J/'"

I

I........ ~

:=-1.........-: I

-T

I

~.

=4-1,3

I

~

~ (1,2

J..- _..r

· 1,1

i 1,0

vkfREff O -

F cm2

20

1

Rys. 18.1.

30

s

g ::s = ~ „.

-·8 "'~

"O

ie

„.

~

/,.:c,c,,.c „c1

1,21

-=~-

„.

I

40

io

Współczynnik wielkości

50

20

I

„ ,...I

60 70 BO 90 100 30 40 5-0

150 ·~o

200

1 1 [

zoo

150

I.. I.t. .I. I „

200



300

400

.

500

lg~ MPa

400

przedmiotu y dla elementów stalowych. Przyklad: dla Z1 o = 34() MPa, at= 1,5 oraz

d = 50 mm odczytujemy y = 1,34 (wg [ 14})



N

~

llh ~

::!:=-- ...........I

I

~

~

QC

"'I!

~ t')

N

~

=

~

1l

e-· '< .....

~n

~

Q

~

e

=- ~ ~

= ~

~

o

--· er

n

N

~

= -· n =~

18. Wykresy slQsowane w obliczeniach

1

2p /

1.B 1,6

1,2

I I

/

~

:=męczen iowych

---

/

100

50

200 d mm

150

Rys. 18.2. Wspókzynnik wielkości pnedmiotu y dla zginanych c:zęści wykonanych ze staliwa

1

1.S 1,4

1,3 1,2

1,1

1,0

10

20

30

40

d mm

50

Rys. 18.3, WspółcZ)nnik wielkości przedmiotu r dla zginanych elementów żeliv.nych

239

Il. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obciążeń zm(CZimiowych

1,41----t-- - - - - + - - --

--+

1P'--~~10"""""_._..........._20,.__._._......_~30__._.........._._~40...._..........._,_....__,so

d mm Rys. 18.4. Współczynnik wielkości prz.edmiotu r dla skręcanych elementów żeliwnych

I

1,4 1,3

1,Z

1,1

f

)

~

I

I

f......z J
./

/'.,15

_/

~

,,-
20

25

30

35 40

50 d mm

Ry~. 18.5. Współczynnik wielkości przedmiotu y przy skręcaniu i zginaniu elementów wykonanych ze stopów lekkich

240

18. Wykres.v stosowane w obliczeniach :zmęczeniowych

18.2. Współczynniki stanu powierzchni p,,, wrażliwości T/ oraz promienie minimalne Pm

~

~

~t--~--1,.-~--1,.-~--1r--~~r--~~.__~~~1/

500

900

1100

1500

1300

Rr

Rys. 18.6. oraz

Współczynnik

skręcanych

1,0

MPa.

stanu powierzchm dla stalO\.vych O.Ri

części rozciąganych

i zginanych f3p

l()j

I.~]

l1J

f3p,, I - obróbka s1.!ifowaniern ( v ), 2 - staranne toczenie ( v

7

V' ),

~j

J - zwykłe toczenie ( V + V ), 4 - ostry karb o kącie rozwarcia 60° i głębokości O, I nun na próbce o średnicy 0 7,5 mm, 5 - część pok.ryta naskórkiem walcowniczym

241

II. Obliczenia

wytrzymałościowe w

150

przypadku

300 Rr MPo.

250

200

Ry1. 18. 7. Współczynnik stBnu powierzchni odlewniczym

ohciąteń zmęczeniowych

PP dla części z reliwa szarego, pokrytych naskórkiem

Pm

mm "'" 0,7 0,6

" "''

0,5 0,4

"' ""

~

........

"-...r--....... "-... .............._

0,3

500

Rys. 18.8.

242

700

Promień minimalny

900

1100 Rr t-f'il

graniczny p„ dla stali konstrukcyjnych

18. Wykresy stosowane w obliczeniach zmęczeniowych

100

300

200

400

500

Zr;o MPa. Ry~.

18.9. Współczynnik wrażliwości na działanie karbu '1 dla stali konstrukcyjnych

~

0,8

I/

0,6

.

---

,__

~

'stopy aluminium

/

I/

0,4 0,2

7 7

I

T

o

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0 _ą mm

Rys. 18.10. Współczynnik wrażliwości 'I dla stopów aluminiowych

243

Jl. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku obcią:J.en zmęczeniowych

18.3. Współczynniki kształtu

ak

dla

prętów okrągłych

(wałów) pełnych

1

~~P,;--_._~~0~2:--:::q~o3~~o.o~s::--1-::o~m~s~o~~~...i....o~,2=--~---1.-o~.s..;:i::::::iws !J/d

Rys. 18.11. Wspókzynnik k.szt.ałtu ak przy rozciąganiu próbki okrągiej z odsadzeniem

244

-

Ol#(

O:l;

(~).

3,5

~

p

Mr

3,5

Mg

Ml

4~a~1s

3,0

0,02 0,03

Rys. 18.12.

0,05 0,075 0,1

WspOłczynnik kształtu

z odsadzeniem

0,2

0,3

0,5' /, 0,75

Na

at przy zginaniu próbki okrąg]ej

o,s 0,75 9/d

...~~ ~



Rys. 18.13. Współczynni.k kształtu at przy skręcaniu próbki okrągłej ~ ('\ z odsadz.eniem ::r-

...

tJ

Ol

]\ 1\1\1

I I

I

~

I\ I \ I\ I

I

I

I

C) <::r

~~j

3,5 D/d=2

9

3,01

;:::


:::-

~

::t

s::;·

~

...

I

I

I

3.01

}{

I\ 'i

I

I

I

'

'

i

I

~

I :t ~

o

"'(5•·

!"I

~ ~

~

2,51

\I

I I

I \ I \I \I

I

I

I

2.51\

\I

\I \ \I

I

I

I I

! I I

I

I~

~ l:l ~ ;:: c<::r

!"I

2,01

'ł~ '" l ""'

I' I ' \:

I I

I I I

I

I.ft

~ ::s.

"'

li

""~ ~

;;

~.

1,51

I

I

ł' I

I

f"' I I"'\;: f'\:'I

1,51

I

I 'k

I

\',1~1

I :

I

le

~

~

\QL__J...._...J...____J'---...l.._..1....Jl-.&...l..J...J.....l...-_J...._...L__J...._....i._...L_L-J

0,01

0,02 O,Q3

0,05 0,075

O~

Rys. 18.14. Współczynnik kształtu okrągłej z karbem obrączkowym

0,2 aA

przy

0,3

O, 5

0,75

9/d

rozciąganiu

próbki

10 • 0,01

0.02 0,03

0,05 0,075 0,1

Rys. 18.15. Współczynnik z karbem obrączkowym

kształtu ak

0,15 Q2

0,3 0,4 0,5 0,75 p/d

przy zginaniu próbki

okrągłej

3,51----

+--t--+---1



~

0,02 O.OJ

0,05 0,075 0,1

0,15 0,2

0,3

0,5

0,75

9/d

Rys. 18.16. Współczynnik kształtu ał przy skręcaniu próbki okrągłej z karbem obrączkowym

10 • 0I 01

~

0,02 0,03

o.os o,01s

o~

o.is

0.2

0,3

0,5 0,75

p/d

Rys. 11.17. Współczynnik kształtu al przy ścinaniu próbki okrągłej z karbem obrączkowym

~

:s

c

'!._,..,

N

Ol.1<

~

~

°"

Ol.k

Mg

j

)

3,0 L O/d =1,ZS

:::::

a

-...

~

;;;·

:l



~ ~ ·..:

3 ....c

c

O/ d - 2,0

r)

5· ~ ~ ~

....

~c

,.,. ~

2,0

i:: Q

O"

<')

;;· „

;::.

"' ~ ... "':so· :!

1,5

1,5

~<')

::SO-

0,05

0,1

10'--'-~---..J.__.l_-'-L-'-''-'-~~----'-~-'--'--'--'--'----L­

0,2

0,5

0,75 1p

p/d

Rys. 18.18. Współczynnik kształtu a. przy zginaniu próbki okrągłej z podwó1cym odsadz.eniem o stosunku Dl d : 1,25

• 0,015

0,05

0,1

0,2

0,5

0,75 1,0

p/ d Rys. 18.19. Współczynnik kształtu a. przy zginaniu próbki okrągłej z podwo1nym odsadz.eniem o stoswiku Dld = 2,0

ex„

J

l

)

1

2,4

2,2

p

E(d.-D1i(DZ-rJ.Z) 2d·Di

D/d • 3,0 2,0

1,6 - -

1,0 ~~-:!'.:---~.,.....------L----1.--....L..--...L-' 0,0)

0,1

0,2

0,5

0,75 1,0

p/d

RyL 18.20. Współczynnik kształtu a; przy zginaniu próbki okrągłej

z podwójnym odsad2.en.iem o stosunku Dld"" 3,0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9 . I.

l;d.

1,2

Rys. 18.21. Współc-zynnik kształtu a; przy zginaniu próbki okrągłej z odsadzoną tuleją z naciskiem p ; D1- średnica wewnętrma tulei ptzed montażem

~

~

~

::i

5{

g..

N

Uli

OlJr


:::::

d.

Q

p



co-

-

{ i·~·-- r „ p

~-

~ 21

:;· ~

~il

skręcanie

-... tl

o

2,5

2,5

!\

Q.

...~ ~

~

~ 2,0

~

2,0

o

~

<':>

i„ :I-

...~ 1,5

„~

:s

1,5

o

<':>

~

_ __.__ _ _.___ _._,---_ _,___ 0,4 0,6 d/D

1,0~--'------::'-:---__,.__

0,02

0,03

0,05

Rys. 18.11. Współczynnik kształtu at pny skręcaniu z rowt.icm wpustowym

0,08

0,1 0,12 ~/d

<>knlgłego wału

o

0,2

Rys. 18.23. Współczynnik kształtu a t przy okrągłej z poprzecm)11l otworem

rozciąganiu

_J

o,B próbki

18. Wykresy stosowane w obliczeniach zmęczeniowych

2,5~~------1-------ł--------+-~

1,0o'-----'----L-----L---'-----'----'-~ (\2 0,4 d/D ~6

Rys. 18.24.

Współcl)nlli.k kształtu ak pr.cy

zginaniu próbki

okrągłej

z poprzecznym otworem

251

li. Obliczenia wytrzymaloJciowe w przypadku obciązeń zmęczeniowych

18.4.

Współczynniki kształtu

at dla walów wydrążonych

3,51+-----+-----1

fa

Ryi. 18.25. Współczynnik o stosunku dldo = I, 25

252

kształtu

=1,25

a„ przy zginaniu próbki

okrągłej wydrązonej

z odsadzeniem

2,5 ~------ł------"

°'"

fo-2/J

:o •1,25 ....

~

~

;ę-

~

~

i;,

o "'c

~

::s

"'t c

~

~· ::s

iii'

() ~

1,0.__...........__.__._.__,___.__..__.__..__...___.__.___.._..__..__.....................__. 0,01

0,05

0,1

0~5

' /, P1d

Rys. 18.26. Współczynnik kształtu al przy zginaniu próbki wydrążonej z odsadzeniem o stoswiku dfdo = 2,0

o.z

okrągłej

\O

0,01

.

l 0,05

o~

o.1s

~/d o.z

~

~

Rys.. 18.27.

Współczynnik kształtu at przy skręcaniu próbki okrągłej ~·

wydrążonej

z rxlsadzeniem o stosunku dfdo = 1,25

~

::r-

N

..."'

cxk

°'Ir

Cl

;::::

o

~

3,0



5

"' ;:i

i!j·

~

~;i ....c

skręcanie

~

"o·

4

~

.sl_ =2p

do

t "t;S

~ ~

l:i Q..

:>:--

a:

3

c

-a"""
;:i.

~ ::i ;:i "'c;·

~

1,5

2

~:to

10 • 0•01

Rys. 18.:28. wydrążonej

1 '--~-'-~--'~~-'-~.......~~.&...-~-l...~~L-~~

0,05

0,1

0,15

p/d 0,2

Współczynnik: kształtu ał przy skręc:aniu próbki okrągłej z odsadzeniem o stosunku dl dQ= 2,0

o

0,02

0,04

0,06

~/D 0,08

Rys. 18.29. Współczynnik kształtu aA przy skręcaniu wydrąż.onego okrągłego wału z rowkiem wpustowym

18. Wykresy stosowane w obliczeniach zm(czeniowych

18.5.

Współczynniki kształtu ak

0,02 0,03

Rys. 18.30.

0,05 0,075 0,1

Wsp<'>łCZ)nllik kształtu

0,2

dla

0,3

płaskowników

0,5

0,75

o/b

at przy rozciąganiu płaskiej próbki z dwustronnym symetrycz-

nym odsadzeniem

255

N

u.

°'

ak ~

I\ I

I I

3,51 \

I\ I

I

;::: a

a1c

([13J)

I

~

3,5

~-

~

~

i5

~

\~ ~ ~

[...,

o ... ~

~

2,5lx

~

I

\~_I\

I

I

I

I

I

!

2.s l

I'\

I I I \ I \l

~

I

I I I

I

~

I~

l

;i,-

"'o

o<'I

2,01

I'

"

I F\J

I

I'\ 1\1 \I I I

I

li...;::.

I

! ...:::~ 10· ~

1,5 I

10•

' 0,01

I

I

I

I

I

0,02 0,03

I

I

l

I I f

I

1'-'"~ I

!''I

I

I

0,05 O,Q75 0,1

I

I

I

0,2

--

1

I

, ,..._.,

--

--

1,Sj

1,0~~

I

0,02

I I I 'xl

0,03

0,05

1~'1;;:1

0,1

I '.J

0,15 0,2

(},3

~~ 1~1::

0,5 0,75

fJ/b Rys. 18.31. Współczynnik kształtu aA przy zginaniu płaskiej próbki z dwustronnym symetryC2llym odsadz.eniem

Rys. 18.32. Współczynnik kształtu a„ przy próbki z dwustronnym karbem symetrycznym

rozciąganiu

płaskiej

i

a.k

(~)

1P

~

3,5

~Mg

Mg~

3,0

3fJ

-

l/J•O•

----- 1" "'90• 2~

2,0

.............

10'--~~..___.~.._

'0,01

opz

0,03



;:

___._.~_.___.~..______...__.._.._.__,

o,os 0,075

o~

0,15 0,2

o,3 o,4 o,s, 1i o,1s

J>1b Rys. 18.JJ. Współczynnik kształtu a1 przy i.ginaniu płaskiej próbki z dwumoonym karbem symetrycznym. w pł8.Sl.Czyżnie próbki

0,02

0,03

0,05 0,075 0,1

0,2

0,3

0,50 0,75

p 'b

Rys. 18.34. Współczynnik kształtu a1 przy zginaniu płaskiej próbki z dwustronn)m karbem S)metrycmym. w płasz.czyżnic prostopadłej do płaszczyzny próbki

~ ~

~

c:;·

~

~

N Ut

oo

~K ~\

I

I

I

~kr 3PI

\ \ I\\ I I J

\

"\ I

„\ „\

Mg

;:::: a

Mg

I1([EJJ)

-

~

~-

iii"

-! ~



t)

Ci'

2,51

\I

\

~·\

I

I

I

I~ ~ ft>

~

"'~ ~

2.01

I

\I\

I

""

I

~ c ~ ...,

1~

i

ft>

:a.

....~

1,51

I

I

I'

'" 3i

·~ ft>

~

I

~

;s

es·

~

~

1,0 0,05

0,1

0,2

0,5

9/b

1,0

Rys. 18.35. Współczynnik kształtu ai przy rozciąganiu płaskiej próbki z jednostronnym karbem

w

0,05

Rys. 18..36. Współczynnik z jednostronnym karbem

o~ kształtu

0,2

0,5 ' /J 0,8

p/h

al przy zginaniu

płaskiej

próbki

Of.I<

sp!

I

I Mg

(i

P,

~I

~g

~: ~

ak

q$1~:

3p

L>t2a

2,5i

9/_b-=0,025

.._ ~

~

"'~"

2,0

ąos

~

~

c

~

:a

0,1

"' ~

1,5

~ ~-

0,2

;: ~-

0.4

i

p/b"'-1,0 2

3

4

I

5

a/b 6

10 • 002 I

N

Ry!I. 18.37. Współczynnik: kształtu a, przy zginaniu płaskiej próbki

ID

z podwójnym obustronnym odsadzeniem

Ul

I 0,05

0,1

012

0,4

/ d;b

0,6 0,B

~ ti

i!

""~ ~



Rys. 18.38. Współczynnik ksltałtu aA przy rozciąganiu p!Mkie.J ~ próbki z otworem :to <)

N

°'*

O<.I(

(=*)

O\

o

Mg

Mg

3JJ

I

#~! I

~

4,0

Mg

a

-~-_§~_

2::



;:;· ~

ti'

~ h/d = 2,0

~3

-.., 1::1

c

3,5

2,5

;::

"'-

2

Q ~

"'~ ~

;:i

h/ d• 5,0 3,0

z.o

~Q

~ cQ-I:

t")

~-

:::.

..."' 3 ..,„

~

2,5

1,5

~

;s· ~..,

;::--

10..__~_._~~--=--~~~~~~~~~~...._~~~

' 0,02

D,05

0,1

qz

0,6 ~

0,4

Rys. 18.40. Współczynnik

d/ b Rys. 18.39. Współczynnik: kształtu ak przy zginaniu z otworem (oś otworu w płaszczyżnie zginania)

płaskiej

0,2

próbki

o,4 kształtu

z mimośrodowym otworem zginania)

(oś

o,s

eId. o,s

at Pf'lY zginaniu płaskiej próbki otworu prostopadła do płł.ISZl;zym:y

d

2,5 1---lf-----ł-----+----+-~>---ł----ł

2,0 1 - - - -+--- - - l,__----+-----+-----+-+---1

15

'C)1

N Ol

0,02

0,05

Rys. 18.41. Współczynnik

0,1 kształtu

z wieloma otworami S7-Cl'egowym.i

0,2

at

przy

05

. d/t

rozciągam u

1,0 płyty

10 • 0,01

O,Q2

Rys. Ui.42.

0,05

Współczynnik

0,1 kształtu

z wieloma otworami równoległymi

0,2

a 1. przy

Il. Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku

obciążeń zmęczeniowych

d

(f

10 • 0•01

0,02

0,05

o~

0,2

0,5

d/t

1,0

Rys. 18.43. Współczynnik kształtu at przy d'Auosiowym rozciąganiu płyty z wieloma otworami

262

I 8. Wykre11y slmowane w oblicumiach zmęczeniowych

18.6.

Współczynniki kształtu

Rys. 18.44.

a" dla gwintów i

Współczynnik kształtu a1r przy rozciąganiu

sprężyn

próbki gwintowanej (gwint metryczny,

calowy, rurowy, trapezowy, nie5)11let:ryczny, okrągły)

263

Il. Obliczenia wyrrzymałosciowe w przypadku obcią:leń zmęczeniowych

"'

~

1,6

'

t]

1,5

1,4

1,3

\ \

1,2

\~

I'---__

-

1,1

1,o

Rys. 18.45.

5

'

'

'

'

'

10

Współczynnik kształtu

co dla

'

15

D/d.

sprężyn śrubowych

Część

trzecia Tablice stosowane do

obliczeń

wytrzymałościowych

19. Tablice własności fizycznych i wytrzymałościowych materiałów Uwagi i

objaśnienia

ogólne do tablic 19.1+19.14 wytrzymałościowych stali

dotyczących własności

W tablicach podano orientacyjne wartości składów chemicznych i własności Dane te można wykorzystać w obliczeniach wstępnych korygowanych następnie przez z.astosowanie odpowiednich norm lub przepisów, jeżeli takie istnieją i obowiązują w danej dziedzinie zastosowań (np. [24], (38], [39]). W przypadku gdy dla danej stali wytrzymałość zmęczeniowa przy cyklach jednostronnych~ jest większa od granicy plastyczności Q, wartość ~· może służyć tylko do konstrukcji wykresów zmęczeniowych (np. wykresów Smitha) lub może być podstawiana do odpowiednich wzorów oblicz.eniowych (np. do wzorów ( 17 .18)+( I 7 .20)) przy obliczaniu zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa. Wartość ~ > Q nie może być wykorzystana na przykład do bezpośredniego obliczania naprężeń dopuszczalnych przy cyklach jednostronnych, jeżeli nie dopuszcza się powstania odkształceń plastycznych. W tablicach podano naprężenia dopuszczalne na rozciąganie. Dla innych przypadków obciążeń można przyjmować dla stali: - naprężenia dopuszczalne na zginanie: k8 =kr, - napn;;żenia dopuszczalne na skręcanie i ściskanie: k„ = 0,6k,. Górne wartości naprężeń dopuszcmlnych należy stosować dla dokładnie ustalonych obciążeń i elementów o grubości do 16 nun, gładkich, bez karbów, sta· rannie wykonanych, niezagrażających - w razie zerwania - zniszczeniem maszyny lub wypadkiem. Dolne wartości naprężeń dopuszczalnych należy stosować dla elementów o większych wymiarach, normalnej gładkości i o umiarkowanym działaniu karbu. wytrzymałościowych materiałów.

265

lll. Tablice stosowane do Tablica 19. l .

obliczeń wytrzymałościowych

Własności wytrzymałościowe i

fizyczne niektórych stali i żeliw Granica

Materiał

Oznacretne wg PN

Skład

chemiczny (orientacyjnie)

Wytrzymałość na rozciąganie R.,,

(R,.)

MPa

piasty- Wydłuczności żen.ie Aj

R. (Q,) MPa

%

Udarność

u

%

daJ/cm1

min

(orienta-

min

max

min

320

550

190

22

cyjnie)

St O

< 0.23 c

Stl

0,11

c

320

400

200

33

St2

0,12 c

340

420

210

31

St3

0.18 c

380

470

220

25

St4

0,24 c

420

520

250

23

StS

0,32 c

500

620

290

19

St6

0,45 c

600

720

330

14

St7

0,56C

700

850

360

IO

458

0,45 C; 1,8 Si

1200

1000

6

70S

0,7 C; 1,8 Si

1800

1600

5

2Hl3

13 Cr, 0,6 Ni

720

520

24

ZllSO

3,4 C; 2 Si

150

Zl200

3,4 C; 2 Si

200

Zl250

3,4 C; 2 Si

250

Zl300

3,4 C; 2 Si

300

Zl400

3,4 C; 2 Si

400

o o o o o

Żeliwo

ZsP45

3,4 C; 2 Si

450

2

sferoidalne

ZsFOS

3,4 C; 2 Si

400

LISO

0,15 c

400

200

24

5

L250

0,25

450

240

19

4

L400

c 0,40 c

530

300

14

3

LSSO

0,55

c

600

350

10

2,5

Stal konstrukcyjna węglowa

Stal sprężynowa

Stal nierdzewna

Żeliwa szare

Staliwo węglowe

500

5

m Wartość średnią modułu Yowiga żeliw podano dla naprężeń 0+50 MPa.

266

19. Tablice własności fizycznych i

wytrzymałościowych materiałów

Współczynnik

Wytrzymałość

Twardość

Moduł

zmęczeniowa

Moduł

Brinclla

Younga

sprężystości

Zao MPa

HB

E

postaciowej

(orientacyjnie)

(orientacyjnie)

><105 MPa

G x l 04 MPa

irozszerzalnof.ci Gęstość liniowej p Liczbo a ><103 kgfm3 Poissona x!O-~ deg- 1 (gfcm3) y (x lO-~ /l°C)

110 140

110

150

115

170

120

200

140

230

170

270

190

320

220

2,1

8.1

0,3

1.2

7,86

550

2,15

8.5

0,3

1,2

7,9

370

2,05

8,3

0,3

1,2

7,9

0,23+0,27

1,05

6,7-r7,4

0,23+0,27

1,2

7,0+7,4

0,28

1,1

7,8

60

159.;.2 12

0,95ClJ

3,8

80

170.;.241

o,95Cll

3,9

110

183+262

1,0< 1>

4,0

130

192+269

1,1<1)

4,1

160

> 223

1,1(I)

4,2

180

200+280

1,o
4,1

160

155.;.210

1,0(I)

4,2

130

114+ 150

150

128+170

2,15

8,3

190

149+ 195

200

170+217

267

!!l.!!!!!.lice stosowane do Tablica 19.2.

Wl-sności

obliczeń wytrzymałościowych wytrzymałościowe

i fizyc:ine niektórych materiałów

metali

nieżelaznych

Skład Materiał

lub oznaczenie

cnemiczny (orientacyjnie)

wg PN

O/o

Wytrzymałość rozciąganie

na

R,,. (R,)

MPa min

max

Granica plastyc:zności

R. (Q,) MPa

Wydłu-

żenie A:;

%

min

min 4

Aluminium

Al

100

Miedź

Cu

210

Cynk (walcowany)

Zn

150

18

Cyna

Sn

30

40

Ołów

Pb

15

50

Nikiel

Ni

35

Brąz

{ B7 wyżarzony BA 1032 kuty

MosiądzM60

240

70

55

38

2

93 Cu; 7 Sn

300

84 Cu; lOAl

600

60 Cu; 40 Zn

340

80 Al; 20 Si

150

0,3

90Al; IO Mg

280

9

14

350

15 36

Stopy lekkie: odlewy

{ AK20 AG10

walco- { PA2 PA20

97 Al; 1,5 Mg

130

50

25

wane

94 AJ; 5 Mg

270

150

28

Stop cynku: Z40

95 Zn; 4 Al

280

Drewno

{grab sosna

Kauczuk naturalny

5

107 104

7-;-IO

Polist}Ten

40

Szkło

40

100

Beton

5

35

Gnmit

R, = 120

260

Rc=40

150

Piaskowiec

268

19. Tablice wła.snośc; fizycznych i '14'Ylrzymałościo14-ych materiałów

Współczynnik

Wytrzymałość

Twacdość

Moduł

Moduł

zmęczeruowa

Brinella

Ymmga

sprężystości

Z1 o MPa

HB

E

postaciowej

Liczba Poissona

(orient.a-

xl0 5 MPa

G

V

(orientacyjnie)

60

xl04 MPa

cyjnie)

rozszerz.alności

Gęstość

liniowej

p xl03 kg/m 3 (g/cm3)

a X JO-)

deg-l

(xl0-5 /l°C)

30

0,7

2,7

0,32+0,36

2,4

2,70

35+50

l,l

4,6

0,3+0,34

1,7

8,96

40

0,8

3,2

0,27

3,1

7,13

5

0,42

2,3

7,30

3

0,18

2,93

11,34

55

2,12

1,37

8,85

0,7

0,42

1,13

3,7

0,32+0,35

1,78

8,86

1,3

3,7

0,32+0,35

1,67

7,6

0,99

3,5+3,7

0,32+0,42

2,16

8,4

90

0,67+0,74

2,7

0,32+0,35

2,0

2 ,7

60

0,67+0,74

4,7

0,32+0,35

2,45

2,6

SS

JO

0,67+0,74

2,7

0,32+0,35

2,3

2,73

140

70

0,67+0,74

2,7

0,32+0,35

2,43

2,64

SO

60

1,05

2,74

6,6

36

0,11

0,055

0,2.;.0,5

0,9+1,2

0,11

0,055

0,2+0,5

0,4+1,1

0,00008

0,47

110 180

120

120

0,9-rl,2

25

1,06 0,56

2,2

0,25

0,15+0,24

0,17

0,49

0,25

0,18

2,4+2,8 1+1 ,4

1,8+2,2 2,7 2 ,2+2,5

269

Ilf. Tablice stosowane do Tablica 19.3.

obliczeń wytrzymałościowych

Własności wytrzymałościowe

Znak stali (staliwa)

1tali I staliw (por. norma [39))

Grubość

Granica

(średnica)

plastyczności

wyrobu

R.(Q,)

mm

MPa

min

Wytreymałość

na rozciąganie R,.. (R,.) MPa

Wydłutenie

A, (min) %

23

do 16

200

16+40

190

40+100

190

20

St3SX

do 16

240

26

St3SY

16+40

230

40+100

220

23

St4VX

do 16

260

24

St4VY

16+40

250

4(}+100

240

do 16

360

16+30

350

30+50

340

lAOO

grupa

IA50

Ili ID

StOS

St3

St4V

18G2A

min 320

380+470

420+520

20

25

23

21

500+640

22

250

min400

26

260

min 450

24

320

min 500

20

Staliwa:

L500

Litera X po znaku stali (np. St3X) oznacza stal nieuspokojoną, berdziej miękką, plastyczną, o gładkiej powierzchni (w końcu wytopu nic dodaje si.; odtleniaaa, np. ferrokm:mu, celem odgazowania stali). Litera Y oznacza stal półuspokojoną, a S - stal na konstrukcje spawane.

Dla stali St3 oraz St4

rozróżnia się

dwie odmiany:

I) z ograniczoną zawartością węgla (olllftczenie literą V w miejsce litery S),

270

19. Tablice

Wytrzymałość

jj

Orientacyjne wartości naprężeń dopUS7,CZ11lnych,MPa

obliczeniowa, MPa

Jd~ docisk powierzchni płaskich

170

własno.łcifizycznych i wytrzymalo.ściowych materiałów

Jd~H

narozcią-

docisk ganie, ściska na ścinanie skupiony nie i zginmrif k, wg Hertza k

na docisk (liczony na

na docisk wg Hertza

nut)

kdH

kd

220

640

120

72

150

450

260

760

150

90

190

540

280

820

380

1150

220

132

280

900

300

870

150

90

220 210 200 240

230 220 310 300

290

230

240 270

2) z ograniczoną zawartością fosforu i siarki (oznaczenie literą W w miejsce S). Litera G oznacza stal o podwyższonej zawartości manganu. Staliwo węglowe, konstrukcyjne jest wykonywane w czterech grupach jakości : I - zwykła, II - wyższa, ID - najwyższa, IV - na części maszyn el~mych.

271

Ilf. Tablice sto.wwane do obliczeń Tablica 19.4. Własności w stanie

zwykłej jakości

wytrzymałościowych

wytnymałościowe

i

zmęczeniowe

stali konstrukcyjnych

Granica

Znak stali orient.

Zawartość węgla

Wytrzymałość plastyczności Wydłużenie

na

rozciąganie

R, (Q,)

Udarność

Twardość

A5

u

HB

o/o min

i"J_

min

orient.

Rm (R,)

o/o

MPa

MPa min

St O

max 0,23

320+350

200

22

Stl

0,0670,12

320+400

200

33

St2

0,09+0,15

340+420

220

31

St3

0,14+0,22

380+470

240

25

7

120

St4

0, 18+0,22

420+520

260

23

8

140

St5

0,28+0,37

500+620

300

19

6

160

St6

0,38+0,49

600..-720

340

14

4

180

St7

0 ,50+0,62

700+850

370

IO

3

200

Dane orientacyjne

272

węglowyth

!łurowym

cm

'

min

110

19. Tablice

Naprt;żenia

dopuszczalne na MPa

włamaśd

rozciąganie

fizycznych i

wytr•ymałościowych materiałów

Orientacyjne wartości wytrzymałości zmęczeniowej MPa

obciążenie zmienne

zginanie

TOZCi!\Sanie

skręcanie

(2)

(2)

(2)

z? Q, z,,,

z

obciążenie

jednostronne

stałe

tętniące

k„

k7

obustronne symetryczne (I) kro

l 10-<- 130

50+90

30+60

140 250 220 110 170 200 70

140 110

115..-140

55..;.95

35..;.70

150 270 240 120 190 220

160 120

120..- 150

65.;-JOO

40+70

170 300 260 130 210 240 100 200 150

140+165

70+ 110

45+80

180 330 310 150 250 260 110 220 160

150+180

80.;-120

45+80

240 420 370 180 300 300 130 280 180

165+200

90+140

50+90

280 480 430 200 350 350 150 320 220

180+220

100+150

55+100

320 530 500 230 400 400 190 380 260

Z1 o

Z11

Q,

Zro

IJ

Q.•

100+1 LO

(0,55+0,65)Q, (0,J5.;-Q,45)Qr (0,2+0,35)Q„

(0,h0,4 )Z„;

O,Sx l,7. 1,2x 0,7. 1,3x .R,.

.z,.,

xQ„

.z,„ .z.o

80

0,6x l,2x 0,65x ,z,„ •Qr

.z.o

(0,3'""°,4 )Zro

1

Właściwym oznaczeniem dla tego typu priypadków jest S}mbol k," Dla ujednolicenia pozostawiono k,.0 . (l) Jeżeli Z1 jest większe od Q, to może służy<: tylko do konstrukcji wykresów zmęczeniowych lub może być podstawione do odpowiednich wzorów obliczeniowych. <>

oznaczeń

273

/li. Tablice .!losowane do obliczeń wytrzymałojciowych

Tablica 19.5. Własności wytrzymałościowe I zmęczeniowe stali konlłrukcyjnych węglowych stanie normalizowanym

wyższej jakości w

Znak stali

Zawartość

węgla

o/o

Wytrzymałość

Granica

R,,, (R,)

~(Q,)

:MPa

:MPa

min

min

Twardość

na rozciąganie plastyczności Wydłużenie

Udarność

A~ %

u

min

daJ/cm

2

w stanie surowym HB min

min

08X

0,05+(),J I

300+450

180

35

13 1

lOX

0,07+0,14

320+450

190

33

137

10

0,07+0,14

340+450

210

31

137

15Y

0,15+0, 19

380+500

230

27

6

143

20

0,17+0,24

420+520

250

25

5

156

25

0,22+0,30

460+560

280

23

4

170

30

0,27+0,35

500+600

300

21

35

0,32+0,40

540+660

320

20

40

0,37+0,45

580+700

340

19

45

0,42+0,50

610+730

360

16

50

0,47+0,55

640+760

380

14

55

0 ,5h0,60

660+810

390

12

60

0,57+0,65

690+850

410

12

255

65

0,62+0,70

710+880

420

10

255

Dane orientacyjne

274

179

3

187

2 17

2,5

241 241

2.5

255

J 9_ Tablice

Napręt,cnia

własności fizycznych

dopuszczalne na rozciąganie

i wytrzymałościowych maleriałów

Orientacyjne wartości wytrzymałości zmęczeniowej

MPa

MPa obciążenie

zmienne

zginanie

rozciąganie

skręcanie

obciążenie

jednostronne

obustronne

stałe

tętniące

symetryczne

k,

k,1

kro

100+120

60+85

40+60

105+125

60+85

40+60

210 340 320 130 240 250 100 200 150

115+140

70+95

45+70

220 350 330 140 250 260 110 220 160

130+150

70+ł00

45+70

250 440 440 200 320 350 150 300 220

140+160

75+110

50+80

200 360 360 150 260 310 120 240 200

155+185

80+120

60+90

200 370 370 160 270 320 130 250 210

165+200

86+130

60-t-95

240 390 400 170 280 340 140 280 220

175+210

95+140

65.;.100

250 420 430 180 300 360 150 300 230

190+220

100+150

70+ 110

260 440 460 200 330 390 160 320 240

200+240

100+160

70+ 120

280 480 500 210 360 420 170 340 260

210+250

110+ 170

70+120

280 480 500 220 360 420 170 340 260

210+250

I 10+170

70+120

300 500 520 240 420 440 200 400 280

220+260

115+180

70+120

300 500 520 240 420 440 200 400 280

230+280

120+190

70+130

300 500 520 240 420 440 200 400 280

(0,55+0,65)Q, (0,35.;.0,45 )Q, (0,2+0,35)Q, (0,3+0,4)Z,J

Z1 o Z11

Q, Z,o

Z11

0,5x l ,7x 1,2x 0,7x l,3x >
Q,

Z,o

złJ

Q.

0,6x 1,2x 0,65x •lao

.z,,,

xQr

(0,3+0,4)Zro

275

Ili. Tab!ice srosowane do obliczeń

wytrzymało1ciowych

Tablica 19.6. Wlasnoid wytrzymałościowe i o podwyiszonej zawartości manganu

:unęaenlowe

stall koo1trukcyjnych

wyższej

jakości

Znak stali

Skład

chemiczny (orientacyjnie)

Stan

%

15G

0,15 C; 0,8 Mn

N.

Wytrzymałość

Granica

Wydłu-

irwardoś<

na roi.ciąganie R,,. (R,)

plastycmości

żenie

R, (Q,)

HB mm

MPa mm

MPa mm

A, % min

420+450

250 360 grubość 4+16 mm 340 grubość 16+25mm 320 grubość 25+40mm

26

163

18G2 18G2A

0,18C 1,4 Mn

N.

520+640

20G

0,20C; 0 ,8 Mn

N.

460+570

280

24

40G

0,42 C; 0,74 Mn

H . 800°C 0 .570°C

800

670

20

45G

0,45 C ; 0,8 Mn

N.

630+770

380

15

241

30G2

0,3 C; 1,6 Mn

H . 850°C 0 .530°C

800

550

14

240

SOG

0,50 C; 0 ,8 Mn

N. 830°C

660+800

400

13

255

500

0,50 C; 0 ,8 Mn

walcowany

650

320

24

60G

0 ,60 C; 0 ,8 Mn

N.

710+850

420

li

60G

0,60 c 0,8Mn

H. 950°C olej o. 550°C

l lO

90

8

Dane orientacyj ne

197

269

normalizowane

R, < 600

hartowane

R, > 600

Obróbka cieplna: N. - nonnalizowanie, 1-l - hartowanie, O. - odpuszcz.anie

276

19

19. Tablice

Naprężenia

własności fizycznych i wytrzymałościowych materiałów

dopuszczalne na rozciąganie MPa obciążenie

Orientacyjne

wartości wytrz)małości l.męczeniowcj

MPa

zmienne

rozciąganie

zginanie

skręcanie

obciążenie

jednostronne

stałe

tętniące

kr

"'1

obustronne symetryczne kro

120+160

75+110

50+80

210 340 270 160 280 280 110 220 180

170+220

100+ 140

70+100

230 360 400 180 320 340 130 250 220

150+ 180

80+120

60+90

230 360 300 180 300 280 120 230 190

240-dOO

120+160

80+130

370 560 680 260 410 670 220 440 400

200+250

120+150

70+110

310 500 400 220 360 380 200 400 260

220+300

120+150

70+110

300 480 560 210 360 550 170 340 340

200+250

130+170

70+120

400 560 760 320 420 640 200 400 400

160+220

) (){h 130

60..;- J()()

260 400 360 180 300 320 150 300 240

180+220

130..;-190

70+130

460 620 600 380 500 500 240 420 300

260+340

140+200

100-r140

560 900 900 400 700 900 360 700 540

(0,5+0,6)Q,

(0,4+0,5 )Zt;1

(0,4+0,5)Z,o

(0,35+0,5)Q,

(0,3...0,4 )Zt;1

(0,3+0,4 )Z,o 0,4. 1,6. l,h 0,1.

z,"

Zs1

Q,

Zro

z'i

0,45x 1,7x 1,2>< 0,7„ 1,2>< ,,R,. .z.o •Qr xZ.., xZ1 0 ..R,

~Z1o

.Q,

ł ,2x

.z.o „z,o

Q,

z"'°

ZJJ

Q,

0,6, 1,h 0,6.

"z"'

,.z,o •Qr

0,6x 1,1" 0,6.

„z,o .z,o •Qr

Stale 18G2 oraz 18G2A (znak A oznacza, że stal ta jest odtleniona dodatkowo za pomocą aluminium), są to stale niskostopowe o wysokiej wytrzymałości . Stal 18G2 można stosować na konstrukcje spawane tylko przy grubości do 20 mm. Stal J8G2A - tylko na odpowiedzialne konstrukcje; spawanie stali 18G2A o grubości powylej 36 nun tylko przy zastosowaniu specjalnej technologii.

277

111. T(Jbfice stosowane do

obliczeń wytrzymalo:ściowych

Tablłca 19. 7. Własności wytrzymaloiciowe i do nawęglania, po obróbce cieplnej

zmęczeniowe

WytrzJ-

Skład

Rodz.aj stali

Cr

Znak stali

15H

chemiczny

Wytyczne

(orientacyjnie) %

cieplnej

0,8 Cr

obróbki

H 880°C olej O. 180"C

malość llll rozciąganie

R,,, (R~) MPt1min

stali konstrukcyjnych stopowych

Granica plastyczności

R. (Q,) MPa min

Wydłu-

Udarn ość

u

tenie o/o min

~

A~

cm

2

TWIU-

dość

w stanie zmiękCZOO)Til

HB max

700

500

12

7

179

loowietne Cr

20H

0,8 Cr

jak wyżej

800

650

11

6

179

Cr-Mn

16HG

1 Cr I Mn

H 860°C olej O. 180°C

850

600

12

8

187

1100

750

7

950

800

11

8

207

J 100

900

IO

9

217

900

600

10

6

229

1000

850

11

7

229

1000

850

12

8

217

1250

850

7

8

235

loowietrze 217

H 880"C

Cr-Mn

Cr-Mn-Mo

20HG

1,1 Cr l,l Mn

15HGM 1 Cr I Mn

O,l Mo

olej O. 180°C

loowietne H. 840°C olej

o 1so c 0

:Powietrze Cr-Mn-Mo

18HGM 1 Cr I Mn

0,25 Cr

H. 860"C olej o. 190°C

IPowietrze Cr-Mn-Ni

lSHGN

l Cr I Mn 1,4 Ni

Cr-Mn-Ni

17HGN

l Cr

H 860"C

1,1 Mn 0,8Ni

olej

H. 800°C olej O. 175°C

1oowietrze

Cr-Ni

15HN

1,6 Cr l,7Ni

O. 160"C

oowietrze H. 860°C olej o. 190°C

loowieuze

Cr-Ni

l8H2N2 2 Cr 2Ni

Dane orientacyjne Obróbka cieplna: H. - hartowanie, O. - odpuszC1Jll\ie

278

J9. Tablice

własności fizycznych

Naprężenia

stałe

obciążenie

wytrzymałościowych mazeriałów

Orientacyjne wartości

dopuszczalne na rozciąganie, MPa

obciąi.enic

i

wytrzymałości

zmęczeniowej,

zginanie

7.mienne

k,

krj

k,..,

250+280

160+200

80+100

Z,a

MPa

rozci!U!anie

Zw Q, Zro zlj

Q,

skr~anie

z,,,,

300 500 550 200 400 500 180

Zv

Q,

( I)

300

350 310+350

180-;-220

100+130

340 560 700 260 450 650 210

(I)

380

400 (I)

240+300

190+230

100+130

360 580 660 260 460 600 210 400 380

280+350

200+240

100+ 130

400 620 820 270 480 750 240 450 450

300+380

210+250

110+140

420 640 880 280 500 800 250 460 480

300+400

220+270

120+150

440 700 980 300 540 900 270 500 520 ( I)

250+300

180+220

100+120

380 600 660 240 440 600 220 420 360

300+370

220+260

110+ 140

420 640 900 280 520 850 260 480 500

300+370

200+240

100+130

400 620 900 260 480 850 240 460 500

370+450

210+260

110+ 140

430 680 1100 290 520 1000 260 500 600

(0,35+0,5)Q,

(0,4+0,5)ZrJ

(0,4+0,S)Z,„

0,4x l,6x l,h O,?x I,2x xR, xZiro xQ, xZiro .z..,

0,6x l,lx 0,6x xQ,

.z,o .z..,

Cl! Jeżeli Z jest większe od Q, to może służyć tylko do konstrukcji wykresów zmęczeniowych lub może być podstawione do odpowiednich wzorów obliczeniowych.

279

Ili. Tablice stosowane do Tablica 19.8. Własności do ulepszania cieplnego

obliczeń wytrzymałościowych

wyłnymaloiciowe

i UDfczeaiowe •tali konstnkcyjnycb 1topow'Ych,

WytrzyRodzaj stali

Znak stali

Skład

Wytyczne

małość

chemiczny ( ońent.acyj-

obróbki cieplnej

na roz-

R,.. (R,.) MPa mm

nie)

%

Mn

ciąganie

Granica plastyczn ości R. (Q,) MPa min

Wydłu-

tenic As% mm

Udarność

u

dal cm

Twardość

HB

1802 18G2A

0.1 8 c l,3Mn

N.

520

320

19

30G2

0,30C l,6Mn

N . 870°C

660

400

17

800

550

14

8

240

900

700

15

6

229

1050

850

10

7

207

950

800

10

7

229

207

H. 850°C woda

o. 530°C poVl".ietrze

Si-Mn

35SG

0,35 c 1,3 Si

H . 900°C

1,3 Mn

o. 590°C

woda woda

0,45 c 0,6 Cr 1,2 Ni

H. 820°C woda o. 530°C woda

0,38C 38HGN 0,9Mn 0 ,7Cr

H. sso~c olej o. 570°C woda

45HN

Ni-Cr

1 Ni

280

19. Tablice

Naprężenia

na

dopuszczalne

rozciąganie,

j ednostronne

i wytrzymalościowych materiałów

Orientacyjne wartości

Ml'a

obci~enie obciążenie

własności.fizycznych

wytrzymałości

zmęczenioweJ,

ame1U1e

zginanie

MPa

rozciąganie

skręcanie

tętniące

k,

obustronne symetryczne

krj

kro

170+220

100+140

60+ 100

230 360 400 170 290 340 130 260 220

140+190

90+120

60+90

250 380 400 180 300 340 140 270 240

220+300

120+150

70+ll0

300 480 560 210 360 550 170 340 340

240+300

150+180

80+110

380 600 750 280 480 700 220 440 440

300+400

160+200

90+1 30

450 660 900 320 520 840 240 500 500

270+380

150.;.190

90.;.120

400 620 850 300 480 800 220 450 480

stałe

Z1o

Zv

Q, Z,,,

Z,1

Q,

Z..,

zll Q,

281

Ili. Tablice stosowane do obliczeń wytnymało.Jciowych Tablica 19.8 (cd.)

Rodzaj stali

Wytny-

Granica

Skład

Wytycme

małość

Wydłu-

Znak

chemiczny

na roz-

stali

(orientacyj-

obróbki cieplnej

plastyczności R, (Q,) MPa min

950

750

1000

zenie A, o/o min

Udarność

Twar-

u .M.2

dość

11

7

197

800

10

6

217

1100

950

8

4

229

1000

800

12

8

241

1100

850

10

5

229

1650

1400

10

5

24 1

nie)

cil\gallie R., (R,)

%

MPa

HB

cm

min 0,35

3SH

c

I Cr

H . 860°C

olej o. S00°C woda, olej

40H

Cr

0,40 c I Cr

H.

sso·c

olej

o. soo•c woda, olej

o.soc 50H

1 Cr

0 ,35 c

Cr-Mo

35HM

30HGS

Cr-Mn-Si 35HGS

H . 850°c woda O. SOO"C woda

1,1 Cr 0,2Mo

H. 850°C woda O. 540 °C woda

0,30 c l Mn 1 Cr l Si

olej

0,35 c lMn 1,3 Cr

1,35 Si

H . 880°c O . 540°C woda, olej

H. sso•c olej izotam. o. 100°c woda

Dane orientacyj ne Obróbka cieplna: H . - hartowanie, O . - odpuszczanie.

282

19. Tablice własnofri fir:ycznych i wytrzymułafriowych materiałów

OrientacY.ine wartości wytrzymałości zmęczeniowej, MPa

Naprężenia dopuszczalne

na rozciĄganie, MPa obciążenie

obciątenie

zgmame

zmienne

rozc1ągame

skręcanie

"'

kr:.1

obustronne symetryczne kro

250+350

200+260

110-:-150

540 740 750 400 750 700 240 600 420

270+370

200+250

120+160

600 800 850 420 700 800 320 650 480

330+430

200+250

120+ 160

620 800 950 430 700 900 330 680 540

270+380

180+240

110+150

500 700 850 360 600 800 260 550

280+380

180+240

110+1 50

500 700 850 360 600 800 230 550 500

400+500

150+200

l 10+150

440 600 840 350 500 760 220 300 460

stałe

jednostronne tętniące

(0,35+0,45)Q, (0,3+0,4) z,J

(0,3+0,4 )Zro

z,,,

Zv

Q,

Z,o

~

0,4. l,fo I, J,. 0,7x 1,2. ..R, ,z,. .Q, xZgo ,zr•

Q,

Zro

Zv

0,6. I.I-

.z,. .z,.

Q,

500

0,6v

.Q,

Podane w tablicy wartości naprężeń dopuszczalnych dotycz.ą wyrobów o grubości do 16 mm; dla grubszych wyrobów należy naprężenia dopuszczalne zmniejszyć, mnożąc podane w tablicy wielkości

przez współczynniki: 0,8-;.0,9 dla grubości 16+40 mm, 0,65+0,75 dla grubości 40-:- 1OO mm, 0,55+0,65 dla grubości l00+160 mm, 0,45.;.0,55 dla grubości 160.;-200 mm.

283

III. Tablice sto3owane do T•bJic• 19.9.

obliczeń

wytrzyma/a.Sciowych

Własności wytnymalościowe

i

zmęczeniowe

stali

Wytrzy-

Rodzaj stali

Znak stali

sprężynowych

(resorowych) Twar-

Skład

Wytyczne

małość

Granica plas tycz-

Wydłu-

dość

chemiczny (orientacyjnie)

obróbki cieplnej

na roz-

ności

lenie

ciąganie

R. (Q,)

R„ (R,.)

MPa

A5% min

w stanie surowym HB

MPa

min

%

min

c

75

0,76 c 0,7Mn 0,2 Si

H. 820°C olej o. 480°C

1100

900

9

285

65G

0,65 c

1000

800

8

260

0,27 Si

H. 830°C olej O. 480°C

0,5 c 0,75 Mn l,6 Si

H. 870°C olej O. 460°C

1300

1200

6

285

60SGH

0,6C I Mn l Si 0,5 Cr

H. 850°C olej O. 480°C

1400

1250

7

302

Cr-Mn

50HG

0,5 c 0,9Mn 0,3 Si I Cr

H. 840°C olej o. 440°C

1300

1200

7

302

Cr-Si

50HS

1350

1200

6

302

1600

\400

Mn

\Mn

Si

Si-Mn-Cr

50S2

Drut patentowany (fortepianowy)

0,5 c

H. 850°C

0,4 Mn I Si 1,1 Cr

olej o. s20°c

0,45+0 ,9 c

H. 500"CaJ

Dane orientacyjne Naprężenia dopuszczalne na slcręcanie dla sprężyn: k, = 0,6k1 , kv = 0,6k/lJ, k'° = 0,6k1 o. Górne wartośei naprężeń dopuszczalnych stosować dla dokładnie ustalonych obciążeń, dla sprężyn starannie wykonanych, po prawidłowej obróbce cieplnej, gdy pęknięcie resoru (sprężyny) nie powoduje poważniejszych zakłóceit. Drut patentowany (tzw. fortepianowy}- do wyrobu drobnych sprężyn śruboW)'ch. Obróbka cieplna: H. - hartowanie, O. - odpuszczanie.

284

19. Tab/lee

Naprężenia

własności fizycznych

zmęczeniowej,

obciążenie imienne

stałe

k, 500.;-600

jednostronne tętniące

obu stromie s}'111etryczne

"11

k,o

300+400

200+300

materiałów

Orientacyjne wartości wytrzymałości

dopuszczalne na zginanie

(po obróbce cieplnej), MPa

obciążenie

i wytrzymałościowych

zginanie

MPa

1ozciąganie

skręcanie (ll

z.u z" 360

(I)

Q, Z..,,

Z,1

Q,

Z,o

560 260 460 500 220

z

Q,

q

(li

300

440

600

450+550

300+400

230+300

450 650 850 350 500 800 220 300 460

650+800

450+550

300+400

650 1000 1200 440 760 1200 380 100 100

750+900

550+650

300+400

650 1000 1300 420 760 1200 380 700 720

750.-.900

SS0.-.650

300-T-400

650 1000 1300 420 760 1200 380 700 720

700.;-850

500+600

300+400

600 960 1300 420 750 1200 350 700 720

850.;-950

600+700

350+450

700 llOO 1500 460 840 1400 420 770 840

(0,6+0,7)Q,

(0,5.;-0,6)Zg1

(0,5-7-0,6)Zic

0,45x 1,6. 1,], 0,7. l,2x ,R, xZao •Q, xZllo

,z,o

0,6x 1,1

.z,o

X

0,6x

xZwo .Q,

rii Jezeli Z1 jesl większe od Q, to moze słu.żyć tylko do konstrukcji wykresów zmęczeniowych lub może być podstawione do odpowiednich wzorów obliczeniowych. 2

patentowany (fortepianowy) jest poddawany hartowaniu izotermiC2llemu przy 500°C w kąpieli ołowianej, przeciągany na zimno, a następnie odpuszczany w temperaturze od 200 do < J Drut

240°C.

285

lll. Tablice stosowane do

obliczeń

wytrz:yma/oJciowych

T•blica 19.10. Własnośti wytrzym•łościolt'e i zm~czeniowe 1a.Jiw węglo\ll')'ch Stan: normalizowanie i odpuszczanie

Twardość

Znak

Zawartość

Wytrzymałość

Granica

Wydhuen.ie

Udarność

staliwa

węgla

na rozciąganie

plastyczności

A,

u

HB

%

R„ (Rr)

R. (Q,)

%

min

MPa

MPa

mm

daJ/cm1 mm

mm

min

L 150

0,15

c

400

200

24

5

114+156

L200

0,20C

420

220

22

5

118+156

L 250

0,25 c

450

240

19

4

128+170

L 300

0,30 c

480

200

17

3,5

137·d 83

L 350

0,35C

500

280

IS

3,5

140+191

L400

0,40C

530

300

14

3

149+195

L450

0,45

c

550

320

12

3

156+207

L 500

O,SOC

580

340

11

2,5

163+212

L 550

0,55

c

600

350

IO

2,5

170+217

25HlS

0,25 c 15 Cr

650

400

15

żar o~

odporne

Dane mi entacyjne I ablica dotyczy własności odlewów. Współczynniki bezpieczeństwa dla staliw powinny być o 40% większe niż dla stali (zasada ta obowiązuje np. dla zbiorników ciśnieniowych ) .

286

19. Tablic'

Napręt.enia

na

wlasnościfizycznych

wytrzymafościowy-:h materiałów

Orieul.!l.cyjne wartości wytuymałości zmęczeniowej, MPa

dopuszczalne

rozciąganie, MPa obciążenie nnienne

;

rozciągarue

zginanie

obciążenie

jednostronne

stałe

tętniące

kr

k,1

obustrorute symetryczne k,..,

70+90

35+56

20+30

130 200 220 110 170 200

80+100

40+60

85+!05

skręcanie

Z,o Z;] ( I)

Q,

90

140

120

25+35

140 230 240 120 190 220 95

ł.50

130

40+65

25-;-40

150 260 260 130 210 240 100 160 140

90-;.115

45+70

30.;.40

160 290 300 140 220 260 110 180 160

95+125

50+70

30+45

180 320 330 150 240 280 120 200 180

105+135

50.;..15

30+50

190 340 360 160 250 300 125 215 190

110+140

50+75

35+50

200 360 380 170 250 320 130 230 200

115+150

55+80

35+55

210 380 410 180 280 340 140 240 210

120+155

60+90

40+60

230 400 450 200

120+160

60+90

40+60

200 340 400 140 240 400 100 180 280

(0,35+0,45 )Q, (0,2-;.0,3)Z1:1

(0,2+0,3)Z,,,

z/IO

Z11

Qll

Zro

ztj Q,

320 360 150 260 220

0,34x l ,7x 1,1, O,Sx l,2x .R, .z11 xQ, xZeo .z.o 0

o.s:

xZ1„

0,9x 0,7x xZ go •Q,

(0J5-;.0,25)Q, il) Jeżeli Z1 jest większe od Q, to może służyć tylko do konstrukcji wykresów z.męcz:cniowyd1 lub może być podstawione do odpowiednich wzorów obliczeniowych.

287

/Il. Tablice s/osowanr do Tablica 19.11.

oblicuń wytrzymałościowych

WIHnośd wytrzymałościo~e

Nazwa

Znak

żeliwa

(gatunek)

i zmęa.eniowe ieliw

Skład

Wytrzy-

Wytrz.y-

chemiczn~

małość

małość

małość

Wydłu-

( orientacyjnie)

na roz-

na ściskan.ie

żen.ie

Twardość

ciąganie

Aj%

HB

%

R,,, (R,)

na zginanie R, MPa min

R,

mm

MPa

mln

Wytrzy-

l\1Pa

min

Zl lSO

150

250

500

159.;.2\2

Zl200

200

300

600

170.;.241

Zl2SO

250

400

800

183+262

Zł300

300

450

900

192+269

Zl350

350

500

1000

201+277

Zl400

400

600

1200

pow. 223

ZiM26

260

460

900

170-'-240

ZiM30

300

500

1000

170+240

ZiM34

340

540

l IOO

190+250

ZiM38

380

580

1200

190-i-260

Sferoidalne perlityczne

lsP45

450

720

1600

l

200+280

Sferoidalne ferrytyczne

ZsF05

400

700

2000

s

ISS-i-2 10

Ciągliwe

ZcC3510

350

(Q, = 230)

6

150

250

400

800

Żaroodporne

austenityczne

350

500

1000

Szare

Modyfikowane

żeliwo

14Ni 2 Cr 7Cu

Żaroodporne żeliwo

0,2 Ni perlityczne 0,3 Cr

Dane orientacyjne Dolne wartości naprężeń - dla odlewów grubościennych. naprężenia dopuszczalne lWiękSl)·ć o I O+ 15% Naprężenia dopuszczalne na .ściskanie: k, = 2 ,5k,, k,1 = 2,5kl:J. Naprężenia dopusz.czalne na zginanie: przekrój prostokąmy k, = I ,Skro k,1 = l ,3k,j, k, 0 = 1,2kn„ przekrój kołowy k" = l ,7k,, kgo = 1,25kro, klli = l ,4SkrJ, przekrój dwutoowy kg = I ,4k,, kJll = l ,25k,j, kio = I , I 5k,0 .

Gdy naskórek odlewniczy usunięty -

288

i 9. Tablice

Naprężenia

własności fizycznych

i

Orientacyjne

dopuszczalne

MPa obciążenie

wytrzymałościowych materiałów

wartości wytrzymałości

zmęc:zeniowej,

zmienne

obciążenie

jednostronne

stałe

tętniące

obustronne symetryczne

~

kry

k,o

20+30

l5+25

30+40

MPa

rozciąganie

zginanie

z,.

Zw

z,..,

Zr.1

10+15

60

100 160 40

20+30

15+20

80

140 220

35+50

25+35

20+25

40+60

30+45

50+70

Q,

Q,

skr~'Canic

Zso

Z-i1

Q,

60

50

70

90

50

70

70

90

170

110 180 270

60

90

80

I JO 140

20+30

130 200 330

70

110

90

l20 l60

35+50

25+35

140 220 380

80

! IS

I IO

150 180

55~·80

40+60

30+40

160 240 440

95

140

120 170 200

35+50

30+45

20+30

120 170 280

70

120

130 190 180

40+60

35+50

25+30

140 190 320

80

140

150 210 190

50+70

40+55

25+35

160 220 360

90

160

180 230 210

55-!-75

50+70

30-;-40

180 250 400 100 180

200 250 230

60+80

45+60

30+40

180 240 480 100 160

140 200 240

55+75

40+60

25+35

160 200 440

90

140

120 180 220

50+70

35-;-50

25+30

140 180 380

80

120

100 130 200

35+50

25+35

20+25

100 160 270

60

90

80

50+70

40.;-50

30.;-40

150 240 380

90

130

120 160 200

(0,14+0,2)R,

(0.3+0.4 )Zt:J

(0,3+0,4 )Zro

0,4, 1,6, 1,lx 0,6x 0,9, xR, xZ10 .Q, xZ,.

0,8, 1, 1x 0,6,

Naprężenia

dopuszczalne na przekrój kołowy przekrój prostokątny przekrój pierścieniowy

.z,.

1 IO 150

.z,• .z,.

,R,

skręcanie:

k, = 1,2k,, k, = 1,4k,, k, = 0,95k,,

kv =l,lklJ, ku = I ,2k,1, k11 =0,9k,1,

k,0 = k"" k,o = I ,Ikro, k10 = 0,8k,0 .

289

lll. Tablice stosowane do

obliczeń wytrzymałościowych

Tablic• 19.12. Wła1noid wytrzymałościowe I .zmęaenlowe stopów aluminium

Wytrzy- Granica małość

Nazwa, przeznacze-

Określenie

Znak

Cecha

plastycz Wydtu- Twarności żenie dość HB ciąganie R. (Q,) A~% R„ (R,) MPa min

na ro:z-

Stan

(orientacyjnie)

nie

MPa mm

min

35

99%AI

Al99

w.

90

45

23

99%AI

Al99

T.

160

15

44

Alwnan

AlMnl

w.

130

20

30

Aluman

AlMnl

T.

80

Po

Hydronal

AlMg2

PA2

T.

220 200

obróbce

Hydronal

A1Mg2

PA2

w.

130

50

P.sam.S.

180

12 18

45

15

100

17

105

Alwninium

Alwniniurn

PAI

plastyc:r..r1ej Anticorodal AlMgSiMn PM

55 23

45

20

30

Dural

A!Cu4Mg

PA6

w.

Dural

A1Cu4Mg

PA6

P _Slłffi. S_

210 420

Dural

AlCu4Mg2 PA7

P.sam.S.

470

Dural

AlZnMg-

P.sam.S.

550

Dural

PA9 ·2Cu1MnCr A1Mg5 PA20

W.

270

23

65

Dural

A1Mg5

PA20

półtwardy

370

250

12

95

Dural

AICuMg-

PA30

460

380

JO

p_ szt.

s_

500

12

·INilFelTi Odlewy kokilowe

AlSi9

AK9

s

200

Odlewy kokilowe

Al SiCu

AK.51

P.S.

180

Odlewy w piasku

AlCu4Ti

AM4

P.S.

270

1,5

70 60

150

4

80

po obróbce plastycznej Dane orientacyjne odlewy Stopy aluminium w zasadzie nie mają nieograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej~ ze wzrostem liczby cykli wytrzymałość zm~zeniowa maleje, jak to podano w rozdz_ 17. Stop PAJO odporny na wysokie temperatury (bliższe dane w rozdz. 16). Oznaczenia stanu: W. - wyżarzony, T. - twardy, P. - pnesycony, S. - starzony, sam. S. - samorzutnie starzony, szt S. - sztucznie starzony_

290

19. Tablice własno.k1fizycznych i wytrzymałościowych materiałów

Naprężenia

dopuszczalne na rozciąganie, MPa obciążenie

obciążenie ~ednostronm

zmienne obustron-

15+20

60+80 100+130 110.;-150

3(}.;.40 30+40 60+80 70-;-90

20+25 20+25

8

5·10 70 110 100 5.JOs 100 160 120

60

60

30

SO

SO

55

90

80

40

70

70

80

120 100 60

100 80

100 120

50

80

80

8

80

120 120 60

8

60

100

90

50

80

80

35

60

60

1

60

100 100

50

80

110 35

60

80

8

5·10 5·10

5.10

80

140 140

40+50

110 200 280

100 180 330

90

150 150

lQR

150 240 220 120 200 200

90

150 120

110 190 140

90

140 !OO

130 220 200 100 180 200

85

130 140

140 230 220 110 190 200 90

140 140

5·103 140 230 200 8

40.;.50

5· 10

8

120+150

70+90

45+55

10

45+60

35+45

20.;..30

2·10 7

20.;..30 ]5-;-20

(0,3+0,4 )R, (0,4+0,5 )Zr:1 (0,4+0,5 )Zro (0,2+0,3)R,

40

160 240

45+55

25+30

60

90

70.;.90

55.;-80

60

100 180 260

80.;.l 10

30+35

35

tog

45+60

35.;-55

55

[I)

5·10

80+100

70+90

5· 10

35

Z

35+45

130+180

100+130

80

70

15+25

50.;.70

80

60

30+40

25+30

45

90

50+65

40+50

30

100

5·108

40+50

35

8

10+15

30+40

20

5·108 60

20+25

40+55

40

25

30+40

60+80

50

50

tryczne kro

20+30

Q.

60

kij

35+45

,,

Z,.., ZTj( I)

k,

65+&5

Z.ro z <1i

Q,

ne syme-

skręcanie

Q,

li

z&O

tętniące

25+30

rozciąganie

zginanie

n,

stałe

40+60

Orientacyjne wartości wytrzymałości zmęczeniowej, MPa

Liczba cykli

(0,35-:-

(0,35-:-

+0,45)Z,j

.;..Q,45)Zro

80

110 110

60

110 100

50

80

80

7

60

100 150

50

80

150

35

60

100

7

50

80

40

70

80

30

50

50

10

10

90

l,h 0,8. 1,4, 0,6. 0,6, ..R., xZ2o xQr ,zllO xZgo o.R, ,z110

0,35>< 1,7><

'"

xlllo

0,4< ,.R,

(l) Jeżeli 0 jest więks1,e od Q, to może służyć tylko do konstrukcji wykresów zmęczeniowych lub może być podstawione do odpowiednich wzorów obliczeniowych

291

Ili. Tablice stosowane do Tablica 19.13.

Przeznoczenie

Własności

obliczeń wy1rzymałosciowych

wytrzymaloilciowe i zmęc-uniowe 1topów miedzi

Określenie

Znak

Cecha (orient.acyjnie)

Stan

Wytrzy- Granica małość plastycz- Wydłu na rozn ości żenie

ciąganie

R,., (R,)

MPa

R. (Qr) A)% MPa min mm

nun Na odlewy

miedż

Cu99

M4

wyżarzony

210

70

Po obróbce plastycznej

brąz cynowy

CuSn7P

B7

wy.żarzony

300

200

Po obróbce plastycznej

brąz

CuSn7P

B7

twardy

600

CuAI IO

BA1032 kuty

600

360

12

CuAl JO

BA1032 lany

500

350

IO

CuSn 10

BIO

lany

200

5

Po obróbce plastycznej Na odlewy

cynowy

brąz

38 1

aluminiowy brąz

aluminio"'Y Na odlewy

brąz

Po obróbce plastycznej

mosiądz

CuZn40

M60

tłoczony

350

15

Po obróbce plastycmej

mosiądz

CuZn40

M60

c1ągruony

480

5

Po obróbce plastycznej

mosiądz

CUZn40

M60

twardy

500

5

Po obróbce plastycznej

mosiądz

CuZn37

M63

wytanony 650°C

290

45

Po obróbce plastycznej

mosiądz

CuZn37

M63

wy.żarzony

500

22

Po obróbce plastycznej

mosiądz

CuZn37

M63

twardy

400

18

Po obróbce plastycznej

mosiądz

CuZn37

M63

zimno

500

18

Na odlewy

mosiądz

350

15

cynowy

23S°C

walcowany Cu Zn38

Dane orientacyjne

MAS&

lany

po obróbce plastycznej

odlewy

292

19. Tablice

własności fizycznych i wytrzymałościowych materiałów

Naprt;;żenia dopuszczalne

Orientacyjne

na rozciąganie, MPa obciążenie

wartości wytrqmalości

zmęczeniowej,

zmienne

obciążenie

jednostronne

stałe

tętniące

obustmrme symetryczne

k.

"•j

k.o

S0+70

30+40

70+90

MPa

rozciąganie

zginanie

skręcanie

Ziro

Z11

Q,

Zro

Zr1

Q,

z.o

z~

Q,

20+30

60

100

80

SO

70

70

30

50

50

60+75

35+50

l IO 160 180

90

150 200

40

80

90

90+110

80+100

S0+70

160 240

120 220

70

150 150

120+150

80-:-1 IO

60+80

180 240 360 160 250 360 100 200 220

100+150

50+70

30+45

120 180 300

90

160 350 60

120 120

S0+70

30+40

15+20

50

90

40

70

25

50

SO

70+90

50+70

30-:-40

90

150

70

120

40

90

90

160 240

120 220

70

150 150

100+140 I 10+150

80+1 IO

45+60

140 220

100 200

70

140 140

60+ 120

55+70

35+50

120 200

90

160

70

120 120

120 200

90

160

100 200 200

120 180

80

150

80

160 240

120 220

70+90

70+90

50+70

40+50

(0,25+0,35)R,. (0,4+0,S)Ztj (0,2+0,3)R,

(0,35+0,45)· ,Z,1

40+55

180 180

80 160° 100

25.;..35

90 150 70 120 40 90 90 (0,4+0,5 )Zro 0,35x 1,7. 0,6x 0,8x 1,4. 0,6. 0,5. h 0,4. .R, .z.o xR.r .z.o .z,o xR.r .z.o .z.o xR, (O,J5.;..0,45)x · Zro

(I J Jeżeli l.J jest większe od Q, to może służyć tylko do konstrukcji wykresów zmęczeniowych lub może być podstawione do odpowiednich wzorów obliczeniowych.

293

Ili. Tablice stosowane do

obliczeń wytrzymałościowych

Tablka 19. 14. Dane orientacyjne do wyznaczania naprężeń dopuszczalnych i wytnymałości zmęczeniowej

Naprężenia

dopUSl.CZalne na rozciąganie obciążenie

Materiał

Stale

węglowe

R,~600

Stale

MPa

węglowe

R,>600 MPa Stale konstrukcyjne stopowe

Stan

obciążenie

jednostr0JU1c

obustronne

stałe

tętniące

symetryczne

k,

k.;

k10

surowy normalizowane lub wyżarzane

(0,SS+0,65)Q,

(0,35+0,45)Q, lub (0,3+0,4 )Zr.1

(0,2+0,35)Q, lub (0,3+0,4 )Zro

normalizowane

(0,5+0,6)Q,

(0,4+0,5)Zri'

(0,4+0,S)Z,o

hartowane

(0,35+0,45)Q,

(0,3+0,4 )Z,1

(0,3+0,4 )Zro

nawęglane

(0,35+0,S)Q,

(0,4+0,5)Zr.1

(0,4+0,S)Zro

ulepszane cieplnie

(0,35+0,45 )Q,

(0,3+0,4)Zr.1

(0,3 +0,4)Z,o

k6 = (0,6+0,7)Q,

"" = (0,5+0,6)211

k,o = (O,S+0,6)Zgo

(0,35+0,45 )Q,

(O, l 5+0,25)Q,

(0,2+0,3)Z,.o

Stale sprężynowe hartowane (resorowe) i odpuszczane Staliwa węglowe

zmienne

nonnałizowane

i odpuszczane

lub (0,2+0,3)ZrJ

Żeliwa

odlewy

(0,14+0,2)R,

(0,3+0,4)Zr;1

(0,3+0,4 )Zro

(0,25+0,35)R,

(0,4+0,5) Z.;

(Q,4+0,S)Zro

Stopy miedzi

ptzerobione plastycznie odlewy

(0,2+0,3)R,

(0,35+0,45)Z,1

(0,35+0,45)Zro

odlewy po starzeniu

(0,2+0,3)R,

(0,35+0,45)Zi;1

(0,35.;-0,45)Zro

Stopy

aluminium

Górne wartości naprężeń dopuszczalnych stosować dla dokładnie znanych obciążeń i elementów o grubości do l 6 mm, gładkich, bez karbów zagillUjących w razie zeIWanie. zniszczeniem maszyny lub wypadkiem. Dolne wartości naprężeń dopuszczalnych stosować dla elementów o większych \V)"miarach, normalnej gładkości, o umiarkowanym działaniu karbu. Naprężenia dopuszczalne dla lDllych stanów obciążeń (oprócz żeliw):

k. = (1,0+1, l )k,, k,,.,0,6k,

294

19. Tablice

własności fizycznych

wytrzymałościowych materiałów

i

Orientacyjne wartości wytrzymałości zmęczeniowej, MPa skręcanie

rozcu\game

zginame

Z„a

Z11

Q,

Zro

zrJ

Q,

Z.o

zi1>

Q,

0.5R,

1,7210

l,2Q,

0,7Z1o

1.3Z1o

Q,

0,6Z8„

1,2Ziro

0,65Q,

0,45R,

l,7Z,o

l,2Q,

0,7Z1 o

1,2Z1 o

Q,

0,6Z„0

l,IZ,o

0,6Q,

l,6Z1 o

l,IQ,

0,7Z1o

I,2Z,o

Q,

0,6Z1 o

l,1Z1o

0,6Q,

0,35R,

1,7Z1o

l,lQ,

0,8Z10

l .,2Z1 o

Q,

0,5Z.iro

0,9Zro

0,6Q,

0,45R,

l,6Z,.

0,6R,

0.6Z1 o

0,9Z,.

0,6R,

o,sz,.

1,1z,.

0,7R,

0,35R,

l,7Z,.

0,6R,.

0,8Z,.

IAZ,.

0,6R,

0,5Zgo

1,0Z,o

0,4R,

0,35R,

1,728 •

0,6R,

o.sz,.

1,4lgo

0,6R,

0,5Z1 o

1,oz,.

0,4R,

0,35R,

1,7Z8•

0.6R,

0,8Z1 o

l ,4Zgo

0,6R,

0,5Z1 o

l,OZa;o

0,4R,

0,4R, 0,4R, 0,4R, 0,45R,

Naprężenia

tabl. 19.11.

dopuszczalne na zginanie i

skręcanie

dla

żeliw

podano w

objaśnieniach

do

Literatura I . Buch A.: Zagadnienia wytrzymałości zmęczeniowej. Warszawa, PWN 1964. 2. Dietrych J .. Kocańda S .. Korewa W.: Podstawy konstrukcji maszyn. Wyd. 3. Warszawa, WNT

1969. 3. Dorn J. E. : Mcchanical behaviour of mah..-rials at clcvated temperatures. New York, McGtawHill 1961. 4. Dyląg Z., Orłoś Z.: Wytrzymałość zmęczeniowa materiałów. Warszawa, WNT 1962. 5. Finnie L., Heller W. R.: Pełzanie materiałów konstrukcyjnych. Warszawa, WNT I 962 (tłum. z ang.).

6. Forrest P G .. Fatigue of metals. London, Pergamon Press I 962. 7. Gcx:hberg M. M.. Metallićeskie konstrnkcii kranov. Moskva, Ma~giz 1959. 8 . Gcx:hberg M. M. Metallićeskie konstrukcii pod"tmno-transportnych ma~in. Moskva, Masinostrnenie 1964. 9. Jakubowicz A, Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Wyd 6. Warszawa, WNT 1984. 10. Kl(bowski Z.: Wytrzymałość przemysłowych naczyń ciśnieniowych. Warszawa, PWT 1960 11. Kocańda S„ Szala J.: Podstawy obliczeń zmęczeniowych. Wyd. 2. Warszawa, PWN 1991. 12. Kocańda S.: Zmęczeniowe pękanie metali. Wyd. 3. Warszawa, WNT 1985. 13. Ma§inostroenie, t.1, cz. Il. Moskva, Gostechnizdat 1948. 14 Moszyński W.: Wytrzymałość zmęczeniowa części maszynowych. Warszawa, PWT 1954. 15. NeuberH.: Kerbspannungslehre. Berlin, Springer 1958. 16. Niemami G .: Maschienenelemente. Berlin, Springer 1975. 17. Niezgodz1ński M. E„ Niezgodziński T.: Obliczenia 1Jl1ęczeniowe elementów maszyn. Warszawa, PWN 1973. 18. Niezyodziński M. L„ Niczgod2i1iski T: Wytrzymałość materiałów Wyd. XIV :.!m. Warszawa. PWN 1998.

19. Odiny I . A.: Dopuskaemye naprj ażcnija w maśinostroenii. Mmkva, Masgiz 1%2. 20. Pwwmariew S. D.: Współczesne metody obliczeń wytrzymałościowych w hudowic maszyn. Warszawa, PWN 1958 (tłum. z ros.). 21. Pią1kiewicz A., Soho/ski R.: Dźwignice. Wa rsza wa , WNT 1978. 22. Pisarenko G. S. i in.: Pro<::nost' matcr ialov pri vysokich temperaturach. Kicv, Naukova Dumka 1968. 23. Poradnik inżyniera mel'.hanika, t. I. Warszawa, WNT 1968. 24. Przeph;y lJrn;du Dm.n ru Techn icznego: Ur1.:idr,cnia ci~nicniowc. Ohl ic1.cnia wyt rzymal nŚÓll\vc

DT-UC-90/ WO-O 25 . R asćcty na p rocnost' w masino~trocni i. Mo~kva. Masgiz 1963. 26. Serf!n.~c·n S. W i in.: Nc5uiić<1ja ~pt1~ohnosf i rasccly dctak:j masin na procnost'. Moskv;1, Maśgi7.

1963.

27. Sim„,· G„ Wui.1111011 J. L.: Metal fatiguc. New York, Me Grnw-Hill 1959. 28. Sor.> L.: Fatiguc De~ign of Mm;hinc Cnmponrnts. Bu71.

296

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

36. 37.

Spravocnik maSinostroitt:lja, t. 3 i t. 6. Moskva, MaSgiz 1955. Spravocnik po maSinostro1telnym materialam. Moskva, Masgiz 1959. Spravocnik: Procnost', ustoj~iwost', kolebanij a . Moskva, MaSinostroenie 1968. Tablice inż)11ierskie. Poznań-Szczecin, PWN 1955. Tauscher H.: Zulassige Sparmungen fur standariesierte metallische Werkstoffe_ Leipzig, Fachbuchverlag 1962. Thum A . i in.: Verfonnung, Spannung Wld Kerbwirkwig. DU.sseldorf, VDI 1961. Timoshenko S„ Gere J. M.: Teoria stateczności sprężystej. Warszawa, Arkady 1963 (tłum. z ang.). Timoshenko G., Goodier J. N.; Teoria sprężystości. Warszawa, Arkady 1962 (tłum. z llllg. ) . Timoshenka G., Woinowjky-Kneger S .: Teoria płyt i powłok. Warszawa, Arkady 1963 (tłum. z ang.).

38. Norma PN-90/B-03200 ,,Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie" 39. Nonna PN-79/M-06515 ,,Dżwignice . Ogólne zasady projektowania stalowych ustrojów nośnych" oraz PN-SS/M-06516 ,,D:twignice. Złącza spawane w stalowych ustrojach nośnych d:twignic". 40. Nonna PN-76/H-04330 ,,Próba pełzania metali" oraz PN-85/H-74252 ,,Rury stalowe bez szwu, kotłowe" .

Skorowidz Alwnan 292 aluminiwn 237, 268, 290 -stopy 44, 290 - własności fizycme 268 - - w obniżonych temperaturach 206-209 - - w podwyższonych temperaturach 209-212 --zmęczeniowe 236-238, 290 amplituda naprężeń 216 anticorodal 44, 290 azbest 195

Belki na sprężystym podłożu 128-133 - statycmie nicwyznaci.alne 82-97 - -wyznacz.alne 71-81 -wieloprzęsłowe 89-97 -wspornikowe 71-73 beton 36, 268 bc2pi~ współc.cynnik 13-17, 192, 222 brązy na odlewy 292 - , własności fizyczne 268 - , - wytrzymałościowe 292 - , - zmęczeniowe 292 Bredta wzory 57-62 Brinella twardość 266-290 Bunyńskiego hipoteza 39

drut patentowany, spręzynowy 284 - uszczelniający 196 dural, duraluminium 208, 236, 290 dwuteowniki, skręcanie 63-67 - spawane 201 Energia sprężysta 27 Eulera wzory 40-45 Granica plastycmości 13, 43, 266-295 granit 268 gwinty264

Haki, oblicz.anie I 25 Hertz.a WlOry 32-36 hipote2.8 Burzyński.ego 39 - Coulomba 37-39 - Hubera 37-39

-Saint-Venanta 36 hipotezy wytrzymałościowe 36-39 Hooke'a prawo 23 - - przy ścinaniu 25 Hubera hipotez.a 37-39 Kauczuk 195, 268 kąt odkształcenia postaciowego 26

-

Ceowniki, skręcanie 63-65 - , zginanie 127 ciśnieniowe naczynia 170-197 Coulomba hipoteu 38

cykle

obciążeń 2 l 9-223

cyna 270 cynk 268

298

28 70 193-197

kołnierze

kryteria wytreymałościowe I 1 krzywizna względna 125 kwadratowe pc-ęty slcręcane 62 Materiały sprężysto-kruche

Dna zbiorników I 90 drewno, własności 44, 268

skręcenia

- ugięcia

sprężysto-plastyczne

36

37

metoda no~ności granicznej 11, 21 - stanów granicznych 9, 22 - superpozycji 97

powłoki

miedi 268, 292 - . stopy292 moduł sprężystości 23 - - postaciowej 26 -Younga23

momenty bezwładności 19, 28, 30 - , tablica 19

-

statyczne 27 292

mosiądz 268,

Naciąg montażowy śrub 194 - ruchowy śrub 194 naczynia ciśnieniowe 168-197 - gruboście!Ule 186-188 naprężenia, definicja 12 - dociskowe 32 - dopuszczalne 13, 202 -krytycwe 40 - na docisk Hertz.a 32, 271 - - - , liczone na rzut 31, 27 1 - - skręcanie 28 - - ścinanie 26, 271 - - ściskanie 271 - nominalne 12 - stycmc 26 -tnące 26 -wstępne 16 - zm~cniowe 2 I 7 - zredukowane 36 n~ość granicms l I , 20

walcowe l68-l93 prawo Hooke'a 23 --przy ścirumiu 25 - - uogólnione 2 5 prędkość pełzania 213 pręty dwugałęziowc 45-47 - kwoclndowe skręcane 62 - skręcane 28, 55-68 - smukle rozciągane i zginane 138-14 l - - ściskane i 7""8inane 134- I 38 - sześciokątne skręcane 61 - trapezowe skręcane 6 I - trójkątne skręcane 61 promień bezwładności 40 - dna karbu 217, 253 -krzywillly 69, 125 przegub plastyczny 2 I Ramy 99-110 - statycznie niewyznaczalne I 04-1 IO - -wyznaczalne 99- J03 rurociągi l 68-178, I 93-197 rury grubościenne 186-1 88 - . ściskanie osiowe 177 - . skręcanje 28, 57 - , 2:.ginanie 171-176 - , wyboczenie 177

Seint-Venanta hipoteza 36 siły

lTll\Ce 26, 69

slc.óra 195

Obliczenia metodą ~i granicmeJ 11, 20

skręcanie 28,

docisk powierLchniowy 3 I - - -liczony na rLUt 31, 271 - - --wg Hertza 32, 271 --pełzanie 11, 212 --st.atecmość ll,40-53 , 164 -zmęczeniowe 216-239

-

-

llll.

ołów268

57-68 nieswobodne 56

-prętów 56 - - cienkościennych 56-68 - - niekołowych 56-68 - - prostokątnych 58, 60 - swobodne 56-68 Smitha wykres 221, 235 smukłość40

Peli.anie 11, 212-214 pierścienie koliste zginane 11 1-124 płyty grube 163 - kołowosymetryczne 142-153 - prostokątne 153-163 Poissona liczba (współczynnik) 24, 268 połączenia spawane 19 3, 198-20 5

-

śrubowo-kołnierzowe

powłoki

168-193

193-196

- prętów wielogałęziowych 45 spewBne połączenia 198 spiętnenie napr~eń 12, 216-265 spręŻ)Jly śrubowe 29, 52, 265 staJ konstrukcyjna 266-285 - sprężynowa 266, 280 - stopowa 280, 294 st.nliwo 43, 266, 270, 286, 294 - , obliczenia zmęczeniowe 236

299

stan graniczny 22 stateczność pł)'t 164-16 7 -powłok 177 - prętów 39-5 l - rur 174-178 stopy aluminium 212, 231 , 268, 290 - lekkie 268, 290 - miedzi 268, 292-295 szkło268 ~ość

- -

na skręcanie 28, 53, 63 zginanie 70

ścinanie 25-27

-

czyste 25 tec:hnologicznc 26

ściskanie 40

-

i zginanie 134

śrubowo-kołnierzowe połączenie śruby

193-197

193, 264

wyboczeniowy 43 wyboczenie 40-55 - prętów 40-51 - - o przehoju zmiennym 48-51 -rur 177 - skrętno-giętne 53-55 - sprężyn śrubowych 52 wydłnżenie względne 23 - równomierne 266, 290 wykres Smitha 221, 235 - Wóhlern. 2 16, 237 wykresy zmęczeniowe 239-265 wytrzymałość na pełzanie 20 - - rozciąganie I 3, 266-293 - złożona 37, 229 - zmęczeniowa 216-265 wzory Bredta 57 -Eułera40

-Hertza 32-36

Teowniki, skręcanie 63-67 Tetmajera wzór41 twardość Brinella 268-290

Udarność

współczynnik

266-286

uszczelki l 95 Walczaki 168-193 wały 28

- , obliczenia zmęczeniowe 216-237 warstwa oboj ętna 70, 125 WOhlera wykres 216, 237 wskaźnik wytrzymałości, tablica 19 - - na skręcanie 19, 28 ---~inanie 19, 30 współczynnik bezpieczeństwa 13-17, 232 - - na wyboczenie 42 - - statyczny 13-17 -- zmęczeniowy 222 - działania karbu 2 I 7, 244 - kształtu 217, 244-264 - spiętr.zenia naprężeń 202-205, 218 - stanu powierzchni 218, 242 - wielkości przedmiotu 21 9, 239-241 - wrażliwości materiału 217, 242

Zbiorniki ciśnieniowe 168-1 97 - - otwarte 180

zginanie belek 69-98 - - statycznie niewyznaczalnych 82-97 ---wyznaczalnych 69-81, 98 -łuków 11, 124 - płaskie 30, 69 -płyt 142-167 --prostokątnych 157-163 - powłok 168-186 -ram 99-110 - rur 168-176 -ukośne 31 - walcowe płyt 15 S zmęczeniowe rutprężenia 216-238 - obliczenia 216-265 zwichrzenie 20, 53

-belek 53 t.eliwo 44, 192, 266, 288, 294

- modyfikowane 288 -

-

sferoidalne 288 szare 266, 288 żaroodporne 288

WNT. W;irszawa 2004. Wyd. IX Ark. wyd. 2 1,0. A rk. druk . 19.0. Symbol MK/&3994/WNT D rukarni;1 N;1ukowo· Tcchniczrn1 SA

Subscribe

© Copyright 2013 - 2019 AZDOC.PL All rights reserved.